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6.解三元一次方程组基本思路:通过“
代入
”或“加减
”进行消元,把“三元”转化为“二元
”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组
,进而转化为解一元一次方程
.答案
6.代入 加减 二元 二元一次方程组 一元一次方程
解析
【分析】
解多元方程组的核心逻辑是逐步减少未知数的个数，也就是消元。我们在学习二元一次方程组时已经掌握了两种消元方法：代入消元法和加减消元法，这两种方法同样适用于三元一次方程组。首先我们用这两种方法消去三元方程组中的1个未知数，就能把“三元”转化为我们已经熟悉的“二元”，此时问题就变成解二元一次方程组；接下来再对二元一次方程组消元，就可以进一步转化为解一元一次方程，最终求出所有未知数的值。
【解析】
根据解三元一次方程组的基本消元、降元思路，依次对应填空即可：
消元的常用方法为“代入”法和“加减”法，消元后先将三元转化为“二元”，对应要解的是二元一次方程组，再次消元后最终转化为解一元一次方程。
【答案】
代入；加减；二元；二元一次方程组；一元一次方程
【知识点】
三元一次方程组解法；消元思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察解三元一次方程组的核心思路，理解从多元逐步简化到一元的消元逻辑，是掌握三元一次方程组解法的基础。
【难度系数】
0.9
解多元方程组的核心逻辑是逐步减少未知数的个数，也就是消元。我们在学习二元一次方程组时已经掌握了两种消元方法：代入消元法和加减消元法，这两种方法同样适用于三元一次方程组。首先我们用这两种方法消去三元方程组中的1个未知数，就能把“三元”转化为我们已经熟悉的“二元”，此时问题就变成解二元一次方程组；接下来再对二元一次方程组消元，就可以进一步转化为解一元一次方程，最终求出所有未知数的值。
【解析】
根据解三元一次方程组的基本消元、降元思路，依次对应填空即可：
消元的常用方法为“代入”法和“加减”法，消元后先将三元转化为“二元”，对应要解的是二元一次方程组，再次消元后最终转化为解一元一次方程。
【答案】
代入；加减；二元；二元一次方程组；一元一次方程
【知识点】
三元一次方程组解法；消元思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察解三元一次方程组的核心思路，理解从多元逐步简化到一元的消元逻辑，是掌握三元一次方程组解法的基础。
【难度系数】
0.9
7.甲、乙、丙三种商品，购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱；购买甲3件、乙4件、丙1件，共需205元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需
55
元钱。答案
7.55
解析
【分析】
我们可以先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题干给出的两种购买总价，列出两个三元一次方程。由于有3个未知数但只有2个方程，无法直接求出每个未知数的具体值，因此可以采用整体消元的思路，通过对两个方程做差变形，直接凑出x+y+z的整体，从而快速得到结果。
【解析】
设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙商品需z元，根据题意可得：
$\begin{cases}5x + 6y + 3z = 315&①\\3x + 4y + z = 205&②\end{cases}$
用①式减去②式，左边相减得：$(5x-3x)+(6y-4y)+(3z-z)=2x+2y+2z$
右边相减得：$315-205=110$
因此可得：$2(x+y+z)=110$
两边同时除以2，得：$x+y+z=55$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需55元。
【答案】
55
【知识点】
三元一次方程组的应用，整体消元思想
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用题，解题的核心是跳出单独求解每个未知数的固定思维，利用整体消元的方法直接求三个未知数的和，简化了计算过程，也体现了整体思想在解方程中的妙用。
【难度系数】
0.7
我们可以先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题干给出的两种购买总价，列出两个三元一次方程。由于有3个未知数但只有2个方程，无法直接求出每个未知数的具体值，因此可以采用整体消元的思路，通过对两个方程做差变形，直接凑出x+y+z的整体，从而快速得到结果。
【解析】
设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙商品需z元，根据题意可得：
$\begin{cases}5x + 6y + 3z = 315&①\\3x + 4y + z = 205&②\end{cases}$
用①式减去②式，左边相减得：$(5x-3x)+(6y-4y)+(3z-z)=2x+2y+2z$
右边相减得：$315-205=110$
因此可得：$2(x+y+z)=110$
两边同时除以2，得：$x+y+z=55$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需55元。
【答案】
55
【知识点】
三元一次方程组的应用，整体消元思想
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用题，解题的核心是跳出单独求解每个未知数的固定思维，利用整体消元的方法直接求三个未知数的和，简化了计算过程，也体现了整体思想在解方程中的妙用。
【难度系数】
0.7
8. 解三元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 4, \\x + 3z = 1, \\x + y + z = 7.\end{cases}$
答案
8.解:$\begin{cases}x=-2,\\y=8,\\z=1.\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，即逐步把“三元”降为“二元”，再降为“一元”求解。观察本题三个方程的特点：方程①仅含x和y，方程②仅含x和z，因此我们可以先分别用含x的式子表示出y和z，再代入方程③，得到只含x的一元一次方程，求出x的值后，再依次计算y和z的值即可。
【解析】
首先给三个方程标序号：
$\begin{cases}2x + y = 4&①, \\x + 3z = 1&②, \\x + y + z = 7&③.\end{cases}$
第一步：用含x的式子表示y和z
由①移项得：$y=4-2x$ ④
由②移项得：$3z=1-x$，即$z=\frac{1-x}{3}$ ⑤
第二步：将④⑤代入③，消去y和z，求解x
把④、⑤代入③得：
$x + (4-2x) + \frac{1-x}{3}=7$
方程两边同时乘3消去分母：
$3x + 3×(4-2x) + 1 - x = 21$
展开计算：
$3x +12 -6x +1 -x =21$
合并同类项：
$-4x +13 =21$
移项计算：
$-4x=21-13=8$
解得：$x=-2$
第三步：回代求y和z
把$x=-2$代入④得：$y=4-2×(-2)=4+4=8$
把$x=-2$代入⑤得：$z=\frac{1-(-2)}{3}=\frac{3}{3}=1$
将结果代入原方程组检验，三个方程均成立。
【答案】
$\begin{cases}x=-2,\\y=8,\\z=1.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，代入消元法，一元一次方程的解法
【点评】
本题是三元一次方程组的常规基础题，核心考察消元的数学思想，解题时可根据方程的结构特点选择简便的消元方式，计算过程中要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，即逐步把“三元”降为“二元”，再降为“一元”求解。观察本题三个方程的特点：方程①仅含x和y，方程②仅含x和z，因此我们可以先分别用含x的式子表示出y和z，再代入方程③，得到只含x的一元一次方程，求出x的值后，再依次计算y和z的值即可。
【解析】
首先给三个方程标序号：
$\begin{cases}2x + y = 4&①, \\x + 3z = 1&②, \\x + y + z = 7&③.\end{cases}$
第一步：用含x的式子表示y和z
由①移项得：$y=4-2x$ ④
由②移项得：$3z=1-x$，即$z=\frac{1-x}{3}$ ⑤
第二步：将④⑤代入③，消去y和z，求解x
把④、⑤代入③得：
$x + (4-2x) + \frac{1-x}{3}=7$
方程两边同时乘3消去分母：
$3x + 3×(4-2x) + 1 - x = 21$
展开计算：
$3x +12 -6x +1 -x =21$
合并同类项：
$-4x +13 =21$
移项计算：
$-4x=21-13=8$
解得：$x=-2$
第三步：回代求y和z
把$x=-2$代入④得：$y=4-2×(-2)=4+4=8$
把$x=-2$代入⑤得：$z=\frac{1-(-2)}{3}=\frac{3}{3}=1$
将结果代入原方程组检验，三个方程均成立。
【答案】
$\begin{cases}x=-2,\\y=8,\\z=1.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，代入消元法，一元一次方程的解法
【点评】
本题是三元一次方程组的常规基础题，核心考察消元的数学思想，解题时可根据方程的结构特点选择简便的消元方式，计算过程中要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
9.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
答案
9.解:设甲的年龄为 x 岁,乙的年龄为 y 岁,丙的年龄为 z 岁.
依题意,得$\begin{cases}x+y=25,\\y+z=26,\\x+z=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=13,\\y=12,\\z=14.\end{cases}$
故甲的年龄为 13 岁,乙的年龄为 12 岁,丙的年龄为 14 岁.
依题意,得$\begin{cases}x+y=25,\\y+z=26,\\x+z=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=13,\\y=12,\\z=14.\end{cases}$
故甲的年龄为 13 岁,乙的年龄为 12 岁,丙的年龄为 14 岁.
解析
【分析】
本题是年龄类实际应用题，包含甲、乙、丙三人年龄三个未知量，同时给出三组两两年龄之和的等量关系。解题时首先对应三个未知量设三个未知数，结合题干给出的三个等量关系列出三元一次方程组；求解时可先将三个方程左右两边分别相加，得到三人年龄总和的2倍，先算出三人年龄总和，再用总和分别减去任意两人的年龄和，即可快速求出第三人的年龄，该方法比逐个消元更简便。
【解析】
解：设甲的年龄为$x$岁，乙的年龄为$y$岁，丙的年龄为$z$岁。
依题意，得$\begin{cases}x+y=25\quad①\\y+z=26\quad②\\x+z=27\quad③\end{cases}$
将①+②+③，可得$2(x+y+z)=25+26+27=78$，
化简得$x+y+z=39\quad④$
用④减去①，得$z=39-25=14$；
用④减去②，得$x=39-26=13$；
用④减去③，得$y=39-27=12$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=13\\y=12\\z=14\end{cases}$
【答案】
甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁。
【知识点】
三元一次方程组的应用，解三元一次方程组，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程组实际应用类题目，解题核心是梳理清楚题干中的等量关系，合理设元列出方程组，求解时利用整体相加的方法可大幅降低计算难度，能很好地考察学生对方程组的掌握程度和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
本题是年龄类实际应用题，包含甲、乙、丙三人年龄三个未知量，同时给出三组两两年龄之和的等量关系。解题时首先对应三个未知量设三个未知数，结合题干给出的三个等量关系列出三元一次方程组；求解时可先将三个方程左右两边分别相加，得到三人年龄总和的2倍，先算出三人年龄总和，再用总和分别减去任意两人的年龄和，即可快速求出第三人的年龄，该方法比逐个消元更简便。
【解析】
解：设甲的年龄为$x$岁，乙的年龄为$y$岁，丙的年龄为$z$岁。
依题意，得$\begin{cases}x+y=25\quad①\\y+z=26\quad②\\x+z=27\quad③\end{cases}$
将①+②+③，可得$2(x+y+z)=25+26+27=78$，
化简得$x+y+z=39\quad④$
用④减去①，得$z=39-25=14$；
用④减去②，得$x=39-26=13$；
用④减去③，得$y=39-27=12$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=13\\y=12\\z=14\end{cases}$
【答案】
甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁。
【知识点】
三元一次方程组的应用，解三元一次方程组，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程组实际应用类题目，解题核心是梳理清楚题干中的等量关系，合理设元列出方程组，求解时利用整体相加的方法可大幅降低计算难度，能很好地考察学生对方程组的掌握程度和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
10.已知 $ y=ax^2+bx+c $，当 $ x=1 $ 时，$ y=3 $；当 $ x=-1 $ 时，$ y=1 $；当 $ x=0 $ 时，$ y=1 $。求 $ a,b,c $ 的值。
答案
10.解:根据题意,得$\begin{cases}a+b+c=3,①\\a-b+c=1,②\\c=1,③\end{cases}$
把③分别代入①和②,得$\begin{cases}a+b=2,\\a-b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$
∴a=1,b=1,c=1.
把③分别代入①和②,得$\begin{cases}a+b=2,\\a-b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$
∴a=1,b=1,c=1.
解析
【分析】
解题时先把题目给出的三组x、y的对应值代入二次函数解析式，就能得到关于a、b、c的三元一次方程组。观察方程组可以发现x=0时的对应值能直接得到c的数值，再将c代入另外两个方程，就能把三元一次方程组简化为二元一次方程组，逐步求解就能得到a、b的值。
【解析】
根据题意，将x和y的三组对应值分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a+b+c=3,①\\a-b+c=1,②\\c=1,③\end{cases}$
把③分别代入①和②，得$\begin{cases}a+b=2,\\a-b=0,\end{cases}$
将两个方程相加得$2a=2$，解得$a=1$，把$a=1$代入$a+b=2$，得$b=1$。
【答案】
$a=1,b=1,c=1$
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代入消元法
【点评】
本题是待定系数法的基础应用题型，解题关键是将已知的变量对应值代入解析式建立方程组，再通过消元法逐步求解，是方程和函数结合的基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先把题目给出的三组x、y的对应值代入二次函数解析式，就能得到关于a、b、c的三元一次方程组。观察方程组可以发现x=0时的对应值能直接得到c的数值，再将c代入另外两个方程，就能把三元一次方程组简化为二元一次方程组，逐步求解就能得到a、b的值。
【解析】
根据题意，将x和y的三组对应值分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a+b+c=3,①\\a-b+c=1,②\\c=1,③\end{cases}$
把③分别代入①和②，得$\begin{cases}a+b=2,\\a-b=0,\end{cases}$
将两个方程相加得$2a=2$，解得$a=1$，把$a=1$代入$a+b=2$，得$b=1$。
【答案】
$a=1,b=1,c=1$
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代入消元法
【点评】
本题是待定系数法的基础应用题型，解题关键是将已知的变量对应值代入解析式建立方程组，再通过消元法逐步求解，是方程和函数结合的基础题。
【难度系数】
0.8
