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1.若$a＞b$,则下列不等式不一定成立的是 （
A.$a-4＞b-4$
B.$2a＞2b$
C.$1-5a＜1-5b$
D.$ac＜bc$
D
）A.$a-4＞b-4$
B.$2a＞2b$
C.$1-5a＜1-5b$
D.$ac＜bc$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是逐一根据不等式的三条基本性质验证每个选项的不等式是否恒成立，重点注意当不等式两边同时乘一个含字母的参数时，需要考虑参数的正负性以及是否为0，对不同情况分类讨论判断不等号方向是否变化。
【解析】
根据不等式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。给$a＞b$两边同时减4，可得$a-4＞b-4$，该不等式一定成立，故A不符合题意。
2. 选项B：根据不等式性质2，不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。给$a＞b$两边同时乘正数2，可得$2a＞2b$，该不等式一定成立，故B不符合题意。
3. 选项C：先根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，给$a＞b$两边同时乘$-5$，得$-5a＜-5b$；再根据不等式性质1，两边同时加1，得$1-5a＜1-5b$，该不等式一定成立，故C不符合题意。
4. 选项D：不等式两边同时乘$c$时，$c$的取值不确定：当$c＞0$时，$ac＞bc$；当$c＜0$时，$ac＜bc$；当$c=0$时，$ac=bc=0$，因此$ac＜bc$不一定成立，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的常规应用题型，解题的关键是牢记不等式两边乘负数时不等号要变向，乘参数时需注意分类讨论参数的正负和是否为0，避免忽略特殊情况判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是逐一根据不等式的三条基本性质验证每个选项的不等式是否恒成立，重点注意当不等式两边同时乘一个含字母的参数时，需要考虑参数的正负性以及是否为0，对不同情况分类讨论判断不等号方向是否变化。
【解析】
根据不等式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。给$a＞b$两边同时减4，可得$a-4＞b-4$，该不等式一定成立，故A不符合题意。
2. 选项B：根据不等式性质2，不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。给$a＞b$两边同时乘正数2，可得$2a＞2b$，该不等式一定成立，故B不符合题意。
3. 选项C：先根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，给$a＞b$两边同时乘$-5$，得$-5a＜-5b$；再根据不等式性质1，两边同时加1，得$1-5a＜1-5b$，该不等式一定成立，故C不符合题意。
4. 选项D：不等式两边同时乘$c$时，$c$的取值不确定：当$c＞0$时，$ac＞bc$；当$c＜0$时，$ac＜bc$；当$c=0$时，$ac=bc=0$，因此$ac＜bc$不一定成立，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的常规应用题型，解题的关键是牢记不等式两边乘负数时不等号要变向，乘参数时需注意分类讨论参数的正负和是否为0，避免忽略特殊情况判断失误。
【难度系数】
0.8
2.由$x＜y$得到$ax≥ ay$的条件是（
A.$a＜0$
B.$a≤0$
C.$a＞0$
D.$a≥0$
B
）A.$a＜0$
B.$a≤0$
C.$a＞0$
D.$a≥0$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查不等式的基本性质应用，解题思路如下：首先回忆不等式两边同乘一个数时不等号的变化规律：乘正数不等号方向不变，乘负数不等号方向改变，乘0时两边相等。题目中原本x＜y，变形后得到ax≥ay，不等号方向发生了改变，还出现了等号的情况，因此需要分a＞0、a=0、a＜0三种情况分别验证，最终确定a的取值范围。
【解析】
我们根据不等式的性质分情况讨论：
1. 当$a＞0$时：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此由$x＜y$可得$ax＜ay$，不符合$ax≥ay$的要求，排除；
2. 当$a=0$时：此时$ax=0$，$ay=0$，因此$ax=ay$，满足$ax≥ay$的要求；
3. 当$a＜0$时：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，因此由$x＜y$可得$ax＞ay$，满足$ax≥ay$的要求。
综合以上情况，a的取值范围是$a≤0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题易错点是容易忽略$a=0$的特殊情况，只考虑a为负数的情况，解题时要注意变形后不等号含等号时，需额外验证系数为0的情况是否符合要求。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式的基本性质应用，解题思路如下：首先回忆不等式两边同乘一个数时不等号的变化规律：乘正数不等号方向不变，乘负数不等号方向改变，乘0时两边相等。题目中原本x＜y，变形后得到ax≥ay，不等号方向发生了改变，还出现了等号的情况，因此需要分a＞0、a=0、a＜0三种情况分别验证，最终确定a的取值范围。
【解析】
我们根据不等式的性质分情况讨论：
1. 当$a＞0$时：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此由$x＜y$可得$ax＜ay$，不符合$ax≥ay$的要求，排除；
2. 当$a=0$时：此时$ax=0$，$ay=0$，因此$ax=ay$，满足$ax≥ay$的要求；
3. 当$a＜0$时：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，因此由$x＜y$可得$ax＞ay$，满足$ax≥ay$的要求。
综合以上情况，a的取值范围是$a≤0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题易错点是容易忽略$a=0$的特殊情况，只考虑a为负数的情况，解题时要注意变形后不等号含等号时，需额外验证系数为0的情况是否符合要求。
【难度系数】
0.7
3.根据不等式的性质,下列变形中正确的是 （
A.由$a ＜ b$,得$-\dfrac{3}{2}a ＜ -\dfrac{3}{2}b$
B.由$-\dfrac{1}{2}a ＞ 2$,得$a ＜ 2$
C.由$a ＞ b$,得$-ac ＞ -bc$
D.由$-a(c^2 +1) ＞ -b(c^2 +1)$,得$a ＜ b$
D
）A.由$a ＜ b$,得$-\dfrac{3}{2}a ＜ -\dfrac{3}{2}b$
B.由$-\dfrac{1}{2}a ＞ 2$,得$a ＜ 2$
C.由$a ＞ b$,得$-ac ＞ -bc$
D.由$-a(c^2 +1) ＞ -b(c^2 +1)$,得$a ＜ b$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查不等式性质的应用，解题思路是先明确不等式的三条核心性质，再逐一分析每个选项的变形是否符合性质：1. 不等式两边加减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。遇到含字母的系数时，要先判断系数的正负性，再确定不等号方向是否需要改变。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a ＜ b$，两边同时乘负数$-\dfrac{3}{2}$，根据不等式性质3，不等号方向要改变，变形应为$-\dfrac{3}{2}a ＞ -\dfrac{3}{2}b$，故A错误。
B选项：已知$-\dfrac{1}{2}a ＞ 2$，两边同时乘负数$-2$，根据不等式性质3，不等号方向改变，变形应为$a ＜ -4$，故B错误。
C选项：已知$a ＞ b$，两边同时乘$-c$，但$c$的正负性不确定，若$c＞0$，则$-c＜0$，变形为$-ac ＜ -bc$；若$c＜0$，则$-c＞0$，变形为$-ac ＞ -bc$；若$c=0$，则$-ac=-bc$，因此变形不唯一，故C错误。
D选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1＞0$，即$c^2+1$恒为正数，已知$-a(c^2 +1) ＞ -b(c^2 +1)$，两边同时除以负数$-(c^2+1)$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$a ＜ b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质，偶次幂的非负性
【点评】
本题的易错点在于忽略不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，以及未判断含字母系数的正负性就直接变形，解题时要注意对系数正负的分类讨论或定值判断。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式性质的应用，解题思路是先明确不等式的三条核心性质，再逐一分析每个选项的变形是否符合性质：1. 不等式两边加减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。遇到含字母的系数时，要先判断系数的正负性，再确定不等号方向是否需要改变。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a ＜ b$，两边同时乘负数$-\dfrac{3}{2}$，根据不等式性质3，不等号方向要改变，变形应为$-\dfrac{3}{2}a ＞ -\dfrac{3}{2}b$，故A错误。
B选项：已知$-\dfrac{1}{2}a ＞ 2$，两边同时乘负数$-2$，根据不等式性质3，不等号方向改变，变形应为$a ＜ -4$，故B错误。
C选项：已知$a ＞ b$，两边同时乘$-c$，但$c$的正负性不确定，若$c＞0$，则$-c＜0$，变形为$-ac ＜ -bc$；若$c＜0$，则$-c＞0$，变形为$-ac ＞ -bc$；若$c=0$，则$-ac=-bc$，因此变形不唯一，故C错误。
D选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1＞0$，即$c^2+1$恒为正数，已知$-a(c^2 +1) ＞ -b(c^2 +1)$，两边同时除以负数$-(c^2+1)$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$a ＜ b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质，偶次幂的非负性
【点评】
本题的易错点在于忽略不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，以及未判断含字母系数的正负性就直接变形，解题时要注意对系数正负的分类讨论或定值判断。
【难度系数】
0.7
4.下列四个不等式:①$2a ＞ a + b$;②$3 - a ＜ 3 - b$;③$ac^2 ＞ bc^2$;④$\frac{a}{b} ＜ 1$,其中能推出$a ＞ b$的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.C
解析
【分析】
我们需要结合不等式的基本性质，逐个对四个不等式进行变形推导，判断每个式子是否能最终得到$a ＞ b$的结论，推导时要注意不等号方向的变化规则，以及特殊取值对结论的影响。
【解析】
逐一分析每个不等式：
1. 分析①$2a ＞ a + b$：
根据不等式的性质1，不等式两边同时减去$a$，不等号方向不变，可得$2a - a ＞ a + b - a$，化简得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
2. 分析②$3 - a ＜ 3 - b$：
首先根据不等式的性质1，两边同时减去3，不等号方向不变，得$-a ＜ -b$；再根据不等式的性质3，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
3. 分析③$ac^2 ＞ bc^2$：
已知$ac^2 ＞ bc^2$，说明$c^2 ≠ 0$（若$c^2=0$，两边均为0，不符合大于关系），因此$c^2 ＞ 0$；根据不等式的性质2，两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
4. 分析④$\frac{a}{b} ＜ 1$：
若$b ＞ 0$，两边同时乘$b$得$a ＜ b$；若$b ＜ 0$，两边同时乘负数$b$，不等号方向改变，得$a ＞ b$，因此无法确定$a$、$b$的大小关系，不能推出$a ＞ b$。
综上，能推出$a ＞ b$的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质、不等式变形判断
【点评】
本题核心考查不等式基本性质的应用，易错点是判断第三个不等式时忽略$c^2＞0$的隐含条件，判断第四个不等式时未考虑$b$的正负对不等号方向的影响，解题时需全面考虑不同情况。
【难度系数】
0.7
我们需要结合不等式的基本性质，逐个对四个不等式进行变形推导，判断每个式子是否能最终得到$a ＞ b$的结论，推导时要注意不等号方向的变化规则，以及特殊取值对结论的影响。
【解析】
逐一分析每个不等式：
1. 分析①$2a ＞ a + b$：
根据不等式的性质1，不等式两边同时减去$a$，不等号方向不变，可得$2a - a ＞ a + b - a$，化简得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
2. 分析②$3 - a ＜ 3 - b$：
首先根据不等式的性质1，两边同时减去3，不等号方向不变，得$-a ＜ -b$；再根据不等式的性质3，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
3. 分析③$ac^2 ＞ bc^2$：
已知$ac^2 ＞ bc^2$，说明$c^2 ≠ 0$（若$c^2=0$，两边均为0，不符合大于关系），因此$c^2 ＞ 0$；根据不等式的性质2，两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，得$a ＞ b$，可以推出$a ＞ b$。
4. 分析④$\frac{a}{b} ＜ 1$：
若$b ＞ 0$，两边同时乘$b$得$a ＜ b$；若$b ＜ 0$，两边同时乘负数$b$，不等号方向改变，得$a ＞ b$，因此无法确定$a$、$b$的大小关系，不能推出$a ＞ b$。
综上，能推出$a ＞ b$的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质、不等式变形判断
【点评】
本题核心考查不等式基本性质的应用，易错点是判断第三个不等式时忽略$c^2＞0$的隐含条件，判断第四个不等式时未考虑$b$的正负对不等号方向的影响，解题时需全面考虑不同情况。
【难度系数】
0.7
5.某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元，则可列不等式为 （
A.$ q - p ＞ 1.5 $
B.$ q - p ≥ 1.5 $
C.$ p - q ＞ 1.5 $
D.$ p - q ≥ 1.5 $
B
）A.$ q - p ＞ 1.5 $
B.$ q - p ≥ 1.5 $
C.$ p - q ＞ 1.5 $
D.$ p - q ≥ 1.5 $
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个收入的大小关系：今年收入比去年高，所以今年比去年多的收入要用今年收入q减去去年收入p。其次要抓住关键词“至少”的数学含义，“至少”表示最低限度，对应的不等号为“≥”（大于等于），将文字描述的数量关系转化为不等式后对比选项即可得到答案。
【解析】
1. 先表示今年比去年多的收入：今年收入为q万元，去年收入为p万元，因此今年比去年多的收入为$(q-p)$万元。
2. 转换“至少多1.5万元”的不等关系：“至少”的含义是不少于，即差值大于或等于1.5万元，因此可列不等式$q-p≥1.5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列不等式
2. 不等词含义
【点评】
本题是基础类题型，核心考查文字不等关系到数学不等式的转化，解题关键是准确掌握“至少”“不低于”“最多”“不超过”等常见不等表述对应的不等号，同时理清两个量的大小顺序，避免差值列反。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个收入的大小关系：今年收入比去年高，所以今年比去年多的收入要用今年收入q减去去年收入p。其次要抓住关键词“至少”的数学含义，“至少”表示最低限度，对应的不等号为“≥”（大于等于），将文字描述的数量关系转化为不等式后对比选项即可得到答案。
【解析】
1. 先表示今年比去年多的收入：今年收入为q万元，去年收入为p万元，因此今年比去年多的收入为$(q-p)$万元。
2. 转换“至少多1.5万元”的不等关系：“至少”的含义是不少于，即差值大于或等于1.5万元，因此可列不等式$q-p≥1.5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列不等式
2. 不等词含义
【点评】
本题是基础类题型，核心考查文字不等关系到数学不等式的转化，解题关键是准确掌握“至少”“不低于”“最多”“不超过”等常见不等表述对应的不等号，同时理清两个量的大小顺序，避免差值列反。
【难度系数】
0.9
6.某次知识竞赛共有20道选择题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为 （
A.$10x - 5(20 - x) ≥ 80$
B.$10x - 5(20 - x) ≤ 80$
C.$10x - 5x ≥ 80$
D.$10x - 5(20 - x) ＞ 80$
A
）A.$10x - 5(20 - x) ≥ 80$
B.$10x - 5(20 - x) ≤ 80$
C.$10x - 5x ≥ 80$
D.$10x - 5(20 - x) ＞ 80$
答案
6.A
解析
【分析】
首先明确题目要求是列出符合题意的不等式，解题思路分三步：第一步找不等关系，题目中“总得分不低于80分”，“不低于”的含义是大于等于，即总得分≥80；第二步分别计算得分和扣分项：设答对x道题，每道答对得10分，所以答对总得分是10x；总题量是20道，那么答错或不答的题量是(20-x)道，每道扣5分，所以总共要扣的分数是5(20-x)；第三步总得分=答对得分 - 扣掉的分数，结合不等关系就能列出不等式。
【解析】
设应答对x道题，则答错或不答的题数为(20-x)道。
1. 计算答对题的总得分：每道答对得10分，共得$10x$分；
2. 计算答错或不答扣的总分数：每道扣5分，共扣$5(20-x)$分；
3. 总得分=答对得分-扣掉的分数，题目要求总得分不低于80分，即总得分≥80，因此可列不等式：
$10x - 5(20 - x) ≥ 80$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的实际应用；列不等式
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确理解“不低于”等表示不等关系的关键词的含义，同时要正确计算总得分，注意扣分项对应的题量是总题量减去答对的题量，避免因错算扣分项或选错不等号导致失误。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求是列出符合题意的不等式，解题思路分三步：第一步找不等关系，题目中“总得分不低于80分”，“不低于”的含义是大于等于，即总得分≥80；第二步分别计算得分和扣分项：设答对x道题，每道答对得10分，所以答对总得分是10x；总题量是20道，那么答错或不答的题量是(20-x)道，每道扣5分，所以总共要扣的分数是5(20-x)；第三步总得分=答对得分 - 扣掉的分数，结合不等关系就能列出不等式。
【解析】
设应答对x道题，则答错或不答的题数为(20-x)道。
1. 计算答对题的总得分：每道答对得10分，共得$10x$分；
2. 计算答错或不答扣的总分数：每道扣5分，共扣$5(20-x)$分；
3. 总得分=答对得分-扣掉的分数，题目要求总得分不低于80分，即总得分≥80，因此可列不等式：
$10x - 5(20 - x) ≥ 80$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的实际应用；列不等式
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确理解“不低于”等表示不等关系的关键词的含义，同时要正确计算总得分，注意扣分项对应的题量是总题量减去答对的题量，避免因错算扣分项或选错不等号导致失误。
【难度系数】
0.8
7.一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该解集为 （
A.$x≥ -3$
B.$x＜3$
C.$-3＜x＜3$
D.$-3≤ x＜3$
D
）A.$x≥ -3$
B.$x＜3$
C.$-3＜x＜3$
D.$-3≤ x＜3$
答案
7.D
解析
【分析】
解这类题要分三步思考：第一步先观察数轴上的边界点，区分实心点和空心圈，实心点表示包含对应数值，空心圈表示不包含对应数值；第二步看每个边界点引出的折线方向，折线向右对应“大于”，向左对应“小于”，写出每个边界对应的不等式；第三步取两个不等式的公共部分，就是不等式组的解集，再匹配选项即可。
【解析】
首先观察数轴：
1. 在-3处是实心圆点，折线向右延伸，说明包含-3，对应不等式为$x≥ -3$；
2. 在3处是空心圆圈，折线向左延伸，说明不包含3，对应不等式为$x＜3$；
不等式组的解集是两个不等式的公共部分，因此解集为$-3≤ x＜3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示解集、不等式组解集
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用数轴判断不等式组解集的方法，掌握实心点、空心圈的含义，以及折线方向对应的不等号方向就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解这类题要分三步思考：第一步先观察数轴上的边界点，区分实心点和空心圈，实心点表示包含对应数值，空心圈表示不包含对应数值；第二步看每个边界点引出的折线方向，折线向右对应“大于”，向左对应“小于”，写出每个边界对应的不等式；第三步取两个不等式的公共部分，就是不等式组的解集，再匹配选项即可。
【解析】
首先观察数轴：
1. 在-3处是实心圆点，折线向右延伸，说明包含-3，对应不等式为$x≥ -3$；
2. 在3处是空心圆圈，折线向左延伸，说明不包含3，对应不等式为$x＜3$；
不等式组的解集是两个不等式的公共部分，因此解集为$-3≤ x＜3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示解集、不等式组解集
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用数轴判断不等式组解集的方法，掌握实心点、空心圈的含义，以及折线方向对应的不等号方向就能快速解题。
【难度系数】
0.8
