1. 若关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l} x + 1 ＞ 0,\\ m - 2x ＞ 0\end{array} $的解集为$- 1 ＜ x ＜ 2$，则$m$的值是( )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

D

解不等式$x + 1 ＞ 0$，得$x ＞ -1$；解不等式$m - 2x ＞ 0$，得$x ＜ \frac{m}{2}$。因为不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$，所以$\frac{m}{2} = 2$，解得$m = 4$。

2. 生物学兴趣小组要在保温箱里培养A，B两种菌苗。A种菌苗的生长温度$x(^{\circ}C)$的范围是$35 ≤ x ≤ 38$，B种菌苗的生长温度$y(^{\circ}C)$的范围是$34 ≤ y ≤ 36$。那么保温箱里的温度$T^{\circ}C$应该设定在()

A.$35 ≤ T ≤ 38$
B.$35 ≤ T ≤ 36$
C.$34 ≤ T ≤ 36$
D.$36 ≤ T ≤ 38$

【解析】：A种菌苗温度范围为$35 ≤ T ≤ 38$，B种菌苗温度范围为$34 ≤ T ≤ 36$，要同时满足两种菌苗生长，取两者交集，即$35 ≤ T ≤ 36$。
【答案】：B

根据题意，A种菌苗的生长温度范围为$35\≤ T\≤38$，B种菌苗的生长温度范围为$34\≤ T\≤36$。
为了同时满足A，B两种菌苗的生长温度要求，需要找到这两个范围的公共部分，即求两个不等式组的交集。
$35\≤ T\≤38$与$34\≤ T\≤36$的交集为$35\≤ T\≤36$。
所以保温箱里的温度$T^{\circ}C$应该设定在$35\≤ T\≤36$这个范围。

3. 不等式组$\{\begin{array}{l} 2x + 4 ≥ 0,\\ 6 - x ＞ 3\end{array} $的所有整数解的和为 ______ 。

①解不等式 $2x + 4 ≥ 0$，得：$x ≥ -2$，
②解不等式 $6 - x ＞ 3$，得：$x ＜ 3$，
则不等式组的解集为 $-2 ≤ x ＜ 3$，
所以不等式组所有整数解为 $-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，
这些整数解的和为 $-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0$，
故答案为：$0$。

4. 若不等式组$\{\begin{array}{l} x + a ≥ 0,\\ 1 - 2x ＞ x - 2\end{array} $有$2$个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。

解不等式$x + a ≥ 0$，得$x ≥ -a$。
解不等式$1 - 2x ＞ x - 2$，移项得$-2x - x ＞ -2 - 1$，合并同类项得$-3x ＞ -3$，系数化为1得$x ＜ 1$。
不等式组的解集为$-a ≤ x ＜ 1$。
因为不等式组有2个整数解，所以整数解为$-1$，$0$。
则$-2 ＜ -a ≤ -1$，解得$1 ≤ a ＜ 2$。
$1 ≤ a ＜ 2$

5. 已知$a$，$b$，$c$，$d$，规定符号$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$表示运算$ad - bc$。若$1 ＜ \begin{vmatrix}x - 1&1\\3&4\end{vmatrix} ＜ 6$，则$x$的整数解为 ______ 。

根据定义$\begin{vmatrix}a \quad b \\c \quad d \end{vmatrix}= ad - bc$，则$\begin{vmatrix}x - 1 \quad 1 \\3 \quad 4 \end{vmatrix}=(x - 1)×4 - 1×3$。
$4(x - 1)-3=4x - 4 - 3 = 4x - 7$。
原不等式$1＜\begin{vmatrix}x - 1 \quad 1 \\3 \quad 4 \end{vmatrix}＜6$可转化为$\begin{cases}4x - 7＞1,\\4x - 7＜6.\end{cases}$
解不等式$4x - 7＞1$，移项可得$4x＞1 + 7$，即$4x＞8$，两边同时除以$4$，解得$x＞2$。
解不等式$4x - 7＜6$，移项可得$4x＜6 + 7$，即$4x＜13$，两边同时除以$4$，解得$x＜\frac{13}{4}=3.25$。
所以不等式组的解集为$2＜ x＜3.25$，那么$x$的整数解为$3$。
故答案为$3$。

6. 解不等式组$\{\begin{array}{l} 4x ＞ 2(x - 1),①\\ \frac{x + 2}{2} ＜ \frac{x + 5}{3},②\end{array} $并写出它的所有整数解。

解不等式①：$4x ＞ 2(x - 1)$
$4x ＞ 2x - 2$
$4x - 2x ＞ -2$
$2x ＞ -2$
$x ＞ -1$
解不等式②：$\frac{x + 2}{2} ＜ \frac{x + 5}{3}$
$3(x + 2) ＜ 2(x + 5)$
$3x + 6 ＜ 2x + 10$
$3x - 2x ＜ 10 - 6$
$x ＜ 4$
不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 4$
整数解为$0, 1, 2, 3$

7. 某寄宿制学校一个班有住宿生若干人，分住若干间宿舍。若每间住$4$人，则还余$20$人无宿舍住；若每间住$8$人，则有一间宿舍不空也不满。求该班住宿生人数和宿舍间数。

设宿舍间数为$x$，则住宿生人数为$(4x + 20)$人。
根据题意，当每间住8人时，前$(x - 1)$间宿舍住满时人数为$8(x - 1)$，
那么最后一间宿舍的人数为$4x + 20 - 8(x - 1)$。
根据“有一间宿舍不空也不满”的条件，得到不等式：
$0 ＜ 4x + 20 - 8(x - 1) ＜ 8 × 1$（因为不空也不满即人数在1到7之间，或者说是大于0小于8），
$0 ＜ 4x + 20 - 8x + 8 ＜ 8$，
$0 ＜ -4x + 28 ＜ 8$，
$-28 ＜ -4x ＜ -20$，
$5 ＜ x ＜ 7$。
由于$x$必须是正整数，因此$x = 6$。
将$x = 6$代入$4x + 20$，得到住宿生人数为$4 × 6 + 20 = 44$人。
答：该班住宿生人数是44人，宿舍间数是6间。

8. 当$k$取什么值时，解方程组$\{\begin{array}{l} x + y = 2k,\\ x - y = 4\end{array} $得到的$x$，$y$的值都大于$1$？

$k ＞ 3$

解方程组：
$\begin{cases}x + y = 2k \\x - y = 4\end{cases}$
①+②得：$2x = 2k + 4$，解得$x = k + 2$。
将$x = k + 2$代入②得：$k + 2 - y = 4$，解得$y = k - 2$。
由题意得：
$\begin{cases}k + 2 ＞ 1 \\k - 2 ＞ 1\end{cases}$
解$k + 2 ＞ 1$得$k ＞ -1$；解$k - 2 ＞ 1$得$k ＞ 3$。
综上，$k ＞ 3$。