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1.(2024·金华武义)下列代数式中,不论x取何值时,结果都不可能为0的是…………………(
A.$x^2 - 1$
B.$\frac{1}{x^2 + 1}$
C.$\frac{x}{x + 1}$
D.$(x + 1)^2$
B
)A.$x^2 - 1$
B.$\frac{1}{x^2 + 1}$
C.$\frac{x}{x + 1}$
D.$(x + 1)^2$
答案
B
解析
【分析】要判断代数式不论x取何值都不可能为0，需分别分析每个选项：对于整式，令其等于0，看是否存在实数解；对于分式，需满足分子为0且分母不为0时，分式值才为0，若分子恒不为0，则分式不可能为0。逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
依次分析各选项：
选项A：令$x^2 - 1 = 0$，解得$x = ±1$，存在这样的x使代数式值为0，不符合要求；
选项B：该式为分式，分子是常数1，$1≠0$；分母$x^2 + 1$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 1≥1＞0$，分母永远不为0，因此无论x取何值，该式的值都不可能为0，符合要求；
选项C：令分子$x = 0$，此时分母$x + 1 = 1≠0$，分式值为0，存在x=0使代数式值为0，不符合要求；
选项D：令$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$，存在这样的x使代数式值为0，不符合要求；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】分式的性质、代数式的值
【点评】本题考查代数式值为0的判断，核心是掌握整式和分式值为0的条件，需注意分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，属于初中数学基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】
依次分析各选项：
选项A：令$x^2 - 1 = 0$，解得$x = ±1$，存在这样的x使代数式值为0，不符合要求；
选项B：该式为分式，分子是常数1，$1≠0$；分母$x^2 + 1$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 1≥1＞0$，分母永远不为0，因此无论x取何值，该式的值都不可能为0，符合要求；
选项C：令分子$x = 0$，此时分母$x + 1 = 1≠0$，分式值为0，存在x=0使代数式值为0，不符合要求；
选项D：令$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$，存在这样的x使代数式值为0，不符合要求；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】分式的性质、代数式的值
【点评】本题考查代数式值为0的判断，核心是掌握整式和分式值为0的条件，需注意分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，属于初中数学基础题型。
【难度系数】0.7
2.(2024·宁波市南三县)不改变分式$\frac{0.2x+3}{0.5x-1}$的值,把它的分子与分母中的系数化为整数,下列式子正确的是 …………………………………………………………………………（
A.$\frac{2x+30}{5x-10}$
B.$\frac{2x+3}{5x-1}$
C.$\frac{2x+30}{5x-1}$
D.$\frac{2x+3}{5x-10}$
A
）A.$\frac{2x+30}{5x-10}$
B.$\frac{2x+3}{5x-1}$
C.$\frac{2x+30}{5x-1}$
D.$\frac{2x+3}{5x-10}$
答案
A
解析
【分析】首先明确解题思路：本题要求不改变分式的值，将分子、分母的小数系数化为整数，需利用分式的基本性质——分式的分子和分母同时乘以同一个不为0的数，分式的值不变。观察分子的系数0.2、分母的系数0.5，均为一位小数，因此给分子、分母同时乘以10，即可将所有系数转化为整数，再对比选项选出正确结果。
【解析】根据分式的基本性质，给分式$\frac{0.2x+3}{0.5x-1}$的分子、分母同时乘以10，可得：
$\frac{(0.2x+3)×10}{(0.5x-1)×10}=\frac{2x+30}{5x-10}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题考查分式基本性质的基础应用，核心是利用“分子分母同乘非零数，分式值不变”的规则将小数系数化为整数，属于简单的基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】根据分式的基本性质，给分式$\frac{0.2x+3}{0.5x-1}$的分子、分母同时乘以10，可得：
$\frac{(0.2x+3)×10}{(0.5x-1)×10}=\frac{2x+30}{5x-10}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题考查分式基本性质的基础应用，核心是利用“分子分母同乘非零数，分式值不变”的规则将小数系数化为整数，属于简单的基础题型。
【难度系数】0.9
3.(2024·金华金东、婺城)化简$\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}$的结果为 ………………………………………… (
A.$\frac{1}{x + 1}$
B.$\frac{1}{x - 1}$
C.$\frac{2}{x + 1}$
D.$\frac{2}{x - 1}$
A
)A.$\frac{1}{x + 1}$
B.$\frac{1}{x - 1}$
C.$\frac{2}{x + 1}$
D.$\frac{2}{x - 1}$
答案
A
解析
【分析】本题是分式的减法化简题，解题思路为：先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，找到最简公分母；再将第二个分式通分，使两个分式分母相同；接着对分子进行加减运算，最后约分得到结果，匹配对应选项。
【解析】解：首先对原式中第一个分式的分母因式分解：
$x^2 -1=(x-1)(x+1)$，
则原式变形为：$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x-1}$；
确定最简公分母为$(x-1)(x+1)$，将第二个分式通分：
$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$；
进行分子的减法运算：
$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x - (x+1)}{(x-1)(x+1)}$；
化简分子：$2x -x -1=x-1$，
式子变为：$\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$；
约分（$x≠1$且$x≠-1$）后得：$\frac{1}{x+1}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的加减法、平方差公式因式分解
【点评】本题属于初中数学基础分式化简题，核心考察分式通分、约分的运算规则及平方差公式的应用，解题时需注意通分后分子的符号处理，避免计算错误，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】解：首先对原式中第一个分式的分母因式分解：
$x^2 -1=(x-1)(x+1)$，
则原式变形为：$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x-1}$；
确定最简公分母为$(x-1)(x+1)$，将第二个分式通分：
$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$；
进行分子的减法运算：
$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x - (x+1)}{(x-1)(x+1)}$；
化简分子：$2x -x -1=x-1$，
式子变为：$\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$；
约分（$x≠1$且$x≠-1$）后得：$\frac{1}{x+1}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的加减法、平方差公式因式分解
【点评】本题属于初中数学基础分式化简题，核心考察分式通分、约分的运算规则及平方差公式的应用，解题时需注意通分后分子的符号处理，避免计算错误，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.7
4.(2024·衢州江山、开化)已知$x-y=2xy$，则$\frac{2x-xy-2y}{3x+xy-3y}$的值为……………………………（
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题是代数式求值问题，已知条件给出了$x-y$与$xy$的关系，要求的分式分子、分母均含$x$、$y$的线性项，解题思路是先对分子、分母分组提取公因式，将其转化为含有$x-y$的形式，再利用整体代入法，把$x-y=2xy$代入化简后的式子，约去公因式$xy$即可求出结果。
【解析】
首先对所求分式的分子、分母变形：
分子：$2x - xy - 2y = 2(x - y) - xy$
分母：$3x + xy - 3y = 3(x - y) + xy$
已知$x - y = 2xy$，将其代入变形后的分子和分母：
分子：$2×2xy - xy = 4xy - xy = 3xy$
分母：$3×2xy + xy = 6xy + xy = 7xy$
因为分式分母不为0，故$xy≠0$，分子分母同除以$xy$，得：
$\frac{3xy}{7xy} = \frac{3}{7}$
【答案】
C
【知识点】
代数式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入的思想简化计算，通过对分式的合理变形，将已知条件直接代入，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐过程，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是代数式求值问题，已知条件给出了$x-y$与$xy$的关系，要求的分式分子、分母均含$x$、$y$的线性项，解题思路是先对分子、分母分组提取公因式，将其转化为含有$x-y$的形式，再利用整体代入法，把$x-y=2xy$代入化简后的式子，约去公因式$xy$即可求出结果。
【解析】
首先对所求分式的分子、分母变形：
分子：$2x - xy - 2y = 2(x - y) - xy$
分母：$3x + xy - 3y = 3(x - y) + xy$
已知$x - y = 2xy$，将其代入变形后的分子和分母：
分子：$2×2xy - xy = 4xy - xy = 3xy$
分母：$3×2xy + xy = 6xy + xy = 7xy$
因为分式分母不为0，故$xy≠0$，分子分母同除以$xy$，得：
$\frac{3xy}{7xy} = \frac{3}{7}$
【答案】
C
【知识点】
代数式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入的思想简化计算，通过对分式的合理变形，将已知条件直接代入，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐过程，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
5.某班学生去距学校7km的地方研学，一部分学生骑自行车先走，过了30min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，设骑车学生的速度为$x\mathrm{km/h}$，下列方程正确的是 ……………………………………………………………（
A.$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = 30$
B.$\dfrac{7}{4x} - \dfrac{7}{x} = 30$
C.$\dfrac{7}{4x} - \dfrac{7}{x} = \dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = \dfrac{1}{2}$
D
）A.$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = 30$
B.$\dfrac{7}{4x} - \dfrac{7}{x} = 30$
C.$\dfrac{7}{4x} - \dfrac{7}{x} = \dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = \dfrac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用的题目，解题思路如下：1. 先统一时间单位：题目中给出的先走时间是30分钟，需转换为小时，即$30\mathrm{min}=\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$；2. 分别表示两类学生的行驶时间：根据“时间=路程÷速度”，结合设骑车学生速度为$x\mathrm{km/h}$，汽车速度为$4x\mathrm{km/h}$，可得出骑车时间为$\dfrac{7}{x}\mathrm{h}$，汽车行驶时间为$\dfrac{7}{4x}\mathrm{h}$；3. 找等量关系：骑车学生先走$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$且最终同时到达，说明骑车时间比汽车多$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$，据此列方程。
【解析】
解：首先统一时间单位，$30\mathrm{min}=\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$。设骑车学生的速度为$x\mathrm{km/h}$，则汽车的速度为$4x\mathrm{km/h}$。根据“时间=路程÷速度”，骑车学生的行驶时间为$\dfrac{7}{x}\mathrm{h}$，乘汽车学生的行驶时间为$\dfrac{7}{4x}\mathrm{h}$。由于骑车学生比乘汽车学生多用$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$，因此可列方程：$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = \dfrac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题考查行程问题中的分式方程应用，核心是找准时间差的等量关系，需注意时间单位的统一，避免因单位不统一列错方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类分式方程应用的题目，解题思路如下：1. 先统一时间单位：题目中给出的先走时间是30分钟，需转换为小时，即$30\mathrm{min}=\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$；2. 分别表示两类学生的行驶时间：根据“时间=路程÷速度”，结合设骑车学生速度为$x\mathrm{km/h}$，汽车速度为$4x\mathrm{km/h}$，可得出骑车时间为$\dfrac{7}{x}\mathrm{h}$，汽车行驶时间为$\dfrac{7}{4x}\mathrm{h}$；3. 找等量关系：骑车学生先走$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$且最终同时到达，说明骑车时间比汽车多$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$，据此列方程。
【解析】
解：首先统一时间单位，$30\mathrm{min}=\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$。设骑车学生的速度为$x\mathrm{km/h}$，则汽车的速度为$4x\mathrm{km/h}$。根据“时间=路程÷速度”，骑车学生的行驶时间为$\dfrac{7}{x}\mathrm{h}$，乘汽车学生的行驶时间为$\dfrac{7}{4x}\mathrm{h}$。由于骑车学生比乘汽车学生多用$\dfrac{1}{2}\mathrm{h}$，因此可列方程：$\dfrac{7}{x} - \dfrac{7}{4x} = \dfrac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题考查行程问题中的分式方程应用，核心是找准时间差的等量关系，需注意时间单位的统一，避免因单位不统一列错方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
6.(2024·宁波江北)已知a是实数,若分式方程$\frac{3x+a}{x+2}=1$无解,则a的值为…………………(
A.6
B.3
C.0
D.-3
A
)A.6
B.3
C.0
D.-3
答案
A
解析
【分析】分式方程无解的核心原因是去分母后得到的整式方程的解为原分式方程的增根（即使分母为0的根）。解题时需先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的条件求出参数a的值。
【解析】解：给分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)$，得：
$3x + a = x + 2$
移项、合并同类项，得：$2x = 2 - a$
系数化为1，得：$x = \frac{2 - a}{2}$
原分式方程的分母为$x+2$，因此增根为$x=-2$。
由于分式方程无解，说明整式方程的解是增根，将$x=-2$代入$x = \frac{2 - a}{2}$，得：
$\frac{2 - a}{2} = -2$
两边同乘2：$2 - a = -4$
解得：$a=6$
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件、增根的应用
【点评】本题考查分式方程无解的问题，关键是理解“分式方程无解等价于整式方程的解为增根”，需掌握分式方程转化为整式方程的方法及增根的判断，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：给分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)$，得：
$3x + a = x + 2$
移项、合并同类项，得：$2x = 2 - a$
系数化为1，得：$x = \frac{2 - a}{2}$
原分式方程的分母为$x+2$，因此增根为$x=-2$。
由于分式方程无解，说明整式方程的解是增根，将$x=-2$代入$x = \frac{2 - a}{2}$，得：
$\frac{2 - a}{2} = -2$
两边同乘2：$2 - a = -4$
解得：$a=6$
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件、增根的应用
【点评】本题考查分式方程无解的问题，关键是理解“分式方程无解等价于整式方程的解为增根”，需掌握分式方程转化为整式方程的方法及增根的判断，属于基础题型。
【难度系数】0.5
7.(2024·湖州德清)小德不小心将墨汁滴到了作业纸上,导致分式$\frac{\mathrm{$
$}}{2x + y}$中有部分代数式被墨汁污染,小清告诉小德,当$x$和$y$都扩大为原来的2倍时,分式的值也扩大为原来的2倍,则■的内容可能是 ………………………………………………………………………………………………（
A.$2$
B.$x$
C.$x^2$
D.$4$
$}}{2x + y}$中有部分代数式被墨汁污染,小清告诉小德,当$x$和$y$都扩大为原来的2倍时,分式的值也扩大为原来的2倍,则■的内容可能是 ………………………………………………………………………………………………（B
）A.$2$
B.$x$
C.$x^2$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】设被墨汁污染的代数式为$A$，根据题意，当$x$和$y$都扩大为原来的2倍时，新的$x$为$2x$，新的$y$为$2y$，原分式为$\frac{A}{2x+y}$，新分式为$\frac{A(2x,2y)}{2·(2x)+2y}=\frac{A(2x,2y)}{4x+2y}=\frac{A(2x,2y)}{2(2x+y)}$。题目要求新分式的值是原分式的2倍，据此列出等式，再代入选项逐一验证即可。
【解析】设被污染的代数式为$A$，原分式为$\frac{A}{2x+y}$。当$x$、$y$都扩大为原来的2倍时，新分式为$\frac{A(2x,2y)}{2·(2x)+2y}=\frac{A(2x,2y)}{4x+2y}=\frac{A(2x,2y)}{2(2x+y)}$。根据题意，新分式的值是原分式的2倍，因此：
$\frac{A(2x,2y)}{2(2x+y)} = 2·\frac{A}{2x+y}$
两边约去$\frac{1}{2x+y}$，得：
$\frac{A(2x,2y)}{2} = 2A \implies A(2x,2y)=4A$
逐一分析选项：
选项A：若$A=2$，则$A(2x,2y)=2$，$4A=8$，$2≠8$，不符合；
选项B：若$A=x$，则$A(2x,2y)=2x$，$4A=4x$，$2x≠4x$，不符合；
选项C：若$A=x^2$，则$A(2x,2y)=(2x)^2=4x^2$，$4A=4x^2$，符合；
选项D：若$A=4$，则$A(2x,2y)=4$，$4A=16$，$4≠16$，不符合。
因此，被污染的内容是$x^2$。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题考查分式的基本性质，核心是根据题意建立等式，代入选项验证即可，难度适中，需要准确理解变量扩大后代数式的变化。
【难度系数】0.6
【解析】设被污染的代数式为$A$，原分式为$\frac{A}{2x+y}$。当$x$、$y$都扩大为原来的2倍时，新分式为$\frac{A(2x,2y)}{2·(2x)+2y}=\frac{A(2x,2y)}{4x+2y}=\frac{A(2x,2y)}{2(2x+y)}$。根据题意，新分式的值是原分式的2倍，因此：
$\frac{A(2x,2y)}{2(2x+y)} = 2·\frac{A}{2x+y}$
两边约去$\frac{1}{2x+y}$，得：
$\frac{A(2x,2y)}{2} = 2A \implies A(2x,2y)=4A$
逐一分析选项：
选项A：若$A=2$，则$A(2x,2y)=2$，$4A=8$，$2≠8$，不符合；
选项B：若$A=x$，则$A(2x,2y)=2x$，$4A=4x$，$2x≠4x$，不符合；
选项C：若$A=x^2$，则$A(2x,2y)=(2x)^2=4x^2$，$4A=4x^2$，符合；
选项D：若$A=4$，则$A(2x,2y)=4$，$4A=16$，$4≠16$，不符合。
因此，被污染的内容是$x^2$。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题考查分式的基本性质，核心是根据题意建立等式，代入选项验证即可，难度适中，需要准确理解变量扩大后代数式的变化。
【难度系数】0.6
8. (2024·绍兴越城、上虞)若正整数$m,n$满足$8m+9n=mn+1$,则$m$的最大值为 …………（
A.60
B.70
C.80
D.90
C
）A.60
B.70
C.80
D.90
答案
解析:因为$8m+9n=mn+1$,所以$8m-mn=1-9n$,所以$m=\frac{1-9n}{8-n}=\frac{9(n-8)+71}{n-8}=9+\frac{71}{n-8}$,当$n=9$时,$m=80$,所以$m$的最大值为80。故选C。
解析
【分析】本题是求二元不定方程的正整数解中m的最大值，核心思路是通过分离参数法将方程变形，把m用含n的分式表示，再结合m、n为正整数的条件，利用分式的整除性确定n的取值，进而求出m的最大值。具体步骤为：先移项整理方程，将m单独解出，再对分式进行拆分，转化为整数加分数的形式，根据分数部分为整数确定n的可能值，最后计算对应的m并找到最大值。
【解析】已知$8m + 9n = mn + 1$，移项得：$mn - 8m = 9n - 1$，提取公因式$m$得：$m(n - 8) = 9n - 1$，因此$m = \frac{9n - 1}{n - 8}$。对分式变形：$9n - 1 = 9(n - 8) + 72 - 1 = 9(n - 8) + 71$，故$m = \frac{9(n - 8) + 71}{n - 8} = 9 + \frac{71}{n - 8}$。因为m、n是正整数，所以$\frac{71}{n - 8}$必须为正整数，且$n - 8 ＞ 0$（若$n - 8 ＜ 0$，则$\frac{71}{n - 8}$为负，m会小于9，不符合正整数要求）。71是质数，其正约数为1和71，因此$n - 8 = 1$或$n - 8 = 71$。当$n - 8 = 1$时，$n = 9$，此时$m = 9 + \frac{71}{1} = 80$；当$n - 8 = 71$时，$n = 79$，此时$m = 9 + \frac{71}{71} = 10$。比较得m的最大值为80。
【答案】C
【知识点】不定方程的整数解、分式变形、最值问题
【点评】本题通过分离参数法将二元不定方程转化为可利用整数性质求解的形式，关键在于对分式的合理拆分，结合质数的约数特点确定n的取值，进而快速得到m的最大值，是不定方程求最值的典型应用。
【难度系数】0.4
【解析】已知$8m + 9n = mn + 1$，移项得：$mn - 8m = 9n - 1$，提取公因式$m$得：$m(n - 8) = 9n - 1$，因此$m = \frac{9n - 1}{n - 8}$。对分式变形：$9n - 1 = 9(n - 8) + 72 - 1 = 9(n - 8) + 71$，故$m = \frac{9(n - 8) + 71}{n - 8} = 9 + \frac{71}{n - 8}$。因为m、n是正整数，所以$\frac{71}{n - 8}$必须为正整数，且$n - 8 ＞ 0$（若$n - 8 ＜ 0$，则$\frac{71}{n - 8}$为负，m会小于9，不符合正整数要求）。71是质数，其正约数为1和71，因此$n - 8 = 1$或$n - 8 = 71$。当$n - 8 = 1$时，$n = 9$，此时$m = 9 + \frac{71}{1} = 80$；当$n - 8 = 71$时，$n = 79$，此时$m = 9 + \frac{71}{71} = 10$。比较得m的最大值为80。
【答案】C
【知识点】不定方程的整数解、分式变形、最值问题
【点评】本题通过分离参数法将二元不定方程转化为可利用整数性质求解的形式，关键在于对分式的合理拆分，结合质数的约数特点确定n的取值，进而快速得到m的最大值，是不定方程求最值的典型应用。
【难度系数】0.4
9.(2024·绍兴柯桥)当$x=$
$\dfrac{7}{2}$
时，分式$\dfrac{x+1}{2x-7}$无意义。答案
$\frac{7}{2}$
解析
【分析】要确定分式无意义时x的值，需明确分式的核心性质：对于分式$\dfrac{A}{B}$，当分母$B=0$时，分式无意义。因此本题只需令该分式的分母等于0，解对应的一元一次方程即可得到x的值。
【解析】根据分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。令本题分式的分母等于0，可得方程：
$2x - 7 = 0$
移项得：$2x = 7$
系数化为1得：$x = \dfrac{7}{2}$
【答案】$\dfrac{7}{2}$
【知识点】分式无意义的条件，一元一次方程的解法
【点评】本题考查分式无意义的基础知识点，属于初中数学的基础题型，解题思路直接，只要牢记分式无意义时分母为0的规则，即可快速完成求解，适合巩固分式的核心概念。
【难度系数】0.8
【解析】根据分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。令本题分式的分母等于0，可得方程：
$2x - 7 = 0$
移项得：$2x = 7$
系数化为1得：$x = \dfrac{7}{2}$
【答案】$\dfrac{7}{2}$
【知识点】分式无意义的条件，一元一次方程的解法
【点评】本题考查分式无意义的基础知识点，属于初中数学的基础题型，解题思路直接，只要牢记分式无意义时分母为0的规则，即可快速完成求解，适合巩固分式的核心概念。
【难度系数】0.8
10.若$\frac{a}{b}=2$，则分式$\frac{a^2 - ab}{a^2 + b^2}=$______。
答案
$\frac{2}{5}$
解析
【分析】已知两个变量的比值，求分式的值，可利用比例关系将待求式转化为仅含已知比值的形式，通过代入计算得到结果，核心是运用分式的基本性质简化式子。
【解析】因为$\frac{a}{b}=2$，所以$b≠0$，将分式$\frac{a^2 - ab}{a^2 + b^2}$的分子、分母同时除以$b^2$，可得：
$\frac{a^2 - ab}{a^2 + b^2}=\frac{(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^2 +1}$
把$\frac{a}{b}=2$代入上式，计算得：
$\frac{2^2 - 2}{2^2 +1}=\frac{4-2}{5}=\frac{2}{5}$
【答案】$\frac{2}{5}$
【知识点】分式的化简求值，比例的性质
【点评】本题是分式化简求值的基础题型，通过分式基本性质将待求式转化为含已知比值的形式，计算过程简单，主要考察学生对分式基本性质和比例关系的运用能力。
【难度系数】0.8
【解析】因为$\frac{a}{b}=2$，所以$b≠0$，将分式$\frac{a^2 - ab}{a^2 + b^2}$的分子、分母同时除以$b^2$，可得：
$\frac{a^2 - ab}{a^2 + b^2}=\frac{(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^2 +1}$
把$\frac{a}{b}=2$代入上式，计算得：
$\frac{2^2 - 2}{2^2 +1}=\frac{4-2}{5}=\frac{2}{5}$
【答案】$\frac{2}{5}$
【知识点】分式的化简求值，比例的性质
【点评】本题是分式化简求值的基础题型，通过分式基本性质将待求式转化为含已知比值的形式，计算过程简单，主要考察学生对分式基本性质和比例关系的运用能力。
【难度系数】0.8
