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10.已知$x^2 - 5x + 1 = 0$，则$(x - \dfrac{1}{x})^2 =$
21
。答案
21
解析
【分析】要解决这个问题，首先判断已知方程中$x≠0$（若$x=0$代入方程不成立），将方程两边除以$x$得到$x+\frac{1}{x}$的值；再把所求的$(x-\frac{1}{x})^2$展开，结合完全平方公式的变形，用$x+\frac{1}{x}$的值替换计算，即可得出结果。
【解析】
解：已知$x^2 - 5x + 1 = 0$，
因为若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1 = 1≠0$，所以$x≠0$。
方程两边同时除以$x$，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，
整理得：$x + \frac{1}{x} = 5$。
根据完全平方公式展开所求式子：
$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$。
利用完全平方公式变形$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，将$x+\frac{1}{x}=5$代入得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=5^2 - 2=25 - 2=23$。
因此：
$(x - \frac{1}{x})^2=23 - 2=21$。
【答案】21
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题通过对一元二次方程的合理变形，结合完全平方公式的灵活应用求解目标式，关键在于推导$x+\frac{1}{x}$的值，考查代数化简与公式变形能力，属于中等难度的代数求值题。
【难度系数】0.6
【解析】
解：已知$x^2 - 5x + 1 = 0$，
因为若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1 = 1≠0$，所以$x≠0$。
方程两边同时除以$x$，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，
整理得：$x + \frac{1}{x} = 5$。
根据完全平方公式展开所求式子：
$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$。
利用完全平方公式变形$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，将$x+\frac{1}{x}=5$代入得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=5^2 - 2=25 - 2=23$。
因此：
$(x - \frac{1}{x})^2=23 - 2=21$。
【答案】21
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题通过对一元二次方程的合理变形，结合完全平方公式的灵活应用求解目标式，关键在于推导$x+\frac{1}{x}$的值，考查代数化简与公式变形能力，属于中等难度的代数求值题。
【难度系数】0.6
11.(2024·宁波江北)A,B两市相距200km,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15km/h,且甲车比乙车早半小时到达目的地,若设乙车的速度是$x$km/h,则根据题意,可列方程为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
答案
$\dfrac{200}{x}-\dfrac{200}{x+15}=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题思路是：先根据题意用含$x$的式子表示出甲车的速度，再利用“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙两车行驶全程的时间，最后根据“甲车比乙车早半小时到达”这一等量关系列出方程。
【解析】
设乙车的速度是$x$km/h，因为甲车速度比乙车速度快15km/h，所以甲车速度为$(x+15)$km/h。
根据“时间=路程÷速度”，乙车行驶全程的时间为$\frac{200}{x}$h，甲车行驶全程的时间为$\frac{200}{x+15}$h。
已知甲车比乙车早半小时（即$\frac{1}{2}$h）到达，因此乙车行驶时间减去甲车行驶时间等于$\frac{1}{2}$h，据此可列方程：
$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+15}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{200}{x}-\dfrac{200}{x+15}=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是找准时间差的等量关系，属于常见的常规应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的分式方程应用题，解题思路是：先根据题意用含$x$的式子表示出甲车的速度，再利用“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙两车行驶全程的时间，最后根据“甲车比乙车早半小时到达”这一等量关系列出方程。
【解析】
设乙车的速度是$x$km/h，因为甲车速度比乙车速度快15km/h，所以甲车速度为$(x+15)$km/h。
根据“时间=路程÷速度”，乙车行驶全程的时间为$\frac{200}{x}$h，甲车行驶全程的时间为$\frac{200}{x+15}$h。
已知甲车比乙车早半小时（即$\frac{1}{2}$h）到达，因此乙车行驶时间减去甲车行驶时间等于$\frac{1}{2}$h，据此可列方程：
$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+15}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{200}{x}-\dfrac{200}{x+15}=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是找准时间差的等量关系，属于常见的常规应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
12.(2024·金华金东、婺城)若$7^{m}=11,11^{n}=7$,则$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}$的值为
1
。答案
解析:因为$7^m=11,11^n=7$,所以$(11^n)^m=11$,所以$11^{mn}=11$,所以$mn=1$,所以$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}=\frac{m(n+1)}{(m+1)(n+1)}+\frac{n(m+1)}{(m+1)(n+1)}=\frac{mn+m+mn+n}{(m+1)(n+1)}=\frac{m+2mn+n}{mn+m+n+1}=\frac{m+2+n}{m+2+n}=1$。故答案为1。
解析
【分析】
要计算$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}$的值，需先根据已知条件$7^m=11$和$11^n=7$推导$m$与$n$的关系。利用幂的乘方运算法则，将$11^n=7$代入$7^m=11$，可得出$mn=1$；再对所求分式通分化简，代入$mn=1$即可求出结果。
【解析】
解：已知$7^m=11$，$11^n=7$，
将$11^n=7$代入$7^m=11$，得$(11^n)^m=11$，
根据幂的乘方运算法则$(a^b)^c=a^{bc}$，可得$11^{mn}=11$，
因为底数相同且不为1，所以指数相等，即$mn=1$。
对$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}$通分：
$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}=\frac{m(n+1)+n(m+1)}{(m+1)(n+1)}$
展开分子：$m(n+1)+n(m+1)=mn+m + mn +n=2mn + m +n$
展开分母：$(m+1)(n+1)=mn + m +n +1$
将$mn=1$代入分子和分母：
分子$=2×1 + m +n = m +n +2$
分母$=1 + m +n +1 = m +n +2$
因此$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}=\frac{m+n+2}{m+n+2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、分式的化简求值
【点评】
本题核心是利用幂的乘方逆运算求出$mn=1$，再通过分式通分化简代入计算，属于基础题型，重点考查学生对幂运算和分式化简的掌握。
【难度系数】
0.5
要计算$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}$的值，需先根据已知条件$7^m=11$和$11^n=7$推导$m$与$n$的关系。利用幂的乘方运算法则，将$11^n=7$代入$7^m=11$，可得出$mn=1$；再对所求分式通分化简，代入$mn=1$即可求出结果。
【解析】
解：已知$7^m=11$，$11^n=7$，
将$11^n=7$代入$7^m=11$，得$(11^n)^m=11$，
根据幂的乘方运算法则$(a^b)^c=a^{bc}$，可得$11^{mn}=11$，
因为底数相同且不为1，所以指数相等，即$mn=1$。
对$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}$通分：
$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}=\frac{m(n+1)+n(m+1)}{(m+1)(n+1)}$
展开分子：$m(n+1)+n(m+1)=mn+m + mn +n=2mn + m +n$
展开分母：$(m+1)(n+1)=mn + m +n +1$
将$mn=1$代入分子和分母：
分子$=2×1 + m +n = m +n +2$
分母$=1 + m +n +1 = m +n +2$
因此$\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}=\frac{m+n+2}{m+n+2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、分式的化简求值
【点评】
本题核心是利用幂的乘方逆运算求出$mn=1$，再通过分式通分化简代入计算，属于基础题型，重点考查学生对幂运算和分式化简的掌握。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13. 解下列分式方程：
(1)$(2024·$绍兴嵊州$)\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}+\dfrac{2}{x-1}=0$；
(2)$(2024·$绍兴柯桥$)\dfrac{3}{1-y}=\dfrac{y}{y-1}-2$。
13. 解下列分式方程：
(1)$(2024·$绍兴嵊州$)\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}+\dfrac{2}{x-1}=0$；
(2)$(2024·$绍兴柯桥$)\dfrac{3}{1-y}=\dfrac{y}{y-1}-2$。
答案
13.(1)$x=\frac{1}{3}$。(2)$y=5$。
解析
【分析】
解分式方程的核心是将其转化为整式方程求解，关键步骤为：找最简公分母去分母、解整式方程、检验根是否为增根。对于(1)，先对分母因式分解确定最简公分母；对于(2)，先利用分式符号性质统一分母，再按步骤求解并检验。
【解析】
(1) 原方程$\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}+\dfrac{2}{x-1}=0$，
因式分解分母得：$\dfrac{x+1}{(x-1)^2}+\dfrac{2}{x-1}=0$，
两边同乘最简公分母$(x-1)^2$去分母得：
$x+1 + 2(x-1) = 0$，
展开整理：$3x -1=0$，
解得：$x=\dfrac{1}{3}$，
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，$(x-1)^2=\dfrac{4}{9}≠0$，
故$x=\dfrac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 原方程$\dfrac{3}{1-y}=\dfrac{y}{y-1}-2$，
利用分式符号性质变形左边：$\dfrac{3}{1-y}=-\dfrac{3}{y-1}$，
方程变为：$-\dfrac{3}{y-1}=\dfrac{y}{y-1}-2$，
两边同乘最简公分母$(y-1)$去分母得：
$-3 = y - 2(y-1)$，
展开整理：$-3 = -y +2$，
解得：$y=5$，
检验：当$y=5$时，$y-1=4≠0$，
故$y=5$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{3}$；(2)$y=5$
【知识点】
解分式方程、增根检验、分式符号性质
【点评】
本题考查分式方程的基本解法，需注意去分母时每一项都要乘最简公分母，且必须检验根是否使原分式分母为0，避免增根；第(2)题通过变形统一分母简化计算，是解题的关键。
【难度系数】
0.5
解分式方程的核心是将其转化为整式方程求解，关键步骤为：找最简公分母去分母、解整式方程、检验根是否为增根。对于(1)，先对分母因式分解确定最简公分母；对于(2)，先利用分式符号性质统一分母，再按步骤求解并检验。
【解析】
(1) 原方程$\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}+\dfrac{2}{x-1}=0$，
因式分解分母得：$\dfrac{x+1}{(x-1)^2}+\dfrac{2}{x-1}=0$，
两边同乘最简公分母$(x-1)^2$去分母得：
$x+1 + 2(x-1) = 0$，
展开整理：$3x -1=0$，
解得：$x=\dfrac{1}{3}$，
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，$(x-1)^2=\dfrac{4}{9}≠0$，
故$x=\dfrac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 原方程$\dfrac{3}{1-y}=\dfrac{y}{y-1}-2$，
利用分式符号性质变形左边：$\dfrac{3}{1-y}=-\dfrac{3}{y-1}$，
方程变为：$-\dfrac{3}{y-1}=\dfrac{y}{y-1}-2$，
两边同乘最简公分母$(y-1)$去分母得：
$-3 = y - 2(y-1)$，
展开整理：$-3 = -y +2$，
解得：$y=5$，
检验：当$y=5$时，$y-1=4≠0$，
故$y=5$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{3}$；(2)$y=5$
【知识点】
解分式方程、增根检验、分式符号性质
【点评】
本题考查分式方程的基本解法，需注意去分母时每一项都要乘最简公分母，且必须检验根是否使原分式分母为0，避免增根；第(2)题通过变形统一分母简化计算，是解题的关键。
【难度系数】
0.5
14.(2024·金华金东、婺城)某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元。指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①:甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②:乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③:若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成。
(1)求甲、乙两厂单独完成此项任务各需多少天。
(2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由。
方案①:甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②:乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③:若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成。
(1)求甲、乙两厂单独完成此项任务各需多少天。
(2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由。
答案
14.(1)设甲厂单独完成此项任务需$x$天,则乙厂单独完成此项任务需$(x+5)$天。依题意得$\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$,解得$x=20$。经检验,$x=20$是原分式方程的解,且符合题意,所以$x+5=25$。答:甲厂单独完成此项任务需20天,乙厂单独完成此项任务需25天。(2)方案③是最节省费用的施工方案。理由如下:这三种施工方案需要的费用为:方案①:$1.5×20=30$(万元);方案②:$1.1×25=27.5$(万元),但乙厂单独完成这项任务超过了工期,不能选;方案③:$1.5×4+1.1×20=28$(万元)。因为$30＞28$,所以方案③是最节省费用的施工方案。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是工程问题，需利用工作总量=工作效率×工作时间的关系，结合方案③的施工条件建立等量关系求解；第(2)问需先根据“不耽误工期”的要求排除不符合的方案，再分别计算可行方案的费用，比较后得出最节省的方案。具体思路：①设甲厂单独完成需$x$天（即规定工期），则乙厂单独需$(x+5)$天，根据方案③“甲、乙合作4天，余下乙单独做如期完成”，总工作量为1，列分式方程求解；②第(2)问先判断方案②乙单独超期，排除，再计算方案①和③的费用，比较大小确定最优方案。
【解析】
(1)设甲厂单独完成此项任务需$x$天，则乙厂单独完成此项任务需$(x+5)$天。
根据方案③的条件，甲、乙合作4天的工作量加上乙单独做剩余工期的工作量等于总工作量1，可列方程：
$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$
解方程：
两边同乘$x(x+5)$得：$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
展开化简：$4x + 20 + x^2 = x^2 +5x$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原分式方程的解，且符合题意，因此乙厂单独完成需$20+5=25$天。
(2)计算各方案费用：
方案①：甲单独完成，费用为$1.5×20=30$（万元）；
方案②：乙单独完成需25天，比规定工期多用5天，耽误工期，不能选；
方案③：甲、乙合作4天，余下乙单独做，费用为$1.5×4 +1.1×20=6+22=28$（万元）；
因为$30＞28$，所以方案③最节省费用。
【答案】
(1)甲厂单独完成此项任务需20天，乙厂单独完成此项任务需25天；
(2)方案③是最节省费用的施工方案。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题是工程类分式方程的实际应用，关键在于准确提取方案中的等量关系，同时需注意第(2)问中“不耽误工期”的限制条件，避免误选方案②，整体难度适中，侧重考查学生的逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是工程问题，需利用工作总量=工作效率×工作时间的关系，结合方案③的施工条件建立等量关系求解；第(2)问需先根据“不耽误工期”的要求排除不符合的方案，再分别计算可行方案的费用，比较后得出最节省的方案。具体思路：①设甲厂单独完成需$x$天（即规定工期），则乙厂单独需$(x+5)$天，根据方案③“甲、乙合作4天，余下乙单独做如期完成”，总工作量为1，列分式方程求解；②第(2)问先判断方案②乙单独超期，排除，再计算方案①和③的费用，比较大小确定最优方案。
【解析】
(1)设甲厂单独完成此项任务需$x$天，则乙厂单独完成此项任务需$(x+5)$天。
根据方案③的条件，甲、乙合作4天的工作量加上乙单独做剩余工期的工作量等于总工作量1，可列方程：
$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$
解方程：
两边同乘$x(x+5)$得：$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
展开化简：$4x + 20 + x^2 = x^2 +5x$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原分式方程的解，且符合题意，因此乙厂单独完成需$20+5=25$天。
(2)计算各方案费用：
方案①：甲单独完成，费用为$1.5×20=30$（万元）；
方案②：乙单独完成需25天，比规定工期多用5天，耽误工期，不能选；
方案③：甲、乙合作4天，余下乙单独做，费用为$1.5×4 +1.1×20=6+22=28$（万元）；
因为$30＞28$，所以方案③最节省费用。
【答案】
(1)甲厂单独完成此项任务需20天，乙厂单独完成此项任务需25天；
(2)方案③是最节省费用的施工方案。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题是工程类分式方程的实际应用，关键在于准确提取方案中的等量关系，同时需注意第(2)问中“不耽误工期”的限制条件，避免误选方案②，整体难度适中，侧重考查学生的逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.6
