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1. 下列各数中，无理数是(
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.3.14
C.0
D.$π$
D
)。A.$-\dfrac{1}{3}$
B.3.14
C.0
D.$π$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的定义，再逐一判断每个选项所属的数的类型，最终选出符合无理数定义的选项。首先回忆：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. 3.14是有限小数，可以转化为分数，属于有理数，不符合要求；
C. 0是整数，属于有理数，不符合要求；
D. $π$是无限不循环小数，属于无理数，符合要求。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对有理数、无理数定义的区分，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的定义，再逐一判断每个选项所属的数的类型，最终选出符合无理数定义的选项。首先回忆：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. 3.14是有限小数，可以转化为分数，属于有理数，不符合要求；
C. 0是整数，属于有理数，不符合要求；
D. $π$是无限不循环小数，属于无理数，符合要求。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对有理数、无理数定义的区分，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图，数轴上表示$\sqrt{2}$的点是(
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
C
). A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D答案
2.C
解析
【分析】
要找到数轴上表示√2的点，首先需要估算√2的取值范围：先找出和2相邻的两个正的完全平方数，利用算术平方根的性质确定√2在哪两个整数之间，再对照数轴上各点的位置，即可匹配到对应的点。
【解析】
解：
∵1²=1，2²=4，且1＜2＜4
∴√1 ＜ √2 ＜ √4，即1 ＜ √2 ＜ 2
观察数轴可知：
点A在-1和0之间，点B在0和1之间，点C在1和2之间，点D在2和3之间
因此表示√2的是点C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，数轴与实数的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是先通过夹逼法估算出无理数的大致范围，再结合数轴上点的位置对应求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要找到数轴上表示√2的点，首先需要估算√2的取值范围：先找出和2相邻的两个正的完全平方数，利用算术平方根的性质确定√2在哪两个整数之间，再对照数轴上各点的位置，即可匹配到对应的点。
【解析】
解：
∵1²=1，2²=4，且1＜2＜4
∴√1 ＜ √2 ＜ √4，即1 ＜ √2 ＜ 2
观察数轴可知：
点A在-1和0之间，点B在0和1之间，点C在1和2之间，点D在2和3之间
因此表示√2的是点C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，数轴与实数的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是先通过夹逼法估算出无理数的大致范围，再结合数轴上点的位置对应求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.在0,1,−1,π中,最小的实数是(
A.0
B.−1
C.1
D.π
B
)。A.0
B.−1
C.1
D.π
答案
3.B
解析
【分析】
要找出给定实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本规律：所有正数都大于0，所有负数都小于0，正数一定大于负数。首先对4个给出的数分类，判断正、负属性和0，因为负数小于0和所有正数，若存在负数则最小数一定在负数中，本题只有-1一个负数，可快速锁定答案。
【解析】
根据实数大小比较的基本规则：正数＞0＞负数，所有正数均大于负数。
对题中四个数分类：1、π是正数，大于0；-1是负数，小于0。
因此四个数的大小关系为：$-1＜0＜1＜π$，所以最小的实数是-1。
【答案】
B
【知识点】
实数的大小比较
【点评】
本题属于基础常考题，考察实数大小比较的基础规则，只要掌握正负数与0的大小关系就能快速解答，难度很低。
【难度系数】
0.9
要找出给定实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本规律：所有正数都大于0，所有负数都小于0，正数一定大于负数。首先对4个给出的数分类，判断正、负属性和0，因为负数小于0和所有正数，若存在负数则最小数一定在负数中，本题只有-1一个负数，可快速锁定答案。
【解析】
根据实数大小比较的基本规则：正数＞0＞负数，所有正数均大于负数。
对题中四个数分类：1、π是正数，大于0；-1是负数，小于0。
因此四个数的大小关系为：$-1＜0＜1＜π$，所以最小的实数是-1。
【答案】
B
【知识点】
实数的大小比较
【点评】
本题属于基础常考题，考察实数大小比较的基础规则，只要掌握正负数与0的大小关系就能快速解答，难度很低。
【难度系数】
0.9
4. 下列各数中，最小的数是(
A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
A
).A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
4.A
解析
【分析】
要找出最小的数，首先先将所有选项中能化简的数先化简，再根据实数大小比较的规则判断：正数大于0，0大于所有负数，负数比较大小时，绝对值越大的负数数值越小。所以先排除正数，再比较剩余负数的绝对值大小即可得出最小的数。
【解析】
先化简各选项的数：
A. $-2$，无需化简，是负数；
B. $-(-2)=2$，是正数；
C. $-\dfrac{1}{2}=-0.5$，是负数；
D. $-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$-\sqrt{2}\approx-1.414$，是负数。
因为正数大于所有负数，所以B选项的2是最大的，先排除。
接下来比较三个负数的绝对值：
$|-2|=2$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=0.5$，$|-\sqrt{2}|\approx1.414$。
根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，可得$2＞1.414＞0.5$，因此对应的负数大小为：$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2}$。
综上，最小的数是$-2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、相反数化简、绝对值的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的应用，解题核心是先化简各数，再结合“正数大于负数，负数比较时绝对值大的反而小”的规则判断，掌握基础比较规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要找出最小的数，首先先将所有选项中能化简的数先化简，再根据实数大小比较的规则判断：正数大于0，0大于所有负数，负数比较大小时，绝对值越大的负数数值越小。所以先排除正数，再比较剩余负数的绝对值大小即可得出最小的数。
【解析】
先化简各选项的数：
A. $-2$，无需化简，是负数；
B. $-(-2)=2$，是正数；
C. $-\dfrac{1}{2}=-0.5$，是负数；
D. $-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$-\sqrt{2}\approx-1.414$，是负数。
因为正数大于所有负数，所以B选项的2是最大的，先排除。
接下来比较三个负数的绝对值：
$|-2|=2$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=0.5$，$|-\sqrt{2}|\approx1.414$。
根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，可得$2＞1.414＞0.5$，因此对应的负数大小为：$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2}$。
综上，最小的数是$-2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、相反数化简、绝对值的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的应用，解题核心是先化简各数，再结合“正数大于负数，负数比较时绝对值大的反而小”的规则判断，掌握基础比较规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，将面积为7的正方形ABCD放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为(
A.$-\sqrt{7}$
B.$2+\sqrt{7}$
C.$2-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}-2$
C
).A.$-\sqrt{7}$
B.$2+\sqrt{7}$
C.$2-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}-2$
答案
5.C [解析]
∵正方形ABCD的面积为7，
∴CB=√7,
∴CE=CB=√7.
∵点C表示的数是2,点E在点C的左边，
∴点E表示的数是2−√7.故选C.
∵正方形ABCD的面积为7，
∴CB=√7,
∴CE=CB=√7.
∵点C表示的数是2,点E在点C的左边，
∴点E表示的数是2−√7.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积和边长的关系，已知正方形面积求边长，需要计算面积的算术平方根；接下来根据画弧的规则，同圆的半径相等，因此CE的长度等于正方形的边长；最后观察数轴上E的位置，E在表示数2的点C的左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，所以用C点表示的数减去CE的长度，即可得到E点表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，正方形的边长是面积的算术平方根，
∴正方形的边长$CB=\sqrt{7}$，
由画弧的规则可知半径相等，因此$CE=CB=\sqrt{7}$，
∵点C表示的数是2，且点E在点C的左侧，
∴点E表示的数为$2-\sqrt{7}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根；实数与数轴；正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质和数轴知识命题，解题的关键是掌握正方形边长的计算方法，以及数轴上点的位置和数的大小关系，做题时需注意判断所求点在参考点的左侧还是右侧，避免加减符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形面积和边长的关系，已知正方形面积求边长，需要计算面积的算术平方根；接下来根据画弧的规则，同圆的半径相等，因此CE的长度等于正方形的边长；最后观察数轴上E的位置，E在表示数2的点C的左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，所以用C点表示的数减去CE的长度，即可得到E点表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，正方形的边长是面积的算术平方根，
∴正方形的边长$CB=\sqrt{7}$，
由画弧的规则可知半径相等，因此$CE=CB=\sqrt{7}$，
∵点C表示的数是2，且点E在点C的左侧，
∴点E表示的数为$2-\sqrt{7}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根；实数与数轴；正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质和数轴知识命题，解题的关键是掌握正方形边长的计算方法，以及数轴上点的位置和数的大小关系，做题时需注意判断所求点在参考点的左侧还是右侧，避免加减符号出错。
【难度系数】
0.8
6. 估计$\sqrt{10}$的值在(
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
).A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
6.C [解析]
∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4,即√10在3和4之间.故选C.
思路引导 本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出√10的范围，题目比较典型，难度不大.
∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4,即√10在3和4之间.故选C.
思路引导 本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出√10的范围，题目比较典型，难度不大.
解析
【分析】
要估算$\sqrt{10}$的取值范围，首先需要找到和被开方数10相邻的两个正的完全平方数，再根据算术平方根的大小比较规则，就能推出$\sqrt{10}$所在的整数区间，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵$9＜10＜16$，
对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
又
∵$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，
∴$3＜\sqrt{10}＜4$，
即$\sqrt{10}$的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 估算无理数的大小
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算无理数大小的基础常考题，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此为桥梁确定无理数的取值范围，解题思路易懂，考察内容较为基础。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{10}$的取值范围，首先需要找到和被开方数10相邻的两个正的完全平方数，再根据算术平方根的大小比较规则，就能推出$\sqrt{10}$所在的整数区间，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵$9＜10＜16$，
对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
又
∵$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，
∴$3＜\sqrt{10}＜4$，
即$\sqrt{10}$的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 估算无理数的大小
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算无理数大小的基础常考题，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此为桥梁确定无理数的取值范围，解题思路易懂，考察内容较为基础。
【难度系数】
0.8
7.若$\sqrt{5} ＜ m ＜ \sqrt{10}$，则整数$m$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过“夹逼法”先估算出$\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间，再结合m的取值范围，找出范围内的整数即可。首先回忆算术平方根的性质：当两个非负数$a＜b$时，$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，我们可以利用相邻的完全平方数来确定两个无理数的范围。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，根据算术平方根的大小比较规则，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，同理可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步：确定整数m的值
已知$\sqrt{5}＜m＜\sqrt{10}$，结合上面的估算结果可得$2＜\sqrt{5}＜m＜\sqrt{10}＜4$，即m的取值在2和4之间，其中的整数只有3。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数部分的基础常考题，核心是利用相邻完全平方数确定无理数的整数范围，解题时熟记1到20的平方数能大幅提升做题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以通过“夹逼法”先估算出$\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间，再结合m的取值范围，找出范围内的整数即可。首先回忆算术平方根的性质：当两个非负数$a＜b$时，$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，我们可以利用相邻的完全平方数来确定两个无理数的范围。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，根据算术平方根的大小比较规则，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，同理可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步：确定整数m的值
已知$\sqrt{5}＜m＜\sqrt{10}$，结合上面的估算结果可得$2＜\sqrt{5}＜m＜\sqrt{10}＜4$，即m的取值在2和4之间，其中的整数只有3。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数部分的基础常考题，核心是利用相邻完全平方数确定无理数的整数范围，解题时熟记1到20的平方数能大幅提升做题效率。
【难度系数】
0.8
8.如图,在数轴上的A,B两点表示的数分别为$\sqrt{2}$和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
8.C [解析]
∵√1＜√2＜√4,
∴1＜√2＜2,
∴√2和5.1之间有整数2,3,4,5,共4个.故选C.
归纳总结 本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键.
∵√1＜√2＜√4,
∴1＜√2＜2,
∴√2和5.1之间有整数2,3,4,5,共4个.故选C.
归纳总结 本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确目标是找出介于$\sqrt{2}$和5.1之间的所有整数。第一步先估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，再结合5.1的大小，筛选出同时满足大于$\sqrt{2}$、小于5.1的整数，最后统计整数的个数即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
∴$1＜\sqrt{2}＜2$，
又
∵$5＜5.1＜6$，
因此介于$\sqrt{2}$和5.1之间的整数为2、3、4、5，共4个。
【答案】C
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴
【点评】
本题考查无理数的估算方法以及实数和数轴的对应关系，解题核心是准确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再结合区间端点的大小找出符合要求的整数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确目标是找出介于$\sqrt{2}$和5.1之间的所有整数。第一步先估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，再结合5.1的大小，筛选出同时满足大于$\sqrt{2}$、小于5.1的整数，最后统计整数的个数即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
∴$1＜\sqrt{2}＜2$，
又
∵$5＜5.1＜6$，
因此介于$\sqrt{2}$和5.1之间的整数为2、3、4、5，共4个。
【答案】C
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴
【点评】
本题考查无理数的估算方法以及实数和数轴的对应关系，解题核心是准确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再结合区间端点的大小找出符合要求的整数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
9. 传统文化 圆周率 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$
9. 传统文化 圆周率 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$
＞
$\frac{22}{7}$（填“＞”或“＜”）。答案
9.＞
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，我们可以用平方法：对于两个正数$a$和$b$，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$，反之则$a＜b$。我们只需要分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，就能推出原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$
将$10$化为分母为49的分数得：$10=\frac{490}{49}$
$\because \frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$
根据正数比较大小的规则：平方大的正数本身更大
可得$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较、二次根式的性质、乘方运算
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，通过平方法将带根号的数和分数转化为有理数比较，思路直观易操作，是实数相关运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，我们可以用平方法：对于两个正数$a$和$b$，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$，反之则$a＜b$。我们只需要分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，就能推出原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$
将$10$化为分母为49的分数得：$10=\frac{490}{49}$
$\because \frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$
根据正数比较大小的规则：平方大的正数本身更大
可得$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较、二次根式的性质、乘方运算
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，通过平方法将带根号的数和分数转化为有理数比较，思路直观易操作，是实数相关运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
10.如图，在数轴上，点A表示$\sqrt{3}$，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是
−√3
。答案
10.−√3
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上点的特征：若两个点在原点两侧，且到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数。已知点A表示的数是√3，只需要求出√3的相反数，就能得到点B表示的数。
【解析】
根据题意，点B和点A位于原点两侧，且到原点的距离相等，说明点B表示的数是点A表示的数的相反数。
已知点A表示√3，根据相反数的定义，√3的相反数是-√3，因此点B表示的数是-√3。
【答案】
-√3
【知识点】
数轴的性质；相反数的定义
【点评】
本题考查相反数的几何意义，属于基础题型，解题关键是理解数轴上到原点距离相等、分居原点两侧的点对应的数互为相反数。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确数轴上点的特征：若两个点在原点两侧，且到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数。已知点A表示的数是√3，只需要求出√3的相反数，就能得到点B表示的数。
【解析】
根据题意，点B和点A位于原点两侧，且到原点的距离相等，说明点B表示的数是点A表示的数的相反数。
已知点A表示√3，根据相反数的定义，√3的相反数是-√3，因此点B表示的数是-√3。
【答案】
-√3
【知识点】
数轴的性质；相反数的定义
【点评】
本题考查相反数的几何意义，属于基础题型，解题关键是理解数轴上到原点距离相等、分居原点两侧的点对应的数互为相反数。
【难度系数】
0.9
11.如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是－1，点B是AC的中点，线段AB＝$\sqrt{2}$，则点C表示的数是
2√2−1
。答案
11.2√2−1
解析
【分析】
解题时先结合数轴的特征：向右为数的正方向，数轴上右侧的数比左侧的数大，两点的距离对应两数差的绝对值。首先根据点A表示的数和AB的长度，求出中点B表示的数；再利用线段中点到两端点距离相等的性质，结合B的位置即可推导点C表示的数，也可直接用数轴中点坐标公式求解，即若点M是线段PQ的中点，P表示数p、Q表示数q，则M表示的数为$\frac{p+q}{2}$。
【解析】
步骤1：求点B表示的数
已知点A表示的数为$-1$，$AB=\sqrt{2}$，且点B在A的右侧，因此点B表示的数为A的数加AB的长度：
$B=-1+\sqrt{2}$
步骤2：利用中点性质求点C表示的数
因为B是AC的中点，所以$BC=AB=\sqrt{2}$，点C在B的右侧，因此点C表示的数为B的数加BC的长度：
$C=(-1+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$
【答案】
$2\sqrt{2}-1$
【知识点】
数轴的应用、线段中点性质、实数运算
【点评】
本题为数轴和线段性质结合的基础题型，解题核心是明确数轴上点的位置和数值的对应关系，结合中点性质逐步推导，是实数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先结合数轴的特征：向右为数的正方向，数轴上右侧的数比左侧的数大，两点的距离对应两数差的绝对值。首先根据点A表示的数和AB的长度，求出中点B表示的数；再利用线段中点到两端点距离相等的性质，结合B的位置即可推导点C表示的数，也可直接用数轴中点坐标公式求解，即若点M是线段PQ的中点，P表示数p、Q表示数q，则M表示的数为$\frac{p+q}{2}$。
【解析】
步骤1：求点B表示的数
已知点A表示的数为$-1$，$AB=\sqrt{2}$，且点B在A的右侧，因此点B表示的数为A的数加AB的长度：
$B=-1+\sqrt{2}$
步骤2：利用中点性质求点C表示的数
因为B是AC的中点，所以$BC=AB=\sqrt{2}$，点C在B的右侧，因此点C表示的数为B的数加BC的长度：
$C=(-1+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$
【答案】
$2\sqrt{2}-1$
【知识点】
数轴的应用、线段中点性质、实数运算
【点评】
本题为数轴和线段性质结合的基础题型，解题核心是明确数轴上点的位置和数值的对应关系，结合中点性质逐步推导，是实数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
12. 计算：$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2025} =$
1
.答案
12.1
解析
【分析】
本题是实数的基础运算题，解题思路分为两步：首先分别计算立方根和乘方的结果，再将两个结果相加得到最终答案。第一步先根据立方根的定义，找到立方等于8的数，即可得到$\sqrt[3]{8}$的结果；第二步根据-1的乘方规律：-1的奇数次幂为-1，偶数次幂为1，判断2025是奇数，得到$(-1)^{2025}$的结果，最后做加法运算即可。
【解析】
解：
1. 计算立方根：
因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算乘方：
2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$；
3. 求和运算：
$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2025}=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
立方根运算，有理数乘方运算，实数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对基础运算规则的掌握，牢记立方根定义和-1的乘方规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是实数的基础运算题，解题思路分为两步：首先分别计算立方根和乘方的结果，再将两个结果相加得到最终答案。第一步先根据立方根的定义，找到立方等于8的数，即可得到$\sqrt[3]{8}$的结果；第二步根据-1的乘方规律：-1的奇数次幂为-1，偶数次幂为1，判断2025是奇数，得到$(-1)^{2025}$的结果，最后做加法运算即可。
【解析】
解：
1. 计算立方根：
因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算乘方：
2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$；
3. 求和运算：
$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2025}=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
立方根运算，有理数乘方运算，实数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对基础运算规则的掌握，牢记立方根定义和-1的乘方规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 写出一个比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数
2(或3)
答案
13.2(或3)
解析
【分析】
要找出比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值范围，我们可以通过“夹逼法”，借助相邻的完全平方数来确定两个无理数的大致区间，再从区间里找出符合要求的整数即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{3}$的范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
第二步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步：找符合要求的整数
结合两个范围可知，满足大于$\sqrt{3}$且小于$\sqrt{10}$的数在$1.\mathrm{某数}$到$3.\mathrm{某数}$之间，其中的整数为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（或3）
【知识点】
无理数的估算、实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，利用完全平方数对无理数进行夹逼估值是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握常见整数的平方能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要找出比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值范围，我们可以通过“夹逼法”，借助相邻的完全平方数来确定两个无理数的大致区间，再从区间里找出符合要求的整数即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{3}$的范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
第二步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步：找符合要求的整数
结合两个范围可知，满足大于$\sqrt{3}$且小于$\sqrt{10}$的数在$1.\mathrm{某数}$到$3.\mathrm{某数}$之间，其中的整数为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（或3）
【知识点】
无理数的估算、实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，利用完全平方数对无理数进行夹逼估值是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握常见整数的平方能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
14.用四舍五入法将1.804精确到0.01后，得到的近似数是
1.80
。答案
14.1.80
解析
【分析】
要解决将1.804精确到0.01的问题，首先明确精确到0.01就是保留两位小数（即精确到百分位）；根据四舍五入的规则，精确到哪一位就需要看这一位的下一位数字的大小，判断是舍去还是进1。本题中百分位的下一位是千分位，只需判断千分位的数字和5的大小关系即可，同时要注意精确后末尾代表精度的0不能省略。
【解析】
步骤1：明确精确度要求：精确到0.01即保留两位小数，对应数位是百分位。
步骤2：找到需判断的下一位：1.804的千分位数字是4。
步骤3：根据四舍五入规则，数字小于5时直接舍去该位及之后的所有数字，由于4＜5，舍去千分位的4，得到近似数1.80（百分位的0不能省略，它代表该数精确到0.01的精度）。
【答案】
1.80
【知识点】
四舍五入法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数取值的基础题，解题核心是掌握四舍五入的规则，同时需注意精确到某一数位时，末尾代表精度的0不能随意舍去，避免误写为1.8。
【难度系数】
0.85
要解决将1.804精确到0.01的问题，首先明确精确到0.01就是保留两位小数（即精确到百分位）；根据四舍五入的规则，精确到哪一位就需要看这一位的下一位数字的大小，判断是舍去还是进1。本题中百分位的下一位是千分位，只需判断千分位的数字和5的大小关系即可，同时要注意精确后末尾代表精度的0不能省略。
【解析】
步骤1：明确精确度要求：精确到0.01即保留两位小数，对应数位是百分位。
步骤2：找到需判断的下一位：1.804的千分位数字是4。
步骤3：根据四舍五入规则，数字小于5时直接舍去该位及之后的所有数字，由于4＜5，舍去千分位的4，得到近似数1.80（百分位的0不能省略，它代表该数精确到0.01的精度）。
【答案】
1.80
【知识点】
四舍五入法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数取值的基础题，解题核心是掌握四舍五入的规则，同时需注意精确到某一数位时，末尾代表精度的0不能随意舍去，避免误写为1.8。
【难度系数】
0.85
15.由四舍五入得到的近似数 3.17 精确到
百分
位。答案
15.百分
解析
【分析】
要判断近似数精确到的数位，核心方法是找到近似数的最后一位数字，确认该数字对应的数位，这个数位就是近似数的精确位。本题中我们只需定位3.17的最后一位数字所在的数位即可求解。
【解析】
解：近似数3.17的最后一位数字是7，7处于小数点后第二位，小数点后第二位为百分位，因此近似数3.17精确到百分位。
【答案】
百分
【知识点】
近似数精确度判定，小数数位识别
【点评】
本题属于基础题型，主要考查近似数精确位的判断规则，掌握“以最后一位数字对应数位定精确位”的方法就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断近似数精确到的数位，核心方法是找到近似数的最后一位数字，确认该数字对应的数位，这个数位就是近似数的精确位。本题中我们只需定位3.17的最后一位数字所在的数位即可求解。
【解析】
解：近似数3.17的最后一位数字是7，7处于小数点后第二位，小数点后第二位为百分位，因此近似数3.17精确到百分位。
【答案】
百分
【知识点】
近似数精确度判定，小数数位识别
【点评】
本题属于基础题型，主要考查近似数精确位的判断规则，掌握“以最后一位数字对应数位定精确位”的方法就能快速得分。
【难度系数】
0.9
16. 近似数 $4.10 × 10^5$ 精确到
千
位。答案
16.千
解析
【分析】
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先要把科学记数法还原为普通整数，再找到近似数里最后一位有效数字在原数中对应的数位，这个数位就是近似数的精确位。注意不能直接按科学记数法中a的小数位数判断，必须对应原数的数位来确定。
【解析】
第一步，先将科学记数法表示的数还原为原数：
$4.10 × 10^5 = 4.10 × 100000 = 410000$
第二步，找$4.10$的最后一位有效数字是0，观察该0在原数410000中的位置：从右往左数数位依次是个、十、百、千、万、十万，这个0对应千位，因此该近似数精确到千位。
【答案】
千
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型考题，易错点是不还原原数，直接根据$4.10$的末位在百分位就误判精确到百分位，掌握“还原原数→对应末位有效数字的数位”的解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先要把科学记数法还原为普通整数，再找到近似数里最后一位有效数字在原数中对应的数位，这个数位就是近似数的精确位。注意不能直接按科学记数法中a的小数位数判断，必须对应原数的数位来确定。
【解析】
第一步，先将科学记数法表示的数还原为原数：
$4.10 × 10^5 = 4.10 × 100000 = 410000$
第二步，找$4.10$的最后一位有效数字是0，观察该0在原数410000中的位置：从右往左数数位依次是个、十、百、千、万、十万，这个0对应千位，因此该近似数精确到千位。
【答案】
千
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型考题，易错点是不还原原数，直接根据$4.10$的末位在百分位就误判精确到百分位，掌握“还原原数→对应末位有效数字的数位”的解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
17. 新情境 数值转换机 有一个数值转换机，原理如下：当输入的x为16时，输出的y为
√2
。答案
17.√2 [解析]第1次计算,得√16=4,而4是有理数，因此进行第2次计算,得√4=2,而2是有理数，因此进行第3次计算,得√2,√2是无理数,则输出y为√2.
归纳总结 本题考查了算术平方根,理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键.
归纳总结 本题考查了算术平方根,理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键.
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运行规则：输入x后，先计算x的算术平方根，再判断该结果是否为无理数，若为无理数则直接输出；若为有理数，则将该结果作为新的输入值，重复计算、判断的步骤，直到得到无理数为止。本题输入x=16，按规则逐步计算即可得到输出结果。
【解析】
当输入x=16时：
第1次计算：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合输出条件，将4作为新的输入值；
第2次计算：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合输出条件，将2作为新的输入值；
第3次计算：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的y为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数相关基础概念，解题的核心是读懂转换机的运行规则，按步骤反复计算直到得到无理数即可，整体逻辑清晰，掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先明确数值转换机的运行规则：输入x后，先计算x的算术平方根，再判断该结果是否为无理数，若为无理数则直接输出；若为有理数，则将该结果作为新的输入值，重复计算、判断的步骤，直到得到无理数为止。本题输入x=16，按规则逐步计算即可得到输出结果。
【解析】
当输入x=16时：
第1次计算：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合输出条件，将4作为新的输入值；
第2次计算：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合输出条件，将2作为新的输入值；
第3次计算：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的y为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数相关基础概念，解题的核心是读懂转换机的运行规则，按步骤反复计算直到得到无理数即可，整体逻辑清晰，掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
