20.已知$2a-1$的算术平方根为$3$，$3a+b-1$的立方根为$4$。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$b-5a$的平方根。

20.(1)$\because 2a-1$的算术平方根为$3$,$3a+b-1$的立方根为$4$,$\therefore 2a-1=9$,$3a+b-1=64$,
解得$a=5$,$b=50$.
(2)$\because a=5$,$b=50$,$\therefore b-5a=50-5× 5=25$,
$\therefore b-5a$的平方根是$\pm 5$.
■ 思路引导 本题考查了立方根、算术平方根、平方根,结合已知条件求得$a$,$b$的值是解题的关键.

【分析】
解题思路如下：(1)根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是m，则这个数等于m²，因此由2a-1的算术平方根为3，可列出方程2a-1=3²，求解得到a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是n，则这个数等于n³，因此由3a+b-1的立方根为4，可列出方程3a+b-1=4³，把求出的a代入即可解得b的值。(2)将求得的a、b的值代入b-5a计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出该结果的平方根即可。
【解析】
(1)
∵2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的立方根为4
∴$2a-1=3^2=9$，$3a+b-1=4^3=64$
解$2a-1=9$，得$2a=10$，$a=5$
把$a=5$代入$3a+b-1=64$，得$3×5 + b -1=64$，即$14 + b=64$，解得$b=50$
(2)把$a=5$，$b=50$代入$b-5a$，得：
$b-5a=50 - 5×5=25$
∵$(±5)^2=25$
∴b-5a的平方根为±5
【答案】
(1)$a=5$，$b=50$；(2)$\pm 5$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用类题目，解题关键是熟练掌握三类根式的定义，根据定义建立方程求解参数即可，要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.8

21.已知 $2x+7$ 的立方根是 3，25 的算术平方根是 $x-5y$，求：
(1) $x,y$ 的值；
(2)$x-y$ 的平方根。

21.(1)$\because 2x+7$的立方根是3,
$\therefore 2x+7=3^3=27$,解得$x=10$.
$\because 25$的算术平方根是$x-5y$,
$\therefore x-5y=\sqrt{25}=5$.
$\because x=10$,$\therefore y=1$.
(2)$\because x-y=10-1=9$,$\pm \sqrt{9}=\pm 3$,
$\therefore x-y$的平方根为$\pm 3$.

【分析】
解题时先回忆立方根、算术平方根的定义：若一个数的立方根是a，则这个数等于a的三次方；正数的算术平方根是其正的平方根。首先根据立方根的条件列方程求出x的值，再把x代入算术平方根的条件求出y的值，最后计算x-y的结果，再求它的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) $\because 2x+7$的立方根是3，根据立方根的定义可得：
$2x+7=3^3=27$
解得$2x=20$，即$x=10$。
$\because 25$的算术平方根是$x-5y$，25的算术平方根为$\sqrt{25}=5$，因此：
$x-5y=5$
把$x=10$代入上式，得$10-5y=5$，解得$y=1$。
(2) 先计算$x-y$的值：$x-y=10-1=9$。
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，因此$x-y$的平方根是$\pm3$。
【答案】
(1) $x=10$，$y=1$；
(2) $\pm3$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的计算
【点评】
本题属于根式基础概念的常规考题，解题关键是明确不同根式的性质差异，尤其要注意算术平方根的非负性，以及正数的平方根有两个，避免出现漏写负平方根的错误。
【难度系数】
0.8

22. 先阅读材料，再解答问题.
∵ $-\sqrt[3]{1}=-1,\sqrt[3]{-1}=-1,$
∴ $-\sqrt[3]{1}=\sqrt[3]{-1}.$
∵ $-\sqrt[3]{8}=-2,\sqrt[3]{-8}=-2,$
∴ $-\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{-8}.$
∵ $-\sqrt[3]{27}=-3,\sqrt[3]{-27}=-3,$
∴ $-\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{-27}.$
…
∵ $-\sqrt[3]{n^3}=-n,\sqrt[3]{-n^3}=-n,$
∴ = .
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系：.
(2)计算 $\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$ 的值.

22.(1)$-\sqrt[3]{n^3}$ $\sqrt[3]{-n^3}$ 互为相反数
(2)$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$
$=-1-2-3-\dots-100$
$=-(1+2+3+\dots+100)$
$=-\dfrac{100×(100+1)}{2}=-5\ 050$.

【分析】
(1) 观察给出的多组等式，可发现每组中$-\sqrt[3]{n^3}$和$\sqrt[3]{-n^3}$的计算结果均为$-n$，据此即可完成填空；再通过从特殊到一般的归纳思路，就能总结出互为相反数的两个数的立方根的关系。(2) 计算时先利用(1)中得到的立方根性质，将每个带负号的立方根转化为对应的负整数，再提取负号，用高斯求和公式计算1到100的和，即可求出最终结果。
【解析】
(1) 由已知规律，$\because -\sqrt[3]{n^3}=-n,\sqrt[3]{-n^3}=-n$，$\therefore -\sqrt[3]{n^3}=\sqrt[3]{-n^3}$；据此可猜测：互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
(2) 根据(1)的结论，对原式逐项转化：
$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$
$=-1-2-3-\dots-100$
$=-(1+2+3+\dots+100)$
根据求和公式，$1+2+3+\dots+100=\frac{100×(100+1)}{2}=5050$，
因此原式$=-5050$。
【答案】
(1) $-\sqrt[3]{n^3}$；$\sqrt[3]{-n^3}$；互为相反数
(2) $-5050$
【知识点】
立方根的性质；有理数求和；规律探究
【点评】
本题结合规律探究考查立方根的性质，先通过归纳得到通用结论，再运用结论求解计算问题，既锻炼了归纳推理能力，也考查了知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7

23. 中考新考法 新定义问题 我们规定:若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则称这样的实数为“最美实数”.
(1)若$\sqrt{2}+a$是“最美实数”,则$a=$;
(2)若$m+n$与$3m-n$都是“最美实数”,且$mn≠0$,求$m-n$的值.

23.(1)$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
(2)$\because m+n$与$3m-n$都是“最美实数”,
$\therefore \begin{cases} m+n=0, \\ 3m-n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m+n=0, \\ 3m-n=1 \end{cases}$或$\begin{cases} m+n=1, \\ 3m-n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m+n=1, \\ 3m-n=1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=0, \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=\dfrac{1}{4}, \\ n=-\dfrac{1}{4} \end{cases}$或$\begin{cases} m=\dfrac{1}{4}, \\ n=\dfrac{3}{4} \end{cases}$或$\begin{cases} m=\dfrac{1}{2}, \\ n=\dfrac{1}{2}. \end{cases}$
$\because mn≠ 0$,$\therefore \begin{cases} m=0, \\ n=0 \end{cases}$不符合题意,舍去,
$\therefore m-n=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$或$m-n=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2}$或$m-n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$,
$\therefore m-n$的值为$\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{2}$或$0$.
■ 思路引导 本题考查了算术平方根及立方根,充分理解题意并进行正确地分类讨论是解题的关键.

【分析】
首先明确“最美实数”的取值：若一个数是“最美实数”，则它的算术平方根等于立方根，由于负数没有算术平方根，因此这个数是非负数，验证可得只有0和1满足条件，即“最美实数”只能是0或1。
对于(1)，已知$\sqrt{2}+a$是“最美实数”，则它只能等于0或1，分别列方程求解即可得到a的值；
对于(2)，$m+n$与$3m-n$都是“最美实数”，因此两个式子分别可以取0或1，分4种情况列二元一次方程组求解，再根据$mn≠0$的条件舍去不符合的解，最后计算$m-n$的值即可。
【解析】
先推导“最美实数”的取值：设x为“最美实数”，则$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}$，x为非负数，
当x=0时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，符合要求；当x=1时，$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，符合要求，其余数均不满足，因此“最美实数”为0或1。
(1) $\because \sqrt{2}+a$是“最美实数”
$\therefore \sqrt{2}+a=0$或$\sqrt{2}+a=1$
解得$a=-\sqrt{2}$或$a=1-\sqrt{2}$。
(2) $\because m+n$与$3m-n$都是“最美实数”，共4种取值组合，列方程组得：
① $\begin{cases} m+n=0 \\ 3m-n=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=0 \\ n=0 \end{cases}$，此时$mn=0$，不符合题意，舍去；
② $\begin{cases} m+n=0 \\ 3m-n=1 \end{cases}$，两式相加得$4m=1$，即$m=\frac{1}{4}$，代入$m+n=0$得$n=-\frac{1}{4}$，符合$mn≠0$，此时$m-n=\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}$；
③ $\begin{cases} m+n=1 \\ 3m-n=0 \end{cases}$，两式相加得$4m=1$，即$m=\frac{1}{4}$，代入$m+n=1$得$n=\frac{3}{4}$，符合$mn≠0$，此时$m-n=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$；
④ $\begin{cases} m+n=1 \\ 3m-n=1 \end{cases}$，两式相加得$4m=2$，即$m=\frac{1}{2}$，代入$m+n=1$得$n=\frac{1}{2}$，符合$mn≠0$，此时$m-n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
(2) $\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{2}$或$0$
【知识点】
1. 算术平方根与立方根的性质
2. 解二元一次方程组
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是先准确理解“最美实数”的定义，确定其所有可能的取值，再按不同情况分类讨论求解，最后要注意检验是否符合题目给出的限制条件，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6