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18. 已知$a,b,n$均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n$,$n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
3
;(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n$,$n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
2
个.答案
18.(1)3 [解析]
∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4.
∵n＜√10＜n+1,n为正整数,
∴n=3.
(2)2 [解析]
∵n−1＜√a＜n,
∴(n−1)²＜a＜n².
∴a的个数为n²−(n−1)²−1=n²−n²+2n−1−1=2n−2.
∵n＜√b＜n+1,
∴n²＜b＜(n+1)².
∴b的个数为(n+1)²−n²−1=n²+2n+1−n²−1=2n.
∵2n−(2n−2)=2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
归纳总结 本题考查了估算无理数的大小,熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键.
∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4.
∵n＜√10＜n+1,n为正整数,
∴n=3.
(2)2 [解析]
∵n−1＜√a＜n,
∴(n−1)²＜a＜n².
∴a的个数为n²−(n−1)²−1=n²−n²+2n−1−1=2n−2.
∵n＜√b＜n+1,
∴n²＜b＜(n+1)².
∴b的个数为(n+1)²−n²−1=n²+2n+1−n²−1=2n.
∵2n−(2n−2)=2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
归纳总结 本题考查了估算无理数的大小,熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键.
解析
【分析】
（1）要确定n的值，需先估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到和10相邻的两个完全平方数，即可得到$\sqrt{10}$在哪两个连续正整数之间，结合$n＜\sqrt{10}＜n+1$的条件就能求出n；
（2）要求a的个数比b的个数少多少，首先根据不等式的性质，将两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到a、b的取值范围，再分别计算两个开区间内正整数的个数，最后求两个个数的差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
∴$3＜\sqrt{10}＜4$，
又
∵$n＜\sqrt{10}＜n+1$，且n为正整数，
∴$n=3$。
(2) 先求满足条件的a的个数：
∵$n-1＜\sqrt{a}＜n$，不等式两边均为非负数，同时平方得：
$(n-1)^2＜a＜n^2$，
a为正整数，因此a的个数为：$n^2-(n-1)^2-1 = n^2-(n^2-2n+1)-1 = 2n-2$；
再求满足条件的b的个数：
∵$n＜\sqrt{b}＜n+1$，同理两边平方得：
$n^2＜b＜(n+1)^2$，
b为正整数，因此b的个数为：$(n+1)^2-n^2-1 = (n^2+2n+1)-n^2-1 = 2n$；
则a的个数比b的个数少：$2n-(2n-2)=2$个。
【答案】
(1)$3$；(2)$2$
【知识点】
估算无理数的大小，不等式的性质，整数计数
【点评】
本题核心考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题时需熟练掌握常见整数的平方值，通过平方运算将无理数的取值范围转化为整数的范围，再准确计算开区间内正整数的个数即可，是实数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要确定n的值，需先估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到和10相邻的两个完全平方数，即可得到$\sqrt{10}$在哪两个连续正整数之间，结合$n＜\sqrt{10}＜n+1$的条件就能求出n；
（2）要求a的个数比b的个数少多少，首先根据不等式的性质，将两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到a、b的取值范围，再分别计算两个开区间内正整数的个数，最后求两个个数的差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
∴$3＜\sqrt{10}＜4$，
又
∵$n＜\sqrt{10}＜n+1$，且n为正整数，
∴$n=3$。
(2) 先求满足条件的a的个数：
∵$n-1＜\sqrt{a}＜n$，不等式两边均为非负数，同时平方得：
$(n-1)^2＜a＜n^2$，
a为正整数，因此a的个数为：$n^2-(n-1)^2-1 = n^2-(n^2-2n+1)-1 = 2n-2$；
再求满足条件的b的个数：
∵$n＜\sqrt{b}＜n+1$，同理两边平方得：
$n^2＜b＜(n+1)^2$，
b为正整数，因此b的个数为：$(n+1)^2-n^2-1 = (n^2+2n+1)-n^2-1 = 2n$；
则a的个数比b的个数少：$2n-(2n-2)=2$个。
【答案】
(1)$3$；(2)$2$
【知识点】
估算无理数的大小，不等式的性质，整数计数
【点评】
本题核心考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题时需熟练掌握常见整数的平方值，通过平方运算将无理数的取值范围转化为整数的范围，再准确计算开区间内正整数的个数即可，是实数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
19. 计算：$(-10)×(-\dfrac{1}{2})-\sqrt{16}+2025^0.$
答案
19.原式=5−4+1=2.
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时需遵循“先算乘方、开方、乘法，后算加减”的运算顺序，分步计算每一项的结果后再合并即可：第一步先计算有理数乘法，根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”计算乘积；第二步计算算术平方根，明确$\sqrt{16}$是求16的正的平方根；第三步计算零指数幂，牢记非零数的零次幂等于1；最后把三项的结果做加减运算得到最终答案。
【解析】
解：按照实数混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘法项：$(-10)×(-\dfrac{1}{2}) = 10×\dfrac{1}{2}=5$（同号相乘结果为正，再计算绝对值的乘积）
2. 计算开方项：$\sqrt{16}=4$（16的算术平方根是4）
3. 计算零指数幂项：$2025^0=1$（任何非零数的0次幂都等于1）
将各项结果代入原式计算：
原式$=5 - 4 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
有理数乘法运算；算术平方根的计算；零指数幂的性质
【点评】
本题是实数混合运算的基础题型，核心考查各基础运算法则的掌握程度，运算时注意先明确运算顺序，再逐一计算每一项，避免记错零指数幂的取值、搞错算术平方根的结果或乘法的符号即可得分。
【难度系数】
0.9
本题属于实数的混合运算题，解题时需遵循“先算乘方、开方、乘法，后算加减”的运算顺序，分步计算每一项的结果后再合并即可：第一步先计算有理数乘法，根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”计算乘积；第二步计算算术平方根，明确$\sqrt{16}$是求16的正的平方根；第三步计算零指数幂，牢记非零数的零次幂等于1；最后把三项的结果做加减运算得到最终答案。
【解析】
解：按照实数混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘法项：$(-10)×(-\dfrac{1}{2}) = 10×\dfrac{1}{2}=5$（同号相乘结果为正，再计算绝对值的乘积）
2. 计算开方项：$\sqrt{16}=4$（16的算术平方根是4）
3. 计算零指数幂项：$2025^0=1$（任何非零数的0次幂都等于1）
将各项结果代入原式计算：
原式$=5 - 4 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
有理数乘法运算；算术平方根的计算；零指数幂的性质
【点评】
本题是实数混合运算的基础题型，核心考查各基础运算法则的掌握程度，运算时注意先明确运算顺序，再逐一计算每一项，避免记错零指数幂的取值、搞错算术平方根的结果或乘法的符号即可得分。
【难度系数】
0.9
20. 计算：$(3-π)^0 - \left| -\dfrac{1}{4} \right| + \sqrt{36} + 2^{-2}$
答案
20.原式=1−1/4+6+1/4=7.
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分算式中的每一项，分别依据对应运算规则计算每一项的结果，再合并计算最终值：①先算零指数幂：非零数的0次幂等于1，判断3-π≠0，可直接得出该项结果；②再算绝对值：负数的绝对值是它的相反数，先去绝对值符号再运算；③然后算算术平方根：√36是求36的非负平方根，直接得出结果；④最后算负整数指数幂：a⁻ᵖ=1/aᵖ（a≠0，p为正整数），算出该项结果后，将所有项的结果做加减运算即可。
【解析】
解：原式$=1 - \dfrac{1}{4} + 6 + \dfrac{1}{2^2}$
$=1 - \dfrac{1}{4} + 6 + \dfrac{1}{4}$
$=(1 + 6) + (-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4})$
$=7 + 0$
$=7$
【答案】
7
【知识点】
实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，绝对值的性质
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心考查对各类基础运算规则的掌握程度，计算时只要逐项拆分、牢记各个运算的适用条件和规则，注意符号处理，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分算式中的每一项，分别依据对应运算规则计算每一项的结果，再合并计算最终值：①先算零指数幂：非零数的0次幂等于1，判断3-π≠0，可直接得出该项结果；②再算绝对值：负数的绝对值是它的相反数，先去绝对值符号再运算；③然后算算术平方根：√36是求36的非负平方根，直接得出结果；④最后算负整数指数幂：a⁻ᵖ=1/aᵖ（a≠0，p为正整数），算出该项结果后，将所有项的结果做加减运算即可。
【解析】
解：原式$=1 - \dfrac{1}{4} + 6 + \dfrac{1}{2^2}$
$=1 - \dfrac{1}{4} + 6 + \dfrac{1}{4}$
$=(1 + 6) + (-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4})$
$=7 + 0$
$=7$
【答案】
7
【知识点】
实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，绝对值的性质
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心考查对各类基础运算规则的掌握程度，计算时只要逐项拆分、牢记各个运算的适用条件和规则，注意符号处理，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
21. 把下列各数填在相应的大括号内.
$0,-2,\sqrt{3},-\sqrt{27},0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}.$
有理数：$\{\quad···\}$；
无理数：$\{\quad···\}$；
正数：$\{\quad···\}$；
整数：$\{\quad···\}.$
$0,-2,\sqrt{3},-\sqrt{27},0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}.$
有理数：$\{\quad···\}$；
无理数：$\{\quad···\}$；
正数：$\{\quad···\}$；
整数：$\{\quad···\}.$
答案
21.0.1²=0.01,−∛(8/27)=−2/3,√4=2.
有理数：$\{0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},1.212\ 121\ 21···,\dfrac{22}{7},···\}$；
无理数：$\{\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.101\ 001\ 000\ 1···(每相邻两个1之间依次多1个0),\dfrac{π}{4}···\}$；
正数：$\{\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.212\ 121\ 21···,\dfrac{π}{4},0.101\ 001\ 000\ 1···(每相邻两个1之间依次多1个0),···\}$；
整数：$\{0,-2,\sqrt{4},···\}$.
有理数：$\{0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},1.212\ 121\ 21···,\dfrac{22}{7},···\}$；
无理数：$\{\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.101\ 001\ 000\ 1···(每相邻两个1之间依次多1个0),\dfrac{π}{4}···\}$；
正数：$\{\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.212\ 121\ 21···,\dfrac{π}{4},0.101\ 001\ 000\ 1···(每相邻两个1之间依次多1个0),···\}$；
整数：$\{0,-2,\sqrt{4},···\}$.
解析
【分析】
解题时首先要先化简题目中所有能化简的数，再结合各类数的定义逐一判断归类：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正数是大于0的数；④整数包含正整数、0、负整数。归类时注意不要漏项也不要错放。
【解析】
第一步：先化简各可化简的数：
$0.1^2=0.01$，$-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$，$\sqrt{4}=2$，$-\sqrt{27}=-3\sqrt{3}$
第二步：按定义分类：
1. 有理数：整数和分数都属于有理数，所以$0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},\dfrac{22}{7},1.21212121···$都属于有理数；
2. 无理数：无限不循环小数属于无理数，所以$\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}$都属于无理数；
3. 正数：大于0的数属于正数，所以$\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}$都属于正数；
4. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，所以$0,-2,\sqrt{4}$都属于整数。
【答案】
有理数：$\{0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},1.21212121···,\dfrac{22}{7},···\}$；
无理数：$\{\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.1010010001···(每相邻两个1之间依次多1个0),\dfrac{π}{4},···\}$；
正数：$\{\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,\dfrac{π}{4},0.1010010001···(每相邻两个1之间依次多1个0),···\}$；
整数：$\{0,-2,\sqrt{4},···\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题考查实数的相关分类，解题的关键是先化简所有能化简的数，再准确把握各类数的定义，注意带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要区分无限循环小数和无限不循环小数的归属。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先化简题目中所有能化简的数，再结合各类数的定义逐一判断归类：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正数是大于0的数；④整数包含正整数、0、负整数。归类时注意不要漏项也不要错放。
【解析】
第一步：先化简各可化简的数：
$0.1^2=0.01$，$-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$，$\sqrt{4}=2$，$-\sqrt{27}=-3\sqrt{3}$
第二步：按定义分类：
1. 有理数：整数和分数都属于有理数，所以$0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},\dfrac{22}{7},1.21212121···$都属于有理数；
2. 无理数：无限不循环小数属于无理数，所以$\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}$都属于无理数；
3. 正数：大于0的数属于正数，所以$\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,0.1010010001···$（每相邻两个1之间依次多1个0）$,\dfrac{π}{4}$都属于正数；
4. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，所以$0,-2,\sqrt{4}$都属于整数。
【答案】
有理数：$\{0,-2,0.1^2,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},1.21212121···,\dfrac{22}{7},···\}$；
无理数：$\{\sqrt{3},-\sqrt{27},\dfrac{\sqrt{3}}{2},0.1010010001···(每相邻两个1之间依次多1个0),\dfrac{π}{4},···\}$；
正数：$\{\sqrt{3},0.1^2,\sqrt{4},\dfrac{22}{7},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.21212121···,\dfrac{π}{4},0.1010010001···(每相邻两个1之间依次多1个0),···\}$；
整数：$\{0,-2,\sqrt{4},···\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题考查实数的相关分类，解题的关键是先化简所有能化简的数，再准确把握各类数的定义，注意带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要区分无限循环小数和无限不循环小数的归属。
【难度系数】
0.7
22. 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示.
(1)用“＞”或“＜”填空：$c - b$
$a + b$
(2)化简：$|c - b| + 2|a + b| - |a - c|$.
(1)用“＞”或“＜”填空：$c - b$
＞
$0$,$a + b$
＜
$0$, $a - c$ ＜
$0$;(2)化简：$|c - b| + 2|a + b| - |a - c|$.
答案
22.(1)＞ ＜ ＜ [解析]
∵a＜0＜b＜c,|a|＞|b|，
∴c−b＞0,a+b＜0,a−c＜0.
(2)
∵c−b＞0,a+b＜0,a−c＜0，
∴|c−b|+2|a+b|−|a−c|
=c−b−2(a+b)+(a−c)
=c−b−2a−2b+a−c=−a−3b.
∵a＜0＜b＜c,|a|＞|b|，
∴c−b＞0,a+b＜0,a−c＜0.
(2)
∵c−b＞0,a+b＜0,a−c＜0，
∴|c−b|+2|a+b|−|a−c|
=c−b−2(a+b)+(a−c)
=c−b−2a−2b+a−c=−a−3b.
解析
【分析】首先根据数轴的性质：数轴上右侧的数大于左侧的数，可判断出$a＜0＜b＜c$，且$a$到原点的距离大于$b$到原点的距离，即$\vert a\vert＞\vert b\vert$。第一问可结合数的大小关系直接判断代数式的正负；第二问先根据第一问得到的各代数式的正负，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再按整式加减的运算法则去括号、合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$：
因为$c＞b$，所以$c-b＞0$；
因为$a$为负数，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
因为$a＜c$，所以$a-c＜0$。
(2) 结合(1)的结论，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\begin{aligned}\vert c-b\vert + 2\vert a+b\vert - \vert a-c\vert&=(c-b)+2×[-(a+b)] - [-(a-c)]\\&=c-b-2(a+b)+(a-c)\\&=c-b-2a-2b+a-c\\&=-a-3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＜}$；$\boxed{＜}$
(2) $\boxed{-a-3b}$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴与代数式化简结合的经典题型，解题核心是先通过数轴准确判断数的大小关系和相关代数式的正负，再正确运用绝对值的性质去符号，最后按整式加减规则运算即可，能够很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$：
因为$c＞b$，所以$c-b＞0$；
因为$a$为负数，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
因为$a＜c$，所以$a-c＜0$。
(2) 结合(1)的结论，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\begin{aligned}\vert c-b\vert + 2\vert a+b\vert - \vert a-c\vert&=(c-b)+2×[-(a+b)] - [-(a-c)]\\&=c-b-2(a+b)+(a-c)\\&=c-b-2a-2b+a-c\\&=-a-3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＜}$；$\boxed{＜}$
(2) $\boxed{-a-3b}$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴与代数式化简结合的经典题型，解题核心是先通过数轴准确判断数的大小关系和相关代数式的正负，再正确运用绝对值的性质去符号，最后按整式加减规则运算即可，能够很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
23. 如图,已知实数$a(a＞0)$在数轴上对应的位置为点 P.现对点 P 进行如下操作:先把点 P 沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动$t(t＞0)$秒,再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动$a$秒,得到点$P'$.我们把这样的操作称为点 P 的“回移”,点$P'$为点 P 的“回移点”.
(1)当$t=2$时,
①若$a=4$,求点 P 的回移点$P'$表示的实数;
②若回移点$P'$与点 P 恰好重合,求$a$的值.
(2)是否存在这样的情况:原点 O,点 P 及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点?若存在,请用含$a$的代数式表示$t$;若不存在,请说明理由.
(1)当$t=2$时,
①若$a=4$,求点 P 的回移点$P'$表示的实数;
②若回移点$P'$与点 P 恰好重合,求$a$的值.
(2)是否存在这样的情况:原点 O,点 P 及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点?若存在,请用含$a$的代数式表示$t$;若不存在,请说明理由.
答案
23.(1)①当t=2,a=4时,回移点P'表示的实数是4−2×1+2×4=10.
②当t=2时,回移点P'表示的实数是a−2×1+2a=3a−2.
∵回移点P'与点P恰好重合，
∴3a−2=a,解得a=1.故a的值是1.
(2)存在原点O,点P及其回移点P'中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点.理由如下：
根据题意,得点P表示的数是a,点O表示的数是0,点P'表示的数是a−t+2a=3a−t，
∴OP=a,OP'=|3a−t|,PP'=|2a−t|.
当O为PP'的三等分点时,OP'=2OP或OP'=$\dfrac{1}{2}$OP,
∴|3a−t|=2a或$|3a−t|=\dfrac{1}{2}a$,解得t=a(不符合题意,舍去)或t=5a或$t=\dfrac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{7}{2}a$；
当P'是OP的三等分点时,OP'=2PP'或OP'=$\dfrac{1}{2}PP'$,
∴$|3a−t|=2|2a−t|$或$|3a−t|=\dfrac{1}{2}|2a−t|$,解得t=a(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{7}{3}a$或t=4a(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{8}{3}a$；
当P为OP'的三等分点时,OP=2PP'或OP=$\dfrac{1}{2}PP'$,
∴$a=2|2a−t|$或$a=\dfrac{1}{2}|2a−t|$，解得$t=\dfrac{3}{2}a$或$t=\dfrac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或t=4a(不符合题意,舍去)或t=0(不符合题意,舍去).
综上所述,$t=5a$或$t=\dfrac{7}{2}a$或$t=\dfrac{7}{3}a$或$t=\dfrac{8}{3}a$或$t=\dfrac{3}{2}a$.
②当t=2时,回移点P'表示的实数是a−2×1+2a=3a−2.
∵回移点P'与点P恰好重合，
∴3a−2=a,解得a=1.故a的值是1.
(2)存在原点O,点P及其回移点P'中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点.理由如下：
根据题意,得点P表示的数是a,点O表示的数是0,点P'表示的数是a−t+2a=3a−t，
∴OP=a,OP'=|3a−t|,PP'=|2a−t|.
当O为PP'的三等分点时,OP'=2OP或OP'=$\dfrac{1}{2}$OP,
∴|3a−t|=2a或$|3a−t|=\dfrac{1}{2}a$,解得t=a(不符合题意,舍去)或t=5a或$t=\dfrac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{7}{2}a$；
当P'是OP的三等分点时,OP'=2PP'或OP'=$\dfrac{1}{2}PP'$,
∴$|3a−t|=2|2a−t|$或$|3a−t|=\dfrac{1}{2}|2a−t|$,解得t=a(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{7}{3}a$或t=4a(不符合题意,舍去)或$t=\dfrac{8}{3}a$；
当P为OP'的三等分点时,OP=2PP'或OP=$\dfrac{1}{2}PP'$,
∴$a=2|2a−t|$或$a=\dfrac{1}{2}|2a−t|$，解得$t=\dfrac{3}{2}a$或$t=\dfrac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或t=4a(不符合题意,舍去)或t=0(不符合题意,舍去).
综上所述,$t=5a$或$t=\dfrac{7}{2}a$或$t=\dfrac{7}{3}a$或$t=\dfrac{8}{3}a$或$t=\dfrac{3}{2}a$.
解析
【分析】
本题是结合新定义的数轴动点问题，解题思路如下：
1. 先明确“回移”的运算规则：点P向左移动t秒（每秒1个单位），对应数减去t，再向右移动a秒（每秒2个单位），对应数再加2a，由此可推导出回移点$P'$表示的数的通用表达式。
2. 第(1)小问①直接代入$t=2$、$a=4$到表达式中计算即可；②回移点与P重合说明两点表示的数相等，列一元一次方程求解a。
3. 第(2)小问是三等分点的分类讨论问题，分别考虑O是$PP'$的三等分点、$P'$是$OP$的三等分点、P是$OP'$的三等分点三种大情况，每种大情况再分靠近线段两个端点的两种三等分情形，结合线段长度列绝对值方程求解，最后舍去不符合$t＞0$及位置逻辑的解即可。
【解析】
(1) 根据题意，点P表示的数为a，回移点$P'$表示的数为：$a - t + 2a = 3a - t$。
① 当$t=2$，$a=4$时，代入得：$3×4 - 2=10$。
② 当$t=2$时，$P'$表示的数为$3a - 2$，若$P'$与P重合，则：
$3a - 2 = a$
移项得$2a=2$，解得$a=1$。
(2) 存在符合条件的情况，理由如下：
由题可知：点O表示的数为0，点P表示的数为a，点$P'$表示的数为$3a - t$，因此三条线段长度为：$OP=a$，$OP'=|3a - t|$，$PP'=|3a - t - a|=|2a - t|$，分三类讨论：
1. 当O为线段$PP'$的三等分点时：
情况1：$OP'=2OP$，即$|3a - t|=2a$，解得$t=a$（不符合三等分位置要求，舍去）或$t=5a$；
情况2：$OP'=\frac{1}{2}OP$，即$|3a - t|=\frac{1}{2}a$，解得$t=\frac{5}{2}a$（不符合三等分位置要求，舍去）或$t=\frac{7}{2}a$。
2. 当$P'$为线段$OP$的三等分点时：
情况1：$OP'=2PP'$，即$|3a - t|=2|2a - t|$，解得$t=a$（不符合要求，舍去）或$t=\frac{7}{3}a$；
情况2：$OP'=\frac{1}{2}PP'$，即$|3a - t|=\frac{1}{2}|2a - t|$，解得$t=4a$（不符合要求，舍去）或$t=\frac{8}{3}a$。
3. 当P为线段$OP'$的三等分点时：
情况1：$OP=2PP'$，即$a=2|2a - t|$，解得$t=\frac{3}{2}a$或$t=\frac{5}{2}a$（不符合要求，舍去）；
情况2：$OP=\frac{1}{2}PP'$，即$a=\frac{1}{2}|2a - t|$，解得$t=0$（$t＞0$舍去）或$t=4a$（不符合要求，舍去）。
综上，符合条件的t值共5种。
【答案】
(1)①$\boxed{10}$；②$\boxed{1}$；
(2)存在，t的值为$\boxed{5a}$或$\boxed{\dfrac{7}{2}a}$或$\boxed{\dfrac{7}{3}a}$或$\boxed{\dfrac{8}{3}a}$或$\boxed{\dfrac{3}{2}a}$。
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，线段三等分点
【点评】
本题属于新定义综合题，考察了数轴上点的平移规律、分类讨论思想的应用，解题时要注意对三等分点的所有可能情况进行逐一分析，同时要检验解是否符合题意，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
本题是结合新定义的数轴动点问题，解题思路如下：
1. 先明确“回移”的运算规则：点P向左移动t秒（每秒1个单位），对应数减去t，再向右移动a秒（每秒2个单位），对应数再加2a，由此可推导出回移点$P'$表示的数的通用表达式。
2. 第(1)小问①直接代入$t=2$、$a=4$到表达式中计算即可；②回移点与P重合说明两点表示的数相等，列一元一次方程求解a。
3. 第(2)小问是三等分点的分类讨论问题，分别考虑O是$PP'$的三等分点、$P'$是$OP$的三等分点、P是$OP'$的三等分点三种大情况，每种大情况再分靠近线段两个端点的两种三等分情形，结合线段长度列绝对值方程求解，最后舍去不符合$t＞0$及位置逻辑的解即可。
【解析】
(1) 根据题意，点P表示的数为a，回移点$P'$表示的数为：$a - t + 2a = 3a - t$。
① 当$t=2$，$a=4$时，代入得：$3×4 - 2=10$。
② 当$t=2$时，$P'$表示的数为$3a - 2$，若$P'$与P重合，则：
$3a - 2 = a$
移项得$2a=2$，解得$a=1$。
(2) 存在符合条件的情况，理由如下：
由题可知：点O表示的数为0，点P表示的数为a，点$P'$表示的数为$3a - t$，因此三条线段长度为：$OP=a$，$OP'=|3a - t|$，$PP'=|3a - t - a|=|2a - t|$，分三类讨论：
1. 当O为线段$PP'$的三等分点时：
情况1：$OP'=2OP$，即$|3a - t|=2a$，解得$t=a$（不符合三等分位置要求，舍去）或$t=5a$；
情况2：$OP'=\frac{1}{2}OP$，即$|3a - t|=\frac{1}{2}a$，解得$t=\frac{5}{2}a$（不符合三等分位置要求，舍去）或$t=\frac{7}{2}a$。
2. 当$P'$为线段$OP$的三等分点时：
情况1：$OP'=2PP'$，即$|3a - t|=2|2a - t|$，解得$t=a$（不符合要求，舍去）或$t=\frac{7}{3}a$；
情况2：$OP'=\frac{1}{2}PP'$，即$|3a - t|=\frac{1}{2}|2a - t|$，解得$t=4a$（不符合要求，舍去）或$t=\frac{8}{3}a$。
3. 当P为线段$OP'$的三等分点时：
情况1：$OP=2PP'$，即$a=2|2a - t|$，解得$t=\frac{3}{2}a$或$t=\frac{5}{2}a$（不符合要求，舍去）；
情况2：$OP=\frac{1}{2}PP'$，即$a=\frac{1}{2}|2a - t|$，解得$t=0$（$t＞0$舍去）或$t=4a$（不符合要求，舍去）。
综上，符合条件的t值共5种。
【答案】
(1)①$\boxed{10}$；②$\boxed{1}$；
(2)存在，t的值为$\boxed{5a}$或$\boxed{\dfrac{7}{2}a}$或$\boxed{\dfrac{7}{3}a}$或$\boxed{\dfrac{8}{3}a}$或$\boxed{\dfrac{3}{2}a}$。
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，线段三等分点
【点评】
本题属于新定义综合题，考察了数轴上点的平移规律、分类讨论思想的应用，解题时要注意对三等分点的所有可能情况进行逐一分析，同时要检验解是否符合题意，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
