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1. 下列各数中是无理数的是(
A.$0.\dot{3}$
B.$0.5$
C.面积为2的正方形边长
D.$\frac{22}{7}$
C
).A.$0.\dot{3}$
B.$0.5$
C.面积为2的正方形边长
D.$\frac{22}{7}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的范围（整数、分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数），再逐一分析每个选项是否符合无理数的特征即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确相关概念：无理数是无限不循环小数；整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数。
对各选项逐一判断：
A选项：$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$0.5$是有限小数，属于有理数，不符合要求；
C选项：设面积为2的正方形边长为$a$，根据正方形面积公式$a^2=2$，可得$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
D选项：$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
3. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的范围，解题时需注意常见的无理数类型：开方开不尽的数、含$π$的数、无限不循环小数，不要误将无限循环小数、分数判定为无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的范围（整数、分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数），再逐一分析每个选项是否符合无理数的特征即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确相关概念：无理数是无限不循环小数；整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数。
对各选项逐一判断：
A选项：$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$0.5$是有限小数，属于有理数，不符合要求；
C选项：设面积为2的正方形边长为$a$，根据正方形面积公式$a^2=2$，可得$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
D选项：$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
3. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的范围，解题时需注意常见的无理数类型：开方开不尽的数、含$π$的数、无限不循环小数，不要误将无限循环小数、分数判定为无理数。
【难度系数】
0.8
2.如图,数轴上A,B两点对应的实数分别为a,b,则下列结论不正确的是(
A.$a+b＞0$
B.$ab＜0$
C.$a-b＜0$
D.$|a|-|b|＞0$
D
).A.$a+b＞0$
B.$ab＜0$
C.$a-b＜0$
D.$|a|-|b|＞0$
答案
2.D
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置确定a、b的取值范围：-1 ＜ a ＜ 0，1 ＜ b ＜ 2。再结合有理数的加减乘除运算法则、绝对值的性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
由数轴上A、B的位置可得：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{1 ＜ b ＜ 2}$。
对各选项逐一分析：
选项A：a是大于-1的负数，b是大于1的正数，两数相加时正数的绝对值更大，因此$a+b＞0$，结论正确，不符合题意；
选项B：a为负数，b为正数，异号两数相乘得负，因此$ab＜0$，结论正确，不符合题意；
选项C：$a ＜ b$，小数减大数结果为负，因此$a-b＜0$，结论正确，不符合题意；
选项D：由a、b的范围可知$0＜|a|＜1$，$1＜|b|＜2$，因此$|a|＜|b|$，可得$|a|-|b|＜0$，结论错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数的运算；绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合运算法则判断选项，是代数中数形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据数轴上点的位置确定a、b的取值范围：-1 ＜ a ＜ 0，1 ＜ b ＜ 2。再结合有理数的加减乘除运算法则、绝对值的性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
由数轴上A、B的位置可得：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{1 ＜ b ＜ 2}$。
对各选项逐一分析：
选项A：a是大于-1的负数，b是大于1的正数，两数相加时正数的绝对值更大，因此$a+b＞0$，结论正确，不符合题意；
选项B：a为负数，b为正数，异号两数相乘得负，因此$ab＜0$，结论正确，不符合题意；
选项C：$a ＜ b$，小数减大数结果为负，因此$a-b＜0$，结论正确，不符合题意；
选项D：由a、b的范围可知$0＜|a|＜1$，$1＜|b|＜2$，因此$|a|＜|b|$，可得$|a|-|b|＜0$，结论错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数的运算；绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合运算法则判断选项，是代数中数形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 传统文化 圆周率 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学家. 圆周率 $π \approx 3.1415926$，按照四舍五入法对$π$精确到千分位是(
A.3.1
B.3.14
C.3.142
D.3.1416
C
).A.3.1
B.3.14
C.3.142
D.3.1416
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，需要明确两个核心要点：一是小数的数位顺序，二是四舍五入取近似值的规则。首先，小数点后从左到右的数位依次是十分位、百分位、千分位、万分位……，精确到千分位就是要保留小数点后三位数字，此时需要观察小数点后第四位（万分位）的数字，按照四舍五入规则判断：若万分位数字≥5，就给千分位的数字加1；若万分位数字＜5，直接舍去千分位之后的所有数字即可，接下来对应π的近似值计算即可。
【解析】
首先明确π≈3.1415926的数位：小数点后第1位是十分位（数字1），第2位是百分位（数字4），第3位是千分位（数字1），第4位是万分位（数字5）。
精确到千分位需对万分位的数字进行四舍五入：万分位数字为5，符合“五入”要求，因此千分位的1加1变为2，舍去千分位之后的所有数字，得到近似值3.142。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 近似数的精确度 2. 四舍五入法
【点评】
本题考查近似数的取值，解题关键是找准精确数位的下一位数字，再正确运用四舍五入规则计算，是近似数相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需要明确两个核心要点：一是小数的数位顺序，二是四舍五入取近似值的规则。首先，小数点后从左到右的数位依次是十分位、百分位、千分位、万分位……，精确到千分位就是要保留小数点后三位数字，此时需要观察小数点后第四位（万分位）的数字，按照四舍五入规则判断：若万分位数字≥5，就给千分位的数字加1；若万分位数字＜5，直接舍去千分位之后的所有数字即可，接下来对应π的近似值计算即可。
【解析】
首先明确π≈3.1415926的数位：小数点后第1位是十分位（数字1），第2位是百分位（数字4），第3位是千分位（数字1），第4位是万分位（数字5）。
精确到千分位需对万分位的数字进行四舍五入：万分位数字为5，符合“五入”要求，因此千分位的1加1变为2，舍去千分位之后的所有数字，得到近似值3.142。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 近似数的精确度 2. 四舍五入法
【点评】
本题考查近似数的取值，解题关键是找准精确数位的下一位数字，再正确运用四舍五入规则计算，是近似数相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
4.式子$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≤1$
D.$x≠1$
A
）。A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≤1$
D.$x≠1$
答案
4.A
解析
【分析】
要确定式子$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义时$x$的取值范围，首先回忆二次根式的相关要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0），我们只需要让这个式子的被开方数满足该条件，列出不等式求解即可得到$x$的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x-1≥0$
解这个不等式，移项得$x≥1$
因此$x$的取值范围是$x≥1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数需是非负的，就能快速求解，失分点多为漏记等于0的情况。
【难度系数】
0.9
要确定式子$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义时$x$的取值范围，首先回忆二次根式的相关要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0），我们只需要让这个式子的被开方数满足该条件，列出不等式求解即可得到$x$的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x-1≥0$
解这个不等式，移项得$x≥1$
因此$x$的取值范围是$x≥1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数需是非负的，就能快速求解，失分点多为漏记等于0的情况。
【难度系数】
0.9
5. 9的算术平方根是(
A.±3
B.±9
C.3
D.-3
C
).A.±3
B.±9
C.3
D.-3
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先明确考点为算术平方根的定义，先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果一定是非负数，据此可先排除结果为负、以及包含正负值的错误选项；再根据定义寻找平方等于9的正数，即可得出正确答案。
【解析】
解：根据算术平方根的定义：若一个正数$x$满足$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果为非负数。
已知$3^2=9$，且3是正数，因此9的算术平方根是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分算术平方根（结果非负）和平方根（有正负两个结果）的概念，避免混淆两者定义选错答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确考点为算术平方根的定义，先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果一定是非负数，据此可先排除结果为负、以及包含正负值的错误选项；再根据定义寻找平方等于9的正数，即可得出正确答案。
【解析】
解：根据算术平方根的定义：若一个正数$x$满足$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果为非负数。
已知$3^2=9$，且3是正数，因此9的算术平方根是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分算术平方根（结果非负）和平方根（有正负两个结果）的概念，避免混淆两者定义选错答案。
【难度系数】
0.9
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$的相反数是(
A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
).A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号，再化简即可。本题要求$\frac{\sqrt{2}}{2}$的相反数，按照上述方法计算后匹配对应选项即可。
【解析】
根据相反数的定义，一个数的相反数就是在该数前加上负号：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$的相反数为$-(\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对相反数概念的理解与应用，熟练掌握基础概念即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号，再化简即可。本题要求$\frac{\sqrt{2}}{2}$的相反数，按照上述方法计算后匹配对应选项即可。
【解析】
根据相反数的定义，一个数的相反数就是在该数前加上负号：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$的相反数为$-(\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对相反数概念的理解与应用，熟练掌握基础概念即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
7.设$6-\sqrt{10}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$(2a+\sqrt{10})b$的值是（
A.$6$
B.$2\sqrt{10}$
C.$12$
D.$9\sqrt{10}$
A
）。A.$6$
B.$2\sqrt{10}$
C.$12$
D.$9\sqrt{10}$
答案
7.A
解析:$\because 3＜\sqrt{10}＜4$,
$\therefore -4＜-\sqrt{10}＜-3,\therefore 2＜6-\sqrt{10}＜3$,
$\therefore 6-\sqrt{10}$的整数部分$a=2$,
$\therefore b=6-\sqrt{10}-2=4-\sqrt{10}$,
$\therefore(2a+\sqrt{10})b=(4+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})=16-10=6$.
故选 A.
解析:$\because 3＜\sqrt{10}＜4$,
$\therefore -4＜-\sqrt{10}＜-3,\therefore 2＜6-\sqrt{10}＜3$,
$\therefore 6-\sqrt{10}$的整数部分$a=2$,
$\therefore b=6-\sqrt{10}-2=4-\sqrt{10}$,
$\therefore(2a+\sqrt{10})b=(4+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})=16-10=6$.
故选 A.
解析
【分析】
要计算含无理数的代数式的值，需先确定a、b的取值。第一步先估算√10的取值范围，再据此推导6-√10的取值范围，即可得到它的整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出b，最后将a、b代入所求代数式，利用平方差公式简便计算就能得到结果。
【解析】
∵3＜√10＜4，
∴-4＜-√10＜-3，
∴6-4＜6-√10＜6-3，即2＜6-√10＜3，
∴6-√10的整数部分a=2，
小数部分b=(6-√10)-a=6-√10-2=4-√10，
将a、b代入(2a+√10)b可得：
原式=(2×2+√10)(4-√10)
=(4+√10)(4-√10)
=4²-(√10)²
=16-10
=6
故选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，平方差公式
【点评】
本题主要考查无理数的估算及代数式求值，解题的关键是准确估算无理数的范围，进而确定其整数部分和小数部分，计算时巧用平方差公式可简化运算，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算含无理数的代数式的值，需先确定a、b的取值。第一步先估算√10的取值范围，再据此推导6-√10的取值范围，即可得到它的整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出b，最后将a、b代入所求代数式，利用平方差公式简便计算就能得到结果。
【解析】
∵3＜√10＜4，
∴-4＜-√10＜-3，
∴6-4＜6-√10＜6-3，即2＜6-√10＜3，
∴6-√10的整数部分a=2，
小数部分b=(6-√10)-a=6-√10-2=4-√10，
将a、b代入(2a+√10)b可得：
原式=(2×2+√10)(4-√10)
=(4+√10)(4-√10)
=4²-(√10)²
=16-10
=6
故选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，平方差公式
【点评】
本题主要考查无理数的估算及代数式求值，解题的关键是准确估算无理数的范围，进而确定其整数部分和小数部分，计算时巧用平方差公式可简化运算，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，四个实数$m$，$n$，$p$，$q$在数轴上对应的点分别为$M$，$N$，$P$，$Q$，若$n + q = 0$，则$m$，$n$，$p$，$q$四个实数中，绝对值最大的一个是(
A.$p$
B.$q$
C.$m$
D.$n$
A
)。A.$p$
B.$q$
C.$m$
D.$n$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$n+q=0$入手，根据相反数的性质可知$n$和$q$互为相反数，而互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，由此可确定原点是线段$NQ$的中点。再结合绝对值的几何意义：数轴上某点对应的数的绝对值就是该点到原点的距离，只需判断四个点中哪个到原点的距离最远，对应的数的绝对值就最大。
【解析】
$\because n+q=0$
$\therefore n$和$q$互为相反数，即数轴的原点在线段$NQ$的中点处。
根据绝对值的几何意义，数轴上点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，观察数轴上四个点的位置可知，点$P$到原点的距离最远，因此$p$的绝对值最大。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识；相反数的性质；绝对值的几何意义
【点评】
本题是数轴、相反数、绝对值三个基础知识点的综合应用，核心突破口是通过相反数的性质确定原点位置，再结合绝对值的几何意义即可快速得出结论，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件$n+q=0$入手，根据相反数的性质可知$n$和$q$互为相反数，而互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，由此可确定原点是线段$NQ$的中点。再结合绝对值的几何意义：数轴上某点对应的数的绝对值就是该点到原点的距离，只需判断四个点中哪个到原点的距离最远，对应的数的绝对值就最大。
【解析】
$\because n+q=0$
$\therefore n$和$q$互为相反数，即数轴的原点在线段$NQ$的中点处。
根据绝对值的几何意义，数轴上点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，观察数轴上四个点的位置可知，点$P$到原点的距离最远，因此$p$的绝对值最大。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识；相反数的性质；绝对值的几何意义
【点评】
本题是数轴、相反数、绝对值三个基础知识点的综合应用，核心突破口是通过相反数的性质确定原点位置，再结合绝对值的几何意义即可快速得出结论，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
9. 写出一个在1到3之间的无理数：
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
（符合条件即可）。答案
9.$\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确两个要求：一是这个数是无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有开方开不尽的数、含π且化简后仍含π的数等；二是这个数的大小在1到3之间。我们可以从常见的开方类无理数入手，先把1和3转化为带根号的形式：1=√1，3=√9，只要找被开方数在1到9之间，且不是完全平方数的数开平方，得到的结果就符合要求，也可以选其他类型的符合条件的无理数。
【解析】
无理数是无限不循环小数，我们先确定数值范围：1＜所求数＜3。
将区间端点转化为算术平方根形式：1=√1，3=√9，因此只要取被开方数a满足1＜a＜9，且a不是完全平方数，那么√a就是符合条件的无理数。
例如当a=2时，√2≈1.414，满足1＜√2＜3，且√2是开方开不尽的数，属于无理数，符合要求。（注：√3、√5、π-1等也符合要求）
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题属于开放型基础题，考查对无理数概念的掌握和实数大小的判断，解题时只要同时满足“是无理数”和“数值在1到3之间”两个条件即可，平时熟记常见的无理数能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个要求：一是这个数是无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有开方开不尽的数、含π且化简后仍含π的数等；二是这个数的大小在1到3之间。我们可以从常见的开方类无理数入手，先把1和3转化为带根号的形式：1=√1，3=√9，只要找被开方数在1到9之间，且不是完全平方数的数开平方，得到的结果就符合要求，也可以选其他类型的符合条件的无理数。
【解析】
无理数是无限不循环小数，我们先确定数值范围：1＜所求数＜3。
将区间端点转化为算术平方根形式：1=√1，3=√9，因此只要取被开方数a满足1＜a＜9，且a不是完全平方数，那么√a就是符合条件的无理数。
例如当a=2时，√2≈1.414，满足1＜√2＜3，且√2是开方开不尽的数，属于无理数，符合要求。（注：√3、√5、π-1等也符合要求）
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题属于开放型基础题，考查对无理数概念的掌握和实数大小的判断，解题时只要同时满足“是无理数”和“数值在1到3之间”两个条件即可，平时熟记常见的无理数能快速解题。
【难度系数】
0.9
10. $2 - \sqrt{5}$的绝对值是
$\sqrt{5}-2$
.答案
10.$\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
要计算一个代数式的绝对值，首先需判断代数式的正负性，再根据绝对值的性质化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。我们先比较2和$\sqrt{5}$的大小：因为$\sqrt{4}=2$，且5＞4，所以$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，可推出$2-\sqrt{5}$是负数，只需取它的相反数就能得到绝对值的结果。
【解析】
解：$\because 4＜5$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$
$\therefore 2-\sqrt{5}＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
绝对值的性质，无理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先判断绝对值内表达式的正负，再结合绝对值的性质化简，掌握无理数的大小估算方法是解题的重要前提。
【难度系数】
0.8
要计算一个代数式的绝对值，首先需判断代数式的正负性，再根据绝对值的性质化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。我们先比较2和$\sqrt{5}$的大小：因为$\sqrt{4}=2$，且5＞4，所以$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，可推出$2-\sqrt{5}$是负数，只需取它的相反数就能得到绝对值的结果。
【解析】
解：$\because 4＜5$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$
$\therefore 2-\sqrt{5}＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
绝对值的性质，无理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先判断绝对值内表达式的正负，再结合绝对值的性质化简，掌握无理数的大小估算方法是解题的重要前提。
【难度系数】
0.8
11.若$(a-1)^2 + |b-2|=0$,则以$a,b$为边长的等腰三角形的周长为
5
.答案
11.5
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b的值；第二步，等腰三角形两腰长度相等，因此分腰长为a、腰长为b两种情况讨论；第三步，每种情况都要用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最后计算符合要求的周长即可。
【解析】
∵ 任何数的平方和绝对值都是非负数，即$(a-1)^2≥0$，$|b-2|≥0$，且$(a-1)^2 + |b-2|=0$
∴ $a-1=0$，$b-2=0$，解得$a=1$，$b=2$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为1，底边长为2，此时三角形三边长为1、1、2
∵ $1+1=2$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴ 该情况不能构成三角形，舍去；
② 若腰长为2，底边长为1，此时三角形三边长为2、2、1
∵ $2+1＞2$，$2+2＞1$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，解题时既要结合等腰三角形的性质分类讨论边长的可能情况，也需要注意验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略验证得到错误结果。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b的值；第二步，等腰三角形两腰长度相等，因此分腰长为a、腰长为b两种情况讨论；第三步，每种情况都要用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最后计算符合要求的周长即可。
【解析】
∵ 任何数的平方和绝对值都是非负数，即$(a-1)^2≥0$，$|b-2|≥0$，且$(a-1)^2 + |b-2|=0$
∴ $a-1=0$，$b-2=0$，解得$a=1$，$b=2$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为1，底边长为2，此时三角形三边长为1、1、2
∵ $1+1=2$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴ 该情况不能构成三角形，舍去；
② 若腰长为2，底边长为1，此时三角形三边长为2、2、1
∵ $2+1＞2$，$2+2＞1$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，解题时既要结合等腰三角形的性质分类讨论边长的可能情况，也需要注意验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略验证得到错误结果。
【难度系数】
0.7
12. 若$a^2=9,\sqrt[3]{b}=-1$，则$a-b$的值是
4或$-2$
.答案
12.4或$-2$
解析
【分析】
解题时先根据已知条件分别求出a、b的取值，再代入计算a-b的值即可。思考步骤：①首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，因此由$a^2=9$可得到a有两个可能的取值；②再回忆立方根的性质：任意实数的立方根唯一，因此由$\sqrt[3]{b}=-1$可直接求出b的唯一值；③最后将a的两个取值分别和b的值代入$a-b$计算，即可得到所有可能的结果。
【解析】
解：$\because a^2=9$，
$\therefore a=3$或$a=-3$，
$\because \sqrt[3]{b}=-1$，
$\therefore b=(-1)^3=-1$，
分两种情况计算：
①当$a=3$时，$a-b=3 - (-1)=3+1=4$；
②当$a=-3$时，$a-b=-3 - (-1)=-3+1=-2$。
综上，$a-b$的值是4或$-2$。
【答案】
4或$-2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；代数式求值
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题的关键是牢记正数的平方根有两个，不要遗漏$a=-3$的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知条件分别求出a、b的取值，再代入计算a-b的值即可。思考步骤：①首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，因此由$a^2=9$可得到a有两个可能的取值；②再回忆立方根的性质：任意实数的立方根唯一，因此由$\sqrt[3]{b}=-1$可直接求出b的唯一值；③最后将a的两个取值分别和b的值代入$a-b$计算，即可得到所有可能的结果。
【解析】
解：$\because a^2=9$，
$\therefore a=3$或$a=-3$，
$\because \sqrt[3]{b}=-1$，
$\therefore b=(-1)^3=-1$，
分两种情况计算：
①当$a=3$时，$a-b=3 - (-1)=3+1=4$；
②当$a=-3$时，$a-b=-3 - (-1)=-3+1=-2$。
综上，$a-b$的值是4或$-2$。
【答案】
4或$-2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；代数式求值
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题的关键是牢记正数的平方根有两个，不要遗漏$a=-3$的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
13. 比较两数的大小：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
＞
$\frac{3}{2}$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
13.＞
解析
【分析】
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先将问题转化为比较$\sqrt{5}+1$和3的大小，进一步简化为比较$\sqrt{5}$和2的大小，根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能得出$\sqrt{5}$和2的大小关系，最终推导得到两个分数的大小关系。
【解析】
解：两个分数分母均为2，同分母分数比较大小，分子大的分数更大，因此只需比较分子$\sqrt{5}+1$和3的大小。
因为$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，
根据不等式的性质，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得$2+1＜\sqrt{5}+1$，也就是$3＜\sqrt{5}+1$，
因此$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，无理数估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时可以通过同分母分数的比较规则简化问题，结合常见无理数的估算就能快速得出结果，重点考查基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先将问题转化为比较$\sqrt{5}+1$和3的大小，进一步简化为比较$\sqrt{5}$和2的大小，根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能得出$\sqrt{5}$和2的大小关系，最终推导得到两个分数的大小关系。
【解析】
解：两个分数分母均为2，同分母分数比较大小，分子大的分数更大，因此只需比较分子$\sqrt{5}+1$和3的大小。
因为$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，
根据不等式的性质，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得$2+1＜\sqrt{5}+1$，也就是$3＜\sqrt{5}+1$，
因此$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，无理数估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时可以通过同分母分数的比较规则简化问题，结合常见无理数的估算就能快速得出结果，重点考查基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
14. $1+\sqrt{7}$的整数部分是
3
.答案
14.3
解析
【分析】
要确定含无理数的式子的整数部分，核心是先估算出无理数的取值范围。首先回忆算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此我们可以找到与7相邻的两个完全平方数，以此确定$\sqrt{7}$的取值范围，再给范围的两端同时加1，就能得到$1+\sqrt{7}$的取值范围，进而确定它的整数部分。
【解析】
∵ $4 ＜ 7 ＜ 9$
∴ 对三个数同时取算术平方根，得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加1，得$2+1＜1+\sqrt{7}＜3+1$，即$3＜1+\sqrt{7}＜4$
因此$1+\sqrt{7}$的取值在3和4之间，它的整数部分是3。
【答案】
3
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，考查无理数的估算方法，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围，再推导所求式子的范围即可得到答案。
【难度系数】
0.8
要确定含无理数的式子的整数部分，核心是先估算出无理数的取值范围。首先回忆算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此我们可以找到与7相邻的两个完全平方数，以此确定$\sqrt{7}$的取值范围，再给范围的两端同时加1，就能得到$1+\sqrt{7}$的取值范围，进而确定它的整数部分。
【解析】
∵ $4 ＜ 7 ＜ 9$
∴ 对三个数同时取算术平方根，得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加1，得$2+1＜1+\sqrt{7}＜3+1$，即$3＜1+\sqrt{7}＜4$
因此$1+\sqrt{7}$的取值在3和4之间，它的整数部分是3。
【答案】
3
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，考查无理数的估算方法，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围，再推导所求式子的范围即可得到答案。
【难度系数】
0.8
15. 七大洲总面积约为1.49亿 km²，则1.49亿精确到
百万
位。答案
15.百万
解析
【分析】
要确定带计数单位的近似数精确到哪一位，核心思路是：先明确近似数最后一位数字对应到原数中的实际数位。首先我们可以先将带“亿”单位的数还原为普通数字，再找到1.49的最后一位数字9在原数中所在的数位，就能得到精确的位数。
【解析】
步骤1：将1.49亿换算为不带单位的普通数字：
1.49亿 = 149000000
步骤2：确定1.49的最后一位数字9对应的数位：
在149000000中，数字9位于百万位，因此1.49亿精确到百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 计数单位换算
【点评】
本题是近似数精确度判断的基础题型，易错点是忽略计数单位，直接将1.49的最后一位判断为百分位，解题时需注意结合计数单位还原数位再判断。
【难度系数】
0.7
要确定带计数单位的近似数精确到哪一位，核心思路是：先明确近似数最后一位数字对应到原数中的实际数位。首先我们可以先将带“亿”单位的数还原为普通数字，再找到1.49的最后一位数字9在原数中所在的数位，就能得到精确的位数。
【解析】
步骤1：将1.49亿换算为不带单位的普通数字：
1.49亿 = 149000000
步骤2：确定1.49的最后一位数字9对应的数位：
在149000000中，数字9位于百万位，因此1.49亿精确到百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 计数单位换算
【点评】
本题是近似数精确度判断的基础题型，易错点是忽略计数单位，直接将1.49的最后一位判断为百分位，解题时需注意结合计数单位还原数位再判断。
【难度系数】
0.7
16. 若$|x+y-3|$与$\sqrt{2x+3y-5}$互为相反数，则$x=$
4
，$y=$$-1$
。答案
16.4 $-1$
解析
【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合绝对值、算术平方根的非负性（两者取值均大于等于0），可推知两个非负项各自为0，由此得到关于x、y的二元一次方程组，最后解方程组即可求出x、y的值。
【解析】
解：
∵$|x+y-3|$与$\sqrt{2x+3y-5}$互为相反数
∴$|x+y-3| + \sqrt{2x+3y-5} = 0$
又
∵$|x+y-3|≥0$，$\sqrt{2x+3y-5}≥0$
∴只有两个非负项都为0时，等式才成立，即：
$\begin{cases}x + y - 3 = 0 ① \\2x + 3y - 5 = 0 ②\end{cases}$
由①得：$x = 3 - y$ ③
把③代入②得：$2(3 - y) + 3y - 5 = 0$
去括号得：$6 - 2y + 3y - 5 = 0$
合并同类项得：$y + 1 = 0$
解得：$y = -1$
把$y = -1$代入③得：$x = 3 - (-1) = 4$
【答案】
4；$-1$
【知识点】
非负数的性质；相反数的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握绝对值和算术平方根的非负性，结合相反数的性质将问题转化为二元一次方程组求解，计算难度较低，主要考查对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合绝对值、算术平方根的非负性（两者取值均大于等于0），可推知两个非负项各自为0，由此得到关于x、y的二元一次方程组，最后解方程组即可求出x、y的值。
【解析】
解：
∵$|x+y-3|$与$\sqrt{2x+3y-5}$互为相反数
∴$|x+y-3| + \sqrt{2x+3y-5} = 0$
又
∵$|x+y-3|≥0$，$\sqrt{2x+3y-5}≥0$
∴只有两个非负项都为0时，等式才成立，即：
$\begin{cases}x + y - 3 = 0 ① \\2x + 3y - 5 = 0 ②\end{cases}$
由①得：$x = 3 - y$ ③
把③代入②得：$2(3 - y) + 3y - 5 = 0$
去括号得：$6 - 2y + 3y - 5 = 0$
合并同类项得：$y + 1 = 0$
解得：$y = -1$
把$y = -1$代入③得：$x = 3 - (-1) = 4$
【答案】
4；$-1$
【知识点】
非负数的性质；相反数的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握绝对值和算术平方根的非负性，结合相反数的性质将问题转化为二元一次方程组求解，计算难度较低，主要考查对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
17.一个正方形面积$ S $的范围是$ 10 ≤ S ≤ 20 $，且边长为整数$ x $，则$ x $的值为
4
。答案
17.4
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此可以把已知的面积范围转化为边长平方的取值范围，再结合边长是正整数的条件，逐一计算整数的平方，筛选出符合范围的整数即可。
【解析】
解：已知正方形边长为整数x，根据正方形面积公式可得：
$S = x^2$
∵ $10 ≤ S ≤ 20$
∴ $10 ≤ x^2 ≤ 20$
又
∵x是正方形的边长，为正整数，计算正整数的平方：
$3^2=9＜10$，不符合要求；
$4^2=16$，满足$10≤16≤20$，符合要求；
$5^2=25＞20$，不符合要求。
因此x的值为4。
【答案】
4
【知识点】
正方形面积公式、乘方运算、范围估算
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的面积公式和代数的乘方运算、范围判定相结合，解题核心是先通过面积公式建立边长和面积的关系，再结合整数的限制条件筛选结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此可以把已知的面积范围转化为边长平方的取值范围，再结合边长是正整数的条件，逐一计算整数的平方，筛选出符合范围的整数即可。
【解析】
解：已知正方形边长为整数x，根据正方形面积公式可得：
$S = x^2$
∵ $10 ≤ S ≤ 20$
∴ $10 ≤ x^2 ≤ 20$
又
∵x是正方形的边长，为正整数，计算正整数的平方：
$3^2=9＜10$，不符合要求；
$4^2=16$，满足$10≤16≤20$，符合要求；
$5^2=25＞20$，不符合要求。
因此x的值为4。
【答案】
4
【知识点】
正方形面积公式、乘方运算、范围估算
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的面积公式和代数的乘方运算、范围判定相结合，解题核心是先通过面积公式建立边长和面积的关系，再结合整数的限制条件筛选结果。
【难度系数】
0.8
18. 若$ x,y $都是实数，且$ y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8 $，则$ x + y = $
11
。答案
18.11
解析
【分析】
要计算x+y的值，需先分别求出x和y的取值。题目中y的表达式包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，因此两个根号内的代数式都要大于等于0，联立不等式即可求出x的唯一取值，再将x代入原式求出y，最后计算x+y的和即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，被开方数需满足非负的要求，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\3 - x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ 3$，解第二个不等式得$x ≤ 3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$，得：
$y = \sqrt{3-3} + \sqrt{3-3} + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$
因此$x + y = 3 + 8 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的定义，解题的突破口是根据被开方数的非负性确定x的取值，熟练掌握二次根式的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算x+y的值，需先分别求出x和y的取值。题目中y的表达式包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，因此两个根号内的代数式都要大于等于0，联立不等式即可求出x的唯一取值，再将x代入原式求出y，最后计算x+y的和即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，被开方数需满足非负的要求，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\3 - x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ 3$，解第二个不等式得$x ≤ 3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$，得：
$y = \sqrt{3-3} + \sqrt{3-3} + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$
因此$x + y = 3 + 8 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的定义，解题的突破口是根据被开方数的非负性确定x的取值，熟练掌握二次根式的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
19. 计算：
(1)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(2)$2^{-1} + \sqrt{4} - \sqrt[3]{8} + (\sqrt{2})^0$。
19. 计算：
(1)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(2)$2^{-1} + \sqrt{4} - \sqrt[3]{8} + (\sqrt{2})^0$。
答案
19.(1)$\frac{17}{2}$ (2)$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道题都属于实数的混合运算，解题时遵循“先化简各单项，再进行加减运算”的思路：①先回忆算术平方根、立方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出每一个小项的结果；②再按照有理数的加减运算法则计算最终结果即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先分别化简各单项：
$\sqrt{25}=5$（$5^2=25$，25的算术平方根为5），
$\sqrt[3]{-27}=-3$（$(-3)^3=-27$，-27的立方根为-3），
$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$（$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的算术平方根为$\frac{1}{2}$），
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - (-3) + \frac{1}{2}\\&=5 + 3 + \frac{1}{2}\\&=8 + \frac{1}{2}\\&=\frac{17}{2}\end{aligned}$
(2) 先分别化简各单项：
$2^{-1}=\frac{1}{2}$（负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}\ (a≠0)$），
$\sqrt{4}=2$（4的算术平方根为2），
$\sqrt[3]{8}=2$（$2^3=8$，8的立方根为2），
$(\sqrt{2})^0=1$（零指数幂法则：非零数的0次幂等于1），
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} + 2 - 2 + 1\\&=\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{17}{2}$；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
算术平方根化简；立方根化简；指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心考查各类实数运算的法则掌握程度，解题时需注意立方根的正负性、零负指数幂的运算前提，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于实数的混合运算，解题时遵循“先化简各单项，再进行加减运算”的思路：①先回忆算术平方根、立方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出每一个小项的结果；②再按照有理数的加减运算法则计算最终结果即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先分别化简各单项：
$\sqrt{25}=5$（$5^2=25$，25的算术平方根为5），
$\sqrt[3]{-27}=-3$（$(-3)^3=-27$，-27的立方根为-3），
$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$（$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的算术平方根为$\frac{1}{2}$），
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - (-3) + \frac{1}{2}\\&=5 + 3 + \frac{1}{2}\\&=8 + \frac{1}{2}\\&=\frac{17}{2}\end{aligned}$
(2) 先分别化简各单项：
$2^{-1}=\frac{1}{2}$（负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}\ (a≠0)$），
$\sqrt{4}=2$（4的算术平方根为2），
$\sqrt[3]{8}=2$（$2^3=8$，8的立方根为2），
$(\sqrt{2})^0=1$（零指数幂法则：非零数的0次幂等于1），
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} + 2 - 2 + 1\\&=\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{17}{2}$；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
算术平方根化简；立方根化简；指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心考查各类实数运算的法则掌握程度，解题时需注意立方根的正负性、零负指数幂的运算前提，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
