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20. 求下列各式中的实数 $ x $：
(1)$(x - 2)^2 = 81$；
(2)$4(x - 1)^2 = 16$；
(3)$3(x + 10)^3 = -81$。
(1)$(x - 2)^2 = 81$；
(2)$4(x - 1)^2 = 16$；
(3)$3(x + 10)^3 = -81$。
答案
20.(1)$-7$或$11$ (2)$-1$或$3$ (3)$-13$
解析
【分析】
这三道题均属于利用开方运算求解含未知数的方程，解题核心思路是先将含x的括号部分看作一个整体，再结合平方根、立方根的性质求出整体的值，最后进一步计算得到x的值。需要注意：正数的平方根有两个，且互为相反数，求解平方类方程时不要漏解；任意实数的立方根仅有一个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 对$(x - 2)^2 = 81$开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{81}=\pm9$
当$x-2=9$时，解得$x=11$；
当$x-2=-9$时，解得$x=-7$。
(2) 先对$4(x - 1)^2 = 16$两边同时除以4，得：
$(x-1)^2=4$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
(3) 先对$3(x + 10)^3 = -81$两边同时除以3，得：
$(x+10)^3=-27$
开立方得：$x+10=\sqrt[3]{-27}=-3$
解得$x=-3-10=-13$。
【答案】
(1)$-7$或$11$；(2)$-1$或$3$；(3)$-13$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，开方解方程
【点评】
本题重点考察平方根和立方根性质的应用，解题时先将含未知数的代数式视为整体进行开方运算，再求解未知数即可。需要注意求解平方类方程时不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.75
这三道题均属于利用开方运算求解含未知数的方程，解题核心思路是先将含x的括号部分看作一个整体，再结合平方根、立方根的性质求出整体的值，最后进一步计算得到x的值。需要注意：正数的平方根有两个，且互为相反数，求解平方类方程时不要漏解；任意实数的立方根仅有一个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 对$(x - 2)^2 = 81$开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{81}=\pm9$
当$x-2=9$时，解得$x=11$；
当$x-2=-9$时，解得$x=-7$。
(2) 先对$4(x - 1)^2 = 16$两边同时除以4，得：
$(x-1)^2=4$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
(3) 先对$3(x + 10)^3 = -81$两边同时除以3，得：
$(x+10)^3=-27$
开立方得：$x+10=\sqrt[3]{-27}=-3$
解得$x=-3-10=-13$。
【答案】
(1)$-7$或$11$；(2)$-1$或$3$；(3)$-13$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，开方解方程
【点评】
本题重点考察平方根和立方根性质的应用，解题时先将含未知数的代数式视为整体进行开方运算，再求解未知数即可。需要注意求解平方类方程时不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.75
21.若有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示：
(1)填空：$a-b$
(2)化简：$2|a-b|+|a-c|-|c-b|$.
(1)填空：$a-b$
＜
$0$；$a-c$ ＞
$0$；$c-b$ ＜
$0$；(填“＞”“＜”或“=”)(2)化简：$2|a-b|+|a-c|-|c-b|$.
答案
21.(1)$＜$ $＞$ $＜$
[解析]由数轴可得$c＜a＜0＜b$，
则$a-b＜0,a-c＞0,c-b＜0$.
(2)$2|a-b|+|a-c|-|c-b|$
$=-2(a-b)+(a-c)-(b-c)$
$=-2a+2b+a-c-b+c$
$=b-a$.
[解析]由数轴可得$c＜a＜0＜b$，
则$a-b＜0,a-c＞0,c-b＜0$.
(2)$2|a-b|+|a-c|-|c-b|$
$=-2(a-b)+(a-c)-(b-c)$
$=-2a+2b+a-c-b+c$
$=b-a$.
解析
【分析】
解题首先根据数轴的特征判断a、b、c的大小关系：数轴上右边的数总比左边的数大，可得$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$。
(1)判断两个数差的符号时，若被减数小于减数，差为负；若被减数大于减数，差为正，据此即可判断三个式子与0的大小关系。
(2)化简含绝对值的式子需依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。结合第一问得到的各绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项完成化简。
【解析】
(1)由数轴可知$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，
因为$a ＜ b$，所以$a-b ＜ 0$；
因为$a ＞ c$，所以$a-c ＞ 0$；
因为$c ＜ b$，所以$c-b ＜ 0$。
(2)结合(1)的结论，根据绝对值的性质去绝对值，再化简：
$\begin{split}2|a-b|+|a-c|-|c-b|&=-2(a-b)+(a-c)-(b-c)\\&=-2a+2b+a-c-b+c\\&=b-a\end{split}$
【答案】
(1)$＜$；$＞$；$＜$
(2)$b-a$
【知识点】
1. 数轴比较大小
2. 绝对值的性质
3. 整式加减化简
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式运算的综合基础题，解题关键是先通过数轴确定各数的大小关系，再利用绝对值的性质准确去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果，属于代数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先根据数轴的特征判断a、b、c的大小关系：数轴上右边的数总比左边的数大，可得$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$。
(1)判断两个数差的符号时，若被减数小于减数，差为负；若被减数大于减数，差为正，据此即可判断三个式子与0的大小关系。
(2)化简含绝对值的式子需依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。结合第一问得到的各绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项完成化简。
【解析】
(1)由数轴可知$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，
因为$a ＜ b$，所以$a-b ＜ 0$；
因为$a ＞ c$，所以$a-c ＞ 0$；
因为$c ＜ b$，所以$c-b ＜ 0$。
(2)结合(1)的结论，根据绝对值的性质去绝对值，再化简：
$\begin{split}2|a-b|+|a-c|-|c-b|&=-2(a-b)+(a-c)-(b-c)\\&=-2a+2b+a-c-b+c\\&=b-a\end{split}$
【答案】
(1)$＜$；$＞$；$＜$
(2)$b-a$
【知识点】
1. 数轴比较大小
2. 绝对值的性质
3. 整式加减化简
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式运算的综合基础题，解题关键是先通过数轴确定各数的大小关系，再利用绝对值的性质准确去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果，属于代数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
22. (1)已知$\sqrt{x - y + 3}$与$\sqrt{x + y - 1}$互为相反数，求$(x - y)^2$的平方根；
(2)已知$y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，求$\sqrt[3]{x - 5y}$的值。
(2)已知$y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，求$\sqrt[3]{x - 5y}$的值。
答案
22.(1)$\because \sqrt{x - y + 3}$与$\sqrt{x + y - 1}$互为相反数，
$\therefore \begin{cases} x-y+3=0, \\ x+y-1=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=2, \end{cases}$
$\therefore (x-y)^2$的平方根是$\pm3$.
(2)$\because y=\sqrt{x-24}+\sqrt{24-x}-8$,
$x-24≥0,24-x≥0$,
$\therefore x=24,y=-8$,
$\therefore \sqrt[3]{x-5y}=\sqrt[3]{24-5×(-8)}=\sqrt[3]{64}=4$.
$\therefore \begin{cases} x-y+3=0, \\ x+y-1=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=2, \end{cases}$
$\therefore (x-y)^2$的平方根是$\pm3$.
(2)$\because y=\sqrt{x-24}+\sqrt{24-x}-8$,
$x-24≥0,24-x≥0$,
$\therefore x=24,y=-8$,
$\therefore \sqrt[3]{x-5y}=\sqrt[3]{24-5×(-8)}=\sqrt[3]{64}=4$.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据相反数的性质，互为相反数的两数之和为0，结合算术平方根的非负性（即算术平方根的结果大于等于0），两个非负数相加和为0时，这两个非负数只能都为0，由此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后，先计算$(x-y)^2$的结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可。
（2）解题思路：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此题中两个根号下的$x-24$和$24-x$都要满足大于等于0，由此可确定x的取值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入$x-5y$计算出结果，再求其立方根即可。
【解析】
（1）
∵$\sqrt{x - y + 3}$与$\sqrt{x + y - 1}$互为相反数，
∴$\sqrt{x - y + 3}+\sqrt{x + y - 1}=0$，
又
∵$\sqrt{x - y + 3}≥0$，$\sqrt{x + y - 1}≥0$，
∴$\begin{cases} x-y+3=0, \\ x+y-1=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=2, \end{cases}$
∴$(x-y)^2=(-1-2)^2=9$，
∵9的平方根为$\pm3$，
∴$(x - y)^2$的平方根是$\pm3$。
（2）
∵$y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，
要使二次根式有意义，则$\begin{cases}x-24≥0 \\ 24-x≥0 \end{cases}$，
解得$x=24$，
将$x=24$代入原式得$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-8=-8$，
∴$\sqrt[3]{x - 5y}=\sqrt[3]{24-5×(-8)}=\sqrt[3]{24+40}=\sqrt[3]{64}=4$。
【答案】
(1) $\pm3$；(2) $4$
【知识点】
算术平方根的非负性；二次根式有意义的条件；平方根与立方根计算
【点评】
本题是实数章节的基础典型题，核心考查非负数的性质以及二次根式的相关概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记二次根式被开方数非负的隐含条件，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：首先根据相反数的性质，互为相反数的两数之和为0，结合算术平方根的非负性（即算术平方根的结果大于等于0），两个非负数相加和为0时，这两个非负数只能都为0，由此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后，先计算$(x-y)^2$的结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可。
（2）解题思路：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此题中两个根号下的$x-24$和$24-x$都要满足大于等于0，由此可确定x的取值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入$x-5y$计算出结果，再求其立方根即可。
【解析】
（1）
∵$\sqrt{x - y + 3}$与$\sqrt{x + y - 1}$互为相反数，
∴$\sqrt{x - y + 3}+\sqrt{x + y - 1}=0$，
又
∵$\sqrt{x - y + 3}≥0$，$\sqrt{x + y - 1}≥0$，
∴$\begin{cases} x-y+3=0, \\ x+y-1=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=2, \end{cases}$
∴$(x-y)^2=(-1-2)^2=9$，
∵9的平方根为$\pm3$，
∴$(x - y)^2$的平方根是$\pm3$。
（2）
∵$y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，
要使二次根式有意义，则$\begin{cases}x-24≥0 \\ 24-x≥0 \end{cases}$，
解得$x=24$，
将$x=24$代入原式得$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-8=-8$，
∴$\sqrt[3]{x - 5y}=\sqrt[3]{24-5×(-8)}=\sqrt[3]{24+40}=\sqrt[3]{64}=4$。
【答案】
(1) $\pm3$；(2) $4$
【知识点】
算术平方根的非负性；二次根式有意义的条件；平方根与立方根计算
【点评】
本题是实数章节的基础典型题，核心考查非负数的性质以及二次根式的相关概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记二次根式被开方数非负的隐含条件，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
