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23.已知实数$a+9$的一个平方根是$-5$，$2b-a$的立方根是$-2$.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$2a+b$的算术平方根.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$2a+b$的算术平方根.
答案
23.(1)$\because$实数$a+9$的一个平方根是$-5$,
$\therefore a+9=(-5)^2=25$,解得$a=16$.
$\because 2b-a$的立方根是$-2$,$\therefore 2b-a=(-2)^3=-8$,
即$2b-16=-8$,解得$b=4$.
(2)$\sqrt{2a+b}=\sqrt{2×16+4}=\sqrt{36}=6$,即$2a+b$的算术平方根为$6$.
$\therefore a+9=(-5)^2=25$,解得$a=16$.
$\because 2b-a$的立方根是$-2$,$\therefore 2b-a=(-2)^3=-8$,
即$2b-16=-8$,解得$b=4$.
(2)$\sqrt{2a+b}=\sqrt{2×16+4}=\sqrt{36}=6$,即$2a+b$的算术平方根为$6$.
解析
【分析】
本题可根据平方根、立方根的定义逐步求解：(1) 首先，若一个数的平方根为x，那么这个数等于x的平方，据此可列出关于a的等式求出a的值；再根据若一个数的立方根为y，那么这个数等于y的立方，将求出的a代入即可得到关于b的等式，求解得到b的值。(2) 把(1)中求出的a、b的值代入2a+b，再根据算术平方根为非负平方根的定义计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 实数$a+9$的一个平方根是$-5$，
$\therefore a+9=(-5)^2=25$，解得$a=25-9=16$。
$\because 2b-a$的立方根是$-2$，
$\therefore 2b-a=(-2)^3=-8$，
将$a=16$代入得$2b-16=-8$，解得$b=4$。
(2) 将$a=16$、$b=4$代入$2a+b$得：
$2a+b=2×16+4=36$，
根据算术平方根的定义可得$\sqrt{36}=6$。
【答案】
(1) $a=16$，$b=4$；(2) $6$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的计算
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义，注意区分平方根和算术平方根的差异，计算时留意符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题可根据平方根、立方根的定义逐步求解：(1) 首先，若一个数的平方根为x，那么这个数等于x的平方，据此可列出关于a的等式求出a的值；再根据若一个数的立方根为y，那么这个数等于y的立方，将求出的a代入即可得到关于b的等式，求解得到b的值。(2) 把(1)中求出的a、b的值代入2a+b，再根据算术平方根为非负平方根的定义计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 实数$a+9$的一个平方根是$-5$，
$\therefore a+9=(-5)^2=25$，解得$a=25-9=16$。
$\because 2b-a$的立方根是$-2$，
$\therefore 2b-a=(-2)^3=-8$，
将$a=16$代入得$2b-16=-8$，解得$b=4$。
(2) 将$a=16$、$b=4$代入$2a+b$得：
$2a+b=2×16+4=36$，
根据算术平方根的定义可得$\sqrt{36}=6$。
【答案】
(1) $a=16$，$b=4$；(2) $6$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的计算
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义，注意区分平方根和算术平方根的差异，计算时留意符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
24.已知一个正数$ a $的两个平方根是$-\dfrac{1}{4}$与$2x - \dfrac{3}{4}$。
(1)求$ x $的值和$ a $的值；
(2)写出$ a $的算术平方根和立方根，并比较它们的大小。
(1)求$ x $的值和$ a $的值；
(2)写出$ a $的算术平方根和立方根，并比较它们的大小。
答案
24.(1)依题意,得$-\frac{1}{4}+2x-\frac{3}{4}=0$,
解得$x=\frac{1}{2}$.$a=(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$.
(2)$a$的算术平方根是$\frac{1}{4}$,立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$.
$\because (\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$,$(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3=\frac{1}{16}$,
$\therefore (\frac{1}{4})^3＜(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3$,$\therefore \frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$.
解得$x=\frac{1}{2}$.$a=(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$.
(2)$a$的算术平方根是$\frac{1}{4}$,立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$.
$\because (\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$,$(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3=\frac{1}{16}$,
$\therefore (\frac{1}{4})^3＜(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3$,$\therefore \frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$.
解析
【分析】
(1) 首先利用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列一元一次方程即可求出x的值；再根据平方根的定义，a等于任意一个平方根的平方，代入计算即可得到a的值。
(2) 算术平方根是正数的正平方根，据此直接写出a的算术平方根；根据立方根定义写出a的立方根；比较两个正数大小时，可将两数同时立方，立方后数值大的原数更大，通过计算两者的立方即可比较大小。
【解析】
(1) 依题意，正数的两个平方根互为相反数，可得：
$-\frac{1}{4}+2x-\frac{3}{4}=0$
合并同类项得$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
根据平方根的定义，$a=(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$。
(2) 由算术平方根定义可得，a的算术平方根是$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$；
由立方根定义可得，a的立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$；
分别对两个数求立方：
$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，$(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3=\frac{1}{16}$
因为$\frac{1}{64}＜\frac{1}{16}$，正数立方后大小关系与原数一致，因此$\frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{2}$，$a=\frac{1}{16}$；
(2) $a$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$，大小关系为$\frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$。
【知识点】
平方根的性质、算术平方根、立方根
【点评】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的概念性质，以及实数大小比较的方法，核心考点为正数的两个平方根互为相反数，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
(1) 首先利用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列一元一次方程即可求出x的值；再根据平方根的定义，a等于任意一个平方根的平方，代入计算即可得到a的值。
(2) 算术平方根是正数的正平方根，据此直接写出a的算术平方根；根据立方根定义写出a的立方根；比较两个正数大小时，可将两数同时立方，立方后数值大的原数更大，通过计算两者的立方即可比较大小。
【解析】
(1) 依题意，正数的两个平方根互为相反数，可得：
$-\frac{1}{4}+2x-\frac{3}{4}=0$
合并同类项得$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
根据平方根的定义，$a=(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$。
(2) 由算术平方根定义可得，a的算术平方根是$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$；
由立方根定义可得，a的立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$；
分别对两个数求立方：
$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，$(\sqrt[3]{\frac{1}{16}})^3=\frac{1}{16}$
因为$\frac{1}{64}＜\frac{1}{16}$，正数立方后大小关系与原数一致，因此$\frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{2}$，$a=\frac{1}{16}$；
(2) $a$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$，大小关系为$\frac{1}{4}＜\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$。
【知识点】
平方根的性质、算术平方根、立方根
【点评】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的概念性质，以及实数大小比较的方法，核心考点为正数的两个平方根互为相反数，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
25. 中考新考法 新定义问题 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：$-9,-4,-1$这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，其结果6,3,2都是整数，所以$-9,-4,-1$这三个数称为“完美组合数”. (1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. (2)若三个数$-3,m,-12$是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求$m$的值.
答案
25.(1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,
$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.
(2)$\because \sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
$\therefore$分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,$\therefore m=-48$;
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
$\therefore m=-12$(不符合题意,舍去).
综上所述,$m$的值是$-48$.
$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,
$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.
(2)$\because \sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
$\therefore$分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,$\therefore m=-48$;
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
$\therefore m=-12$(不符合题意,舍去).
综上所述,$m$的值是$-48$.
解析
【分析】
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需紧扣新定义要求：先计算三个数两两乘积的算术平方根，再验证所有结果是否均为整数，同时确认三个数是互不相等的负整数，若均满足条件则符合定义。（2）首先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是剩下的两种两两组合，分两类讨论计算m的值，最后结合“三个互不相等的负整数”的条件排除不符合的解即可。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，且三个数是互不相等的负整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为$-3,-48,-12$，是互不相等的负整数，符合题意；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时$m$和$-12$相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，故舍去。
综上所述，$m$的值是$-48$。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
1. 算术平方根计算 2. 新定义理解 3. 分类讨论
【点评】
本题以新定义“完美组合数”为载体，核心考查算术平方根的运算，解题关键是准确理解新定义的要求，第二问需注意分类讨论所有可能的情况，同时不要忽略三个数互不相等的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需紧扣新定义要求：先计算三个数两两乘积的算术平方根，再验证所有结果是否均为整数，同时确认三个数是互不相等的负整数，若均满足条件则符合定义。（2）首先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是剩下的两种两两组合，分两类讨论计算m的值，最后结合“三个互不相等的负整数”的条件排除不符合的解即可。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，且三个数是互不相等的负整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为$-3,-48,-12$，是互不相等的负整数，符合题意；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时$m$和$-12$相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，故舍去。
综上所述，$m$的值是$-48$。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
1. 算术平方根计算 2. 新定义理解 3. 分类讨论
【点评】
本题以新定义“完美组合数”为载体，核心考查算术平方根的运算，解题关键是准确理解新定义的要求，第二问需注意分类讨论所有可能的情况，同时不要忽略三个数互不相等的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
