26. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下面的文字,解答问题:
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$(\sqrt{7}-2)$.
请解答:
(1)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,$\sqrt{13}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{5}$的值;
(2)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$x-y$的相反数.

26.(1)$1$ (2)$\sqrt{3}-12$

【分析】
解决此类问题的核心思路是先通过估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再用“无理数本身减去整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求代入代数式计算即可。
对于第(1)问：先分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$的范围，得到$\sqrt{5}$的小数部分$a$和$\sqrt{13}$的整数部分$b$，再代入$a+b-\sqrt{5}$计算。
对于第(2)问：先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的整数部分$x$和小数部分$y$，再计算$x-y$的相反数。
【解析】
(1) 先确定$\sqrt{5}$的范围：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$a=\sqrt{5}-2$
再确定$\sqrt{13}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$b=3$
将$a=\sqrt{5}-2$，$b=3$代入式子：
$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$
(2) 先确定$\sqrt{3}$的范围：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
$\therefore 10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$
$\because 10+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$
$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$
计算$x-y$：
$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$
则$x-y$的相反数为$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$
【答案】
(1)$1$；(2)$\sqrt{3}-12$
【知识点】
无理数大小估算；代数式求值；相反数运算
【点评】
本题为阅读理解类题型，解题关键是读懂材料中给出的无理数整数部分、小数部分的确定方法，结合数的运算规则即可顺利求解，能有效考查学生的知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7

27.有A,B两点,在数轴上分别表示实数a,b,若a的绝对值是b的绝对值的4倍,且A,B两点的距离是15个单位长度.
(1)探讨a,b的值.
①A,B两点都在原点的左侧时,a=,b=;
②若规定A在原点的左侧,B在原点的右侧,a=,b=.
(2)数轴上现有两个动点P,Q,动点P从点A出发向点B运动,速度为每秒2个单位长度;动点Q从点B出发向点A运动,速度为每秒1个单位长度,两点同时出发,当其中一点到达终点时另一点也随之停止,经过t秒后P,Q两点相距3个单位长度,求此时t的值.

27.(1)①$-20$ $-5$
[解析]$\because A,B$两点都在原点的左侧,$|a|=4|b|$,$|a|-|b|=15$,$\therefore a＜0,b＜0$,
$|b|=5$,$|a|=20$,$\therefore b=-5$,$a=-20$.
②$-12$ $3$
[解析]$\because A$在原点的左侧,$B$在原点的右侧,$|a|=4|b|$,$|a|+|b|=15$,$\therefore a＜0,b＞0$,
$|b|=3$,$|a|=12$,$\therefore a=-12$,$b=3$.
(2)当$P,Q$两点在相遇前相距3个单位长度时,
则$2t+t=15-3$,解得$t=4$;
当$P,Q$两点在相遇后相距3个单位长度时,
则$2t+t=15+3$,解得$t=6$.
故$t$的值为4或6.

【分析】
解题时需结合数轴上点的位置特征与绝对值的性质逐步推导：
(1)针对a、b的位置先确定符号：①A、B都在原点左侧时，a、b均为负数，两点间距离等于两数绝对值的差，结合|a|=4|b|、距离为15，即可求出两数的绝对值，再结合符号得到a、b的取值；②A在原点左侧、B在原点右侧时，a为负、b为正，两点间距离等于两数绝对值的和，代入已知条件计算绝对值后即可确定a、b的值。
(2)动点相向运动时，相距3个单位长度需分两类讨论：相遇前相距3，此时两点的路程和等于总距离减3；相遇后相距3，此时两点的路程和等于总距离加3，根据“路程和=速度和×运动时间”列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)①
∵A、B两点都在原点的左侧，
∴a＜0，b＜0，两点间距离为|a|-|b|=15，又
∵|a|=4|b|，代入得4|b|-|b|=3|b|=15，解得|b|=5，|a|=20，因此a=-20，b=-5。
②
∵A在原点左侧，B在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，两点间距离为|a|+|b|=15，结合|a|=4|b|，代入得4|b|+|b|=5|b|=15，解得|b|=3，|a|=12，因此a=-12，b=3。
(2)P、Q两点相向运动，A、B总距离为15个单位长度，分两种情况讨论：
①相遇前相距3个单位长度：此时两点走过的路程和为15-3=12，根据路程和=速度和×时间，列方程得：$2t + t = 15 - 3$，解得$t=4$；
②相遇后相距3个单位长度：此时两点走过的路程和为15+3=18，列方程得：$2t + t = 15 + 3$，解得$t=6$。
综上，t的值为4或6。
【答案】
(1)①$-20$，$-5$；②$-12$，$3$；(2)$t=4$或$6$
【知识点】
绝对值的性质，数轴的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考察数轴、绝对值与动点问题，核心是分类讨论思想的运用，求解动点问题时要注意区分相遇前后的不同位置状态，避免漏解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6