六、我会挑战。(附加题,共10分)
31. 阅读与解答。
同学们,在我们的生活中密铺现象无处不在,比如家里的瓷砖、蜂巢的结构、美丽的镶嵌画等。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起,就叫作图形的密铺。其中只用一种图形是单独密铺,使用多种图形是组合密铺。密铺现象在我们的生活中随处可见,那为什么有的图形可以,有的图形不可以密铺呢?我们一起来研究一下。
(1)观察三角形密铺的规律,列式说明正方形和普通四边形可以密铺的理由,完成表格。(2分)
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(2)观察上表可以发现当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是()°时,就一定可以密铺。(1分)
(3)下面图形中不可以单独密铺的是()。(1分)
A. 直角三角形
B. 梯形
C. 正五边形
D. 正六边形
(4)右图是两种平行四边形的组合密铺,请用密铺的知识分别求出$∠1$、$∠2$和$∠3$的度数。(6分)

31. (1)$90°×4=360°$
$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$
(2)360 (3)C
(4)$∠1=360°÷5=72°,∠2=360°÷2-72°=108°$         $∠3=360°-108°-108°=144°$

【分析】
首先明确密铺的核心原理：平面图形拼接时，拼接点周围各角的度数之和为360°，且图形无空隙、不重叠。再逐个解决问题：
1. 第(1)问：利用正方形内角为90°、普通四边形内角和为360°，结合拼接点角和为360°的密铺条件列式；
2. 第(2)问：根据正方形、普通四边形可密铺的例子，总结拼接点角和的规律；
3. 第(3)问：计算各选项图形的内角度数，判断360°是否为内角度数的整数倍，确定能否单独密铺；
4. 第(4)问：结合密铺的角和条件，根据拼接点周围角的数量关系，依次计算∠1、∠2、∠3的度数。
【解析】
(1) 正方形每个内角为90°，拼接点周围有4个正方形内角，因此列式：$90°×4=360°$；普通四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，拼接点周围四个内角和等于四边形内角和，因此列式：$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$；
(2) 由第(1)问可知，正方形和普通四边形可密铺是因为拼接点周围角的度数之和为360°，因此填360；
(3) 计算各选项：A.直角三角形内角和180°，6个内角和为360°，可密铺；B.梯形是四边形，内角和360°，可密铺；C.正五边形每个内角为$(5-2)×180°÷5=108°$，$360°÷108°$不是整数，不可单独密铺；D.正六边形每个内角120°，$3×120°=360°$，可密铺，故选C；
(4) 根据密铺角和条件：∠1处有5个相同角，因此$∠1=360°÷5=72°$；∠2处有2个相同角，故$∠2=360°÷2 -72°=108°$；∠3处为360°减去2个∠2，因此$∠3=360°-108°×2=144°$。
【答案】
31. (1)$90°×4=360°$；$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$ (2)360 (3)C (4)$∠1=72°$，$∠2=108°$，$∠3=144°$
【知识点】
密铺的概念，多边形内角和，角度计算
【点评】
本题围绕密铺的核心原理展开，结合多边形内角和知识考查应用能力，需要学生理解密铺的本质，难度适中，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.5