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17.(8分)计算:
(1)$2^2 - 2^0 + 2^{-1}$。
(2)$(a - 6)^2 - a(a - 6)$。
(1)$2^2 - 2^0 + 2^{-1}$。
(2)$(a - 6)^2 - a(a - 6)$。
答案
17.(1)原式$=3\dfrac{1}{2}$。
(2)原式$=-6a+36$。
(2)原式$=-6a+36$。
解析
【分析】
第(1)小题需分别计算乘方项、零指数幂项、负整数指数幂项，再进行加减运算；第(2)小题先利用完全平方公式展开$(a-6)^2$，再用单项式乘多项式法则展开$a(a-6)$，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先计算各项：
$2^2 = 4$，$2^0 = 1$（任何非零数的0次幂为1），$2^{-1} = \frac{1}{2}$（负整数指数幂等于正指数幂的倒数），
则原式$= 4 - 1 + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}$。
(2) 先展开式子：
根据完全平方公式$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，得$(a - 6)^2 = a^2 - 12a + 36$；
根据单项式乘多项式法则，得$a(a - 6) = a^2 - 6a$；
则原式$= (a^2 - 12a + 36) - (a^2 - 6a)$，
去括号得$a^2 - 12a + 36 - a^2 + 6a$，
合并同类项：$(a^2 - a^2) + (-12a + 6a) + 36 = -6a + 36$。
【答案】
17.(1)原式$=3\dfrac{1}{2}$；(2)原式$=-6a+36$。
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题考查基础的幂运算与整式运算，需牢记相关公式和法则，按步骤计算即可，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.7
第(1)小题需分别计算乘方项、零指数幂项、负整数指数幂项，再进行加减运算；第(2)小题先利用完全平方公式展开$(a-6)^2$，再用单项式乘多项式法则展开$a(a-6)$，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先计算各项：
$2^2 = 4$，$2^0 = 1$（任何非零数的0次幂为1），$2^{-1} = \frac{1}{2}$（负整数指数幂等于正指数幂的倒数），
则原式$= 4 - 1 + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}$。
(2) 先展开式子：
根据完全平方公式$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，得$(a - 6)^2 = a^2 - 12a + 36$；
根据单项式乘多项式法则，得$a(a - 6) = a^2 - 6a$；
则原式$= (a^2 - 12a + 36) - (a^2 - 6a)$，
去括号得$a^2 - 12a + 36 - a^2 + 6a$，
合并同类项：$(a^2 - a^2) + (-12a + 6a) + 36 = -6a + 36$。
【答案】
17.(1)原式$=3\dfrac{1}{2}$；(2)原式$=-6a+36$。
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题考查基础的幂运算与整式运算，需牢记相关公式和法则，按步骤计算即可，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.7
18.(8分)解下列方程(组):
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11。\end{cases}$
(2)$\frac{x}{x - 3}$+1$=\frac{1}{3 - x}$。
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11。\end{cases}$
(2)$\frac{x}{x - 3}$+1$=\frac{1}{3 - x}$。
答案
18.(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$
(2)$x=1$。
(2)$x=1$。
解析
【分析】
本题包含解二元一次方程组和解分式方程两部分：解二元一次方程组可通过加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；解分式方程需先转化为整式方程，且必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x - y = 2 ① \\3x + 2y = 11 ②\end{cases}$，
①×2得：$2x - 2y = 4 ③$，
②+③得：$5x = 15$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入①得：$3 - y = 2$，解得$y = 1$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\frac{x}{x - 3} + 1 = \frac{1}{3 - x}$，
先将方程变形为$\frac{x}{x - 3} + 1 = -\frac{1}{x - 3}$，
两边同乘最简公分母$(x - 3)$，得：$x + (x - 3) = -1$，
去括号得：$x + x - 3 = -1$，
合并同类项得：$2x - 3 = -1$，
移项、计算得：$2x = 2$，解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 3 = -2 ≠ 0$，故$x = 1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$(2)$x=1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组和分式方程的核心解法，需注意分式方程必须检验解的有效性，是易忽略的细节。
【难度系数】
0.7
本题包含解二元一次方程组和解分式方程两部分：解二元一次方程组可通过加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；解分式方程需先转化为整式方程，且必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x - y = 2 ① \\3x + 2y = 11 ②\end{cases}$，
①×2得：$2x - 2y = 4 ③$，
②+③得：$5x = 15$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入①得：$3 - y = 2$，解得$y = 1$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\frac{x}{x - 3} + 1 = \frac{1}{3 - x}$，
先将方程变形为$\frac{x}{x - 3} + 1 = -\frac{1}{x - 3}$，
两边同乘最简公分母$(x - 3)$，得：$x + (x - 3) = -1$，
去括号得：$x + x - 3 = -1$，
合并同类项得：$2x - 3 = -1$，
移项、计算得：$2x = 2$，解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 3 = -2 ≠ 0$，故$x = 1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$(2)$x=1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组和分式方程的核心解法，需注意分式方程必须检验解的有效性，是易忽略的细节。
【难度系数】
0.7
19. (6分)数学课上,老师要求同学们对$(\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{1}{a + 1})·\dfrac{a - 1}{a}$进行化简。下面是小温和小州同学的部分运算过程：
(1)小温同学解法的依据是________,小州同学解法的依据是________。
（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
(1)小温同学解法的依据是________,小州同学解法的依据是________。
（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
答案
19.(1)② ③
(2)小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a+1}$。小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2-1}·\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{1}{a+1}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{a-1}{a(a+1)}=\dfrac{a}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a+1}$。
(2)小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a+1}$。小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2-1}·\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{1}{a+1}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{a-1}{a(a+1)}=\dfrac{a}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a+1}$。
解析
【分析】
本题考查分式的化简，需先明确两位同学解法的依据，再通过通分或分配律完成分式化简。小温同学对括号内的分式进行通分变形，利用分式的基本性质；小州同学将乘法分配到括号内的两项，利用乘法分配律。解答时先确定依据，再选择一种方法完成化简，注意通分和约分的正确性。
【解析】
(1) 小温同学将$\dfrac{1}{a+1}$变形为$\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}$，是依据分式的基本性质（分子分母同乘不为0的整式，分式值不变），故填②；小州同学将原式转化为两个分式分别乘$\dfrac{a-1}{a}$，是依据乘法分配律，故填③。
(2) 选择小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1 + a - 1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{a}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$。
【答案】
(1) ②；③ (2) $\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式化简的两种常用方法，通分后计算和利用分配律展开，需熟练掌握分式基本性质和运算律，注意约分的准确性，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查分式的化简，需先明确两位同学解法的依据，再通过通分或分配律完成分式化简。小温同学对括号内的分式进行通分变形，利用分式的基本性质；小州同学将乘法分配到括号内的两项，利用乘法分配律。解答时先确定依据，再选择一种方法完成化简，注意通分和约分的正确性。
【解析】
(1) 小温同学将$\dfrac{1}{a+1}$变形为$\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}$，是依据分式的基本性质（分子分母同乘不为0的整式，分式值不变），故填②；小州同学将原式转化为两个分式分别乘$\dfrac{a-1}{a}$，是依据乘法分配律，故填③。
(2) 选择小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1 + a - 1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{a}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$。
【答案】
(1) ②；③ (2) $\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式化简的两种常用方法，通分后计算和利用分配律展开，需熟练掌握分式基本性质和运算律，注意约分的准确性，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
