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8.《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文大致如下:有几个人去买鸡，每人出9钱(古时的货币单位)，余11钱；每人出6钱，差16钱。问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组$\begin{cases}9x = y + 11, \\ 6x = y - 16,\end{cases}$则方程组中$x$表示的是 （ ）
A.鸡的数量
B.鸡的单价
C.每个人出的钱数
D.买鸡的人数
A.鸡的数量
B.鸡的单价
C.每个人出的钱数
D.买鸡的人数
答案
8.D
解析
【分析】
要确定方程组中$x$的含义，需结合“盈不足术”的题意和方程组的数量关系分析：这类问题通常设两个未知数，对应买鸡的人数和鸡的价格，再根据“出钱总数与鸡价的关系”列方程。观察方程组的两个等式，均涉及“每人出钱数×某个量”，结合题意中“每人出9钱”“每人出6钱”，可推断该“某个量”是买鸡的人数，因此$x$表示买鸡的人数。
【解析】
设买鸡的人数为$x$，鸡的价格为$y$钱。根据题意：
1. 每人出9钱时，总出钱数为$9x$，比鸡价多11钱，故列方程$9x = y + 11$；
2. 每人出6钱时，总出钱数为$6x$，比鸡价少16钱，故列方程$6x = y - 16$。
由此可知，方程组中$x$表示买鸡的人数，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；实际问题中未知数的意义
【点评】
本题结合古代数学问题，考查对二元一次方程组实际应用中未知数含义的理解，属于基础题，只需明确各量间的数量关系即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要确定方程组中$x$的含义，需结合“盈不足术”的题意和方程组的数量关系分析：这类问题通常设两个未知数，对应买鸡的人数和鸡的价格，再根据“出钱总数与鸡价的关系”列方程。观察方程组的两个等式，均涉及“每人出钱数×某个量”，结合题意中“每人出9钱”“每人出6钱”，可推断该“某个量”是买鸡的人数，因此$x$表示买鸡的人数。
【解析】
设买鸡的人数为$x$，鸡的价格为$y$钱。根据题意：
1. 每人出9钱时，总出钱数为$9x$，比鸡价多11钱，故列方程$9x = y + 11$；
2. 每人出6钱时，总出钱数为$6x$，比鸡价少16钱，故列方程$6x = y - 16$。
由此可知，方程组中$x$表示买鸡的人数，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；实际问题中未知数的意义
【点评】
本题结合古代数学问题，考查对二元一次方程组实际应用中未知数含义的理解，属于基础题，只需明确各量间的数量关系即可快速判断。
【难度系数】
0.8
9. 已知$2x-3y=0$，则分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$的值为（
A.$5$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1$
C
）A.$5$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1$
答案
9.C 【解析】因为$2x-3y=0$,所以$2x=3y$。 所以$x=\dfrac{3}{2}y$。 所以原式$=\dfrac{\dfrac{3}{2}y+y}{3y-y}=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{2y}=\dfrac{5}{4}$。故选C。
解析
【分析】
本题是已知二元一次等式求分式的值，解题思路为：先根据已知等式将其中一个未知数用另一个未知数表示，再代入分式中，通过约分化简消去未知数，从而求出分式的具体值。
【解析】
已知$2x - 3y = 0$，移项得$2x = 3y$，两边同除以2，得$x = \dfrac{3}{2}y$。
将$x = \dfrac{3}{2}y$代入分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$，分子为$\dfrac{3}{2}y + y = \dfrac{5}{2}y$，分母为$2×\dfrac{3}{2}y - y = 3y - y = 2y$，则原式$=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{2y}$。
因为分母$2y≠0$，所以$y≠0$，约去$y$得$\dfrac{5}{4}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、代数式的变形
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心是利用已知条件进行代数式变形，将二元转化为一元后代入分式计算，过程简单，主要考查学生对分式代入求值方法的掌握。
【难度系数】
0.8
本题是已知二元一次等式求分式的值，解题思路为：先根据已知等式将其中一个未知数用另一个未知数表示，再代入分式中，通过约分化简消去未知数，从而求出分式的具体值。
【解析】
已知$2x - 3y = 0$，移项得$2x = 3y$，两边同除以2，得$x = \dfrac{3}{2}y$。
将$x = \dfrac{3}{2}y$代入分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$，分子为$\dfrac{3}{2}y + y = \dfrac{5}{2}y$，分母为$2×\dfrac{3}{2}y - y = 3y - y = 2y$，则原式$=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{2y}$。
因为分母$2y≠0$，所以$y≠0$，约去$y$得$\dfrac{5}{4}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、代数式的变形
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心是利用已知条件进行代数式变形，将二元转化为一元后代入分式计算，过程简单，主要考查学生对分式代入求值方法的掌握。
【难度系数】
0.8
10.现有若干个长为$a$、宽为$b$的小长方形(如图1)。将其中2个小长方形摆放在边长为$a$的正方形内(如图2),右下角阴影部分的面积为9;再将其中3个小长方形摆放在边长为$(a+b)$的正方形内(如图3),记右上角的阴影部分面积为$S_1$,右下角的阴影部分面积为$S_2$。若$ab=\frac{27}{4}$,则$S_2 - S_1$的值为 (
A.10
B.$\frac{45}{4}$
C.11
D.$\frac{23}{2}$
B
)A.10
B.$\frac{45}{4}$
C.11
D.$\frac{23}{2}$
答案
10.B 【解析】观察图形可得$(a-b)^2=9,S_2-S_1=a(a-b)-b^2$,因为$ab=\dfrac{27}{4},a＞b＞0$,所以$a-b=3,(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=9+27=36$。所以$a+b=6$。所以$S_2-S_1=a^2-ab-b^2=(a+b)(a-b)-ab=6× 3-\dfrac{27}{4}=\dfrac{45}{4}$。故选B。
解析
【分析】
先观察图2，边长为$a$的正方形内放置2个小长方形，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，其面积为9，由此得到$(a - b)^2 = 9$；再分析图3，需推导$S_2 - S_1$的表达式，结合完全平方公式，利用已知$ab=\frac{27}{4}$，求出$a - b$和$a + b$的值，进而计算$S_2 - S_1$。
【解析】
1. 由图2可知，阴影部分为边长是$(a - b)$的正方形，因此面积为：
$(a - b)^2 = 9$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = 3$。
2. 根据完全平方公式计算$(a + b)^2$：
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
代入$(a - b)^2=9$，$ab=\frac{27}{4}$，得：
$(a + b)^2 = 9 + 4×\frac{27}{4} = 9 + 27 = 36$
因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 6$。
3. 推导$S_2 - S_1$的表达式：
观察图3，$S_2 = a(a - b)$，$S_1 = b^2$，因此：
$S_2 - S_1 = a(a - b) - b^2 = a^2 - ab - b^2$
变形为：$a^2 - b^2 - ab = (a + b)(a - b) - ab$
4. 代入数值计算：
$S_2 - S_1 = 6×3 - \frac{27}{4} = 18 - \frac{27}{4} = \frac{72 - 27}{4} = \frac{45}{4}$
【答案】
B
【知识点】
整式运算、完全平方公式、正方形面积
【点评】
本题结合图形面积考查代数式的化简求值，关键是从图形中提取边长关系，利用完全平方公式建立$a$、$b$的整体关系，体现了数形结合思想，需要学生具备代数变形能力。
【难度系数】
0.4
先观察图2，边长为$a$的正方形内放置2个小长方形，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，其面积为9，由此得到$(a - b)^2 = 9$；再分析图3，需推导$S_2 - S_1$的表达式，结合完全平方公式，利用已知$ab=\frac{27}{4}$，求出$a - b$和$a + b$的值，进而计算$S_2 - S_1$。
【解析】
1. 由图2可知，阴影部分为边长是$(a - b)$的正方形，因此面积为：
$(a - b)^2 = 9$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = 3$。
2. 根据完全平方公式计算$(a + b)^2$：
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
代入$(a - b)^2=9$，$ab=\frac{27}{4}$，得：
$(a + b)^2 = 9 + 4×\frac{27}{4} = 9 + 27 = 36$
因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 6$。
3. 推导$S_2 - S_1$的表达式：
观察图3，$S_2 = a(a - b)$，$S_1 = b^2$，因此：
$S_2 - S_1 = a(a - b) - b^2 = a^2 - ab - b^2$
变形为：$a^2 - b^2 - ab = (a + b)(a - b) - ab$
4. 代入数值计算：
$S_2 - S_1 = 6×3 - \frac{27}{4} = 18 - \frac{27}{4} = \frac{72 - 27}{4} = \frac{45}{4}$
【答案】
B
【知识点】
整式运算、完全平方公式、正方形面积
【点评】
本题结合图形面积考查代数式的化简求值，关键是从图形中提取边长关系，利用完全平方公式建立$a$、$b$的整体关系，体现了数形结合思想，需要学生具备代数变形能力。
【难度系数】
0.4
11. 分解因式：$a^2 - 7a =$
$a(a-7)$
。答案
11.$a(a-7)$
解析
【分析】本题是因式分解题，观察式子$a^2 -7a$，两项都含有公因式$a$，解题思路是运用提公因式法，提取公因式$a$即可完成分解。
【解析】对于式子$a^2 -7a$，确定公因式：系数的最大公约数为1，相同字母$a$的最低次幂为1次，因此公因式是$a$；提取公因式后，原式转化为$a· a - a·7 = a(a-7)$。
【答案】$a(a-7)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题属于基础因式分解题，直接运用提公因式法即可解决，考查学生对因式分解基本方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对于式子$a^2 -7a$，确定公因式：系数的最大公约数为1，相同字母$a$的最低次幂为1次，因此公因式是$a$；提取公因式后，原式转化为$a· a - a·7 = a(a-7)$。
【答案】$a(a-7)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题属于基础因式分解题，直接运用提公因式法即可解决，考查学生对因式分解基本方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9
12. 要使分式$\dfrac{5}{x-1}$有意义，则$x$的值可以为$\underline{\hspace{5cm}}$（写出一个即可）。
答案
12.2(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。对于给定的分式$\dfrac{5}{x-1}$，其分母是$x-1$，因此只需保证分母$x-1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$，所以只要写出一个不等于1的$x$的值即可。
【解析】
根据分式有意义的条件，分母不为0，可得$x - 1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$，因此$x$可以取任意不等于1的数，例如2。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础知识点，难度较低，只需掌握“分式分母不为0”的规则即可快速解答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。对于给定的分式$\dfrac{5}{x-1}$，其分母是$x-1$，因此只需保证分母$x-1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$，所以只要写出一个不等于1的$x$的值即可。
【解析】
根据分式有意义的条件，分母不为0，可得$x - 1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$，因此$x$可以取任意不等于1的数，例如2。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础知识点，难度较低，只需掌握“分式分母不为0”的规则即可快速解答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.9
13.某校100名学生参加安全知识竞赛，将得分情况分为五组，第一组到第四组的频数分别为5,8,32,35，则第五组的频率是
0.2
。答案
13.0.2
解析
【分析】首先明确频率的计算公式：频率=频数÷数据总数，且所有组的频数之和等于数据总数。解题时需先求出第五组的频数，再代入公式计算频率即可。
【解析】总人数为100，前四组频数分别为5、8、32、35，因此第五组的频数为：100 - 5 - 8 - 32 - 35 = 20。根据频率公式，第五组的频率为：20 ÷ 100 = 0.2。
【答案】0.2
【知识点】频数与频率、统计初步
【点评】本题是统计部分的基础题，核心考查频数与频率的基本关系，解题思路直接，只要牢记各组频数之和等于总数、频率的计算公式即可快速得出结果，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【解析】总人数为100，前四组频数分别为5、8、32、35，因此第五组的频数为：100 - 5 - 8 - 32 - 35 = 20。根据频率公式，第五组的频率为：20 ÷ 100 = 0.2。
【答案】0.2
【知识点】频数与频率、统计初步
【点评】本题是统计部分的基础题，核心考查频数与频率的基本关系，解题思路直接，只要牢记各组频数之和等于总数、频率的计算公式即可快速得出结果，属于易得分题。
【难度系数】0.9
14.小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完。当他读完一半页数时，发现接下来平均每天要多读6页才能按时读完。设该同学读前一半页数时，平均每天读$x$页，根据题意列出方程
$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
。答案
14.$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
解析
【分析】
要列出方程，需先梳理各部分的时间逻辑：首先明确《朝花夕拾》总页数144页，一半页数为72页；读前一半时每天读$x$页，因此前半部分用时为$\frac{72}{x}$天；后半部分每天需多读6页，即每天读$(x+6)$页，后半部分用时为$\frac{72}{x+6}$天；计划10天读完，说明前半部分用时加后半部分用时等于10天，据此可建立等量关系列方程。
【解析】
1. 计算前后半部分的页数：总页数144页，一半页数为$144÷2=72$页；
2. 计算前半部分用时：前半部分每天读$x$页，用时为$\frac{72}{x}$天；
3. 计算后半部分用时：后半部分每天读$(x+6)$页，用时为$\frac{72}{x+6}$天；
4. 根据总用时10天的等量关系，列方程：$\frac{72}{x}+\frac{72}{x+6}=10$。
【答案】
$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
【知识点】
分式方程的应用，列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准“总阅读时间为10天”的等量关系，分步骤计算各部分用时即可，难度较低，适合巩固列方程解应用题的基本方法。
【难度系数】
0.7
要列出方程，需先梳理各部分的时间逻辑：首先明确《朝花夕拾》总页数144页，一半页数为72页；读前一半时每天读$x$页，因此前半部分用时为$\frac{72}{x}$天；后半部分每天需多读6页，即每天读$(x+6)$页，后半部分用时为$\frac{72}{x+6}$天；计划10天读完，说明前半部分用时加后半部分用时等于10天，据此可建立等量关系列方程。
【解析】
1. 计算前后半部分的页数：总页数144页，一半页数为$144÷2=72$页；
2. 计算前半部分用时：前半部分每天读$x$页，用时为$\frac{72}{x}$天；
3. 计算后半部分用时：后半部分每天读$(x+6)$页，用时为$\frac{72}{x+6}$天；
4. 根据总用时10天的等量关系，列方程：$\frac{72}{x}+\frac{72}{x+6}=10$。
【答案】
$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
【知识点】
分式方程的应用，列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准“总阅读时间为10天”的等量关系，分步骤计算各部分用时即可，难度较低，适合巩固列方程解应用题的基本方法。
【难度系数】
0.7
15.已知$a-b=\dfrac{5}{3},ab=2$,则$(5-3a)(5+3b)$的值为________。
答案
15.$-18$ 【解析】因为$a-b=\dfrac{5}{3},ab=2$,所以$(5-3a)(5+3b)=25+15b-15a-9ab=25-15(a-b)-9ab=25-15×\dfrac{5}{3}-9×2=25-25-18=-18$。
解析
【分析】
本题要求代数式$(5-3a)(5+3b)$的值，已知$a-b$和$ab$的具体数值，解题思路是先将所求代数式展开，再通过提取公因式变形为含有$(a-b)$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
对代数式$(5-3a)(5+3b)$进行整式乘法展开并整理：
$\begin{aligned}(5-3a)(5+3b)&=25 + 15b - 15a - 9ab\\&=25 - 15(a - b) - 9ab\end{aligned}$
将已知条件$a-b=\dfrac{5}{3}$、$ab=2$代入变形后的式子：
$\begin{aligned}原式&=25 - 15×\dfrac{5}{3} - 9×2\\&=25 - 25 - 18\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
-18
【知识点】
整式乘法、代数式求值
【点评】
本题考查整式的乘法运算与代数式的整体代入求值，核心是对所求式子进行合理变形，转化为已知条件的形式以简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式$(5-3a)(5+3b)$的值，已知$a-b$和$ab$的具体数值，解题思路是先将所求代数式展开，再通过提取公因式变形为含有$(a-b)$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
对代数式$(5-3a)(5+3b)$进行整式乘法展开并整理：
$\begin{aligned}(5-3a)(5+3b)&=25 + 15b - 15a - 9ab\\&=25 - 15(a - b) - 9ab\end{aligned}$
将已知条件$a-b=\dfrac{5}{3}$、$ab=2$代入变形后的式子：
$\begin{aligned}原式&=25 - 15×\dfrac{5}{3} - 9×2\\&=25 - 25 - 18\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
-18
【知识点】
整式乘法、代数式求值
【点评】
本题考查整式的乘法运算与代数式的整体代入求值，核心是对所求式子进行合理变形，转化为已知条件的形式以简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
16. 如图1,将一条两边互相平行的纸带先沿EF折叠,再沿AF折叠得图2。设$∠ BEC'=x°$,则$∠ EFD''=\underline{\hspace{2em}}°$(用含$x$的代数式表示)。
答案
16.$(\dfrac{3x}{2}-90)$ 【解析】如图。由平行线性质可得$∠EFA=∠CEF$。由折叠性质可得$∠C'EF=∠CEF=(\dfrac{180-x}{2})°=(90-\dfrac{x}{2})°$,所以$∠EFA=(90-\dfrac{x}{2})°$。因为$AD// BC,EC'// FD'$,所以$∠AFD'=∠AOC'=∠BEC'=x°$。由折叠性质可得$∠AFD''=∠AFD'=x°$,所以$∠EFD''=x°-(90-\dfrac{x}{2})°=(\dfrac{3x}{2}-90)°$。
解析
【分析】
本题是利用平行线性质和折叠性质求解角度的问题，解题思路为：先根据平行线的内错角相等得到角的关系，再结合折叠前后对应角相等的性质，逐步推导各角的度数，最终用含x的代数式表示出目标角∠EFD''。
【解析】
解：
∵ 纸带两边互相平行，即AD//BC，
∴ ∠CEF + ∠C'EF + ∠BEC' = 180°（平角定义），
由折叠性质可知，∠C'EF = ∠CEF，
又
∵ ∠BEC' = x°，
∴ ∠CEF = (180° - x°)/2 = (90 - x/2)°，
∵ AD//BC，
∴ ∠EFA = ∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFA = (90 - x/2)°，
∵ EC'//FD'，AD//BC，
∴ ∠AFD' = ∠BEC' = x°（两直线平行，同位角相等），
由折叠性质可知，∠AFD'' = ∠AFD' = x°，
∴ ∠EFD'' = ∠AFD'' - ∠EFA = x° - (90 - x/2)° = (3x/2 - 90)°。
【答案】
(3x/2 - 90)°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，核心是利用折叠前后对应角相等、平行线的内错角/同位角相等的关系推导角度，需理清折叠前后的角的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是利用平行线性质和折叠性质求解角度的问题，解题思路为：先根据平行线的内错角相等得到角的关系，再结合折叠前后对应角相等的性质，逐步推导各角的度数，最终用含x的代数式表示出目标角∠EFD''。
【解析】
解：
∵ 纸带两边互相平行，即AD//BC，
∴ ∠CEF + ∠C'EF + ∠BEC' = 180°（平角定义），
由折叠性质可知，∠C'EF = ∠CEF，
又
∵ ∠BEC' = x°，
∴ ∠CEF = (180° - x°)/2 = (90 - x/2)°，
∵ AD//BC，
∴ ∠EFA = ∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFA = (90 - x/2)°，
∵ EC'//FD'，AD//BC，
∴ ∠AFD' = ∠BEC' = x°（两直线平行，同位角相等），
由折叠性质可知，∠AFD'' = ∠AFD' = x°，
∴ ∠EFD'' = ∠AFD'' - ∠EFA = x° - (90 - x/2)° = (3x/2 - 90)°。
【答案】
(3x/2 - 90)°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，核心是利用折叠前后对应角相等、平行线的内错角/同位角相等的关系推导角度，需理清折叠前后的角的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
