8. 下表是当$x$取不同值时对应的整式$ax+3b$的值,小明不小心打翻了墨水在纸上,导致表格部分数据看不见,则$a,b$的值分别为（）


A.$a=-2,b=-1$
B.$a=2,b=-1$
C.$a=-2,b=1$
D.$a=2,b=1$

8.C

【分析】要确定$a$、$b$的值，需利用表格中$x$与整式$ax+3b$的对应关系，选取两组明确的$x$和对应整式的值，代入整式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$。
【解析】根据表格，当$x=1$时，$ax+3b=1$，可得方程：
$a + 3b = 1$ ①
当$x=2$时，$ax+3b=-1$，可得方程：
$2a + 3b = -1$ ②
用②减去①消去$3b$：
$(2a + 3b) - (a + 3b) = -1 - 1$
化简得：$a = -2$
把$a=-2$代入①式：
$-2 + 3b = 1$
解得：$b=1$
因此$a=-2$，$b=1$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组、代数式求值
【点评】本题通过表格提供整式的对应值，考查二元一次方程组的应用，核心是利用对应值建立方程，计算过程基础，难度适中。
【难度系数】0.6

9. 如图,已知直线$AB// CD$,E,F分别是AB,CD上的点,点H在直线AB的上方,$∠CFG:∠CFH=1:3$,EB平分$∠HEG$,当$∠G - ∠H=80°$时,$∠CFG$的度数为 ()

A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$

9.D 【解析】如图,过点H作HQ//AB,过点G作GK//CD,设∠CFG=α,∠HEB=β。因为∠CFG:∠CFH=1:3,AB//CD,所以∠CFH=3α,∠HEB=∠BEG=β,QH//AB//GK//CD。所以∠QHF=180°-3α,∠QHE=∠HEB=β,∠KGF=∠CFG=α,∠EGK=180°-β。所以∠EGF=180°-β+α,∠EHF=180°-3α-β。因为∠EGF - ∠EHF=80°,所以180°-β+α-180°+3α+β=80°。所以α=∠CFG=20°。故选D。

【分析】
本题是平行线中的角度计算问题，已知AB//CD，结合角的比例关系、角平分线性质及∠G与∠H的差求∠CFG的度数。解题思路：通过作辅助线将折线角转化为与平行线相关的角，利用平行线的传递性、同旁内角互补/内错角相等的性质，设未知数建立方程，结合已知角度差求解。
【解析】
设∠CFG=α，∠HEB=β。
1. 由∠CFG:∠CFH=1:3，得∠CFH=3α；EB平分∠HEG，故∠BEG=∠HEB=β。
2. 作辅助线：过H作HQ//AB，过G作GK//CD。因为AB//CD，所以HQ//AB//GK//CD。
3. 根据平行线性质：
∠QHF与∠CFH是同旁内角，故∠QHF=180°-∠CFH=180°-3α；
∠QHE与∠HEB是内错角，故∠QHE=∠HEB=β，因此∠EHF=∠QHF - ∠QHE=180°-3α - β；
∠KGF与∠CFG是内错角，故∠KGF=∠CFG=α；
∠EGK与∠BEG是同旁内角，故∠EGK=180°-∠BEG=180°-β，因此∠EGF=∠EGK + ∠KGF=180°-β + α。
4. 已知∠G - ∠H=80°，即∠EGF - ∠EHF=80°，代入得：
(180°-β + α) - (180°-3α - β)=80°，
化简得4α=80°，解得α=20°，即∠CFG=20°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题通过构造辅助线将复杂的折线角度转化为可计算的平行线相关角，核心考查平行线的性质与方程思想，需要学生掌握辅助线的构造方法，难度适中。
【难度系数】
0.5

10.一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式$2x^2+px+c$,$-x^2+qx+c$(其中$p,q,c$均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如表所示:

(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c=2b$时,$p-q=3$;②当$\frac{p}{q}=3$时,$5a=4b$;③当$a^2+b^2=2$时,$p^2=8+4c$;④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,$p^2=8+4c$。以上结论中,正确的是 ()

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

10.A 【解析】因为$2x^2+px+c=2(x+a)(x+b)=2x^2+2(a+b)x+2ab$,所以$p=2a+2b,c=2ab$。又$-x^2+qx+c=(x+a)(-x+2b)=-x^2+(2b-a)x+2ab$,所以$q=2b-a,c=2ab$。①当$c=2b$时,代入代数式得$a=1$,此时$p=2+2b,q=2b-1$,则$p-q=3$,故①正确。②当$\frac{p}{q}=3$时,由$p=2a+2b$和$q=2b-a$,得$5a=4b$,故②正确。③当$a^2+b^2=2$时,$p^2=(2a+2b)^2=4a^2+8ab+4b^2$,得$p^2=8+4c$,故③正确。④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,$a=\frac{b}{2}$,则$p=3b,c=b^2$,得$p^2=9b^2=9c$,故④错误。综上所述,正确的是①②③。故选A。

【分析】
本题的解题思路是：首先根据因式分解的结果，利用多项式乘法法则将因式分解后的式子展开，通过对应项系数相等，推导出p、q、c与a、b的关系；再针对每个结论，将已知条件代入上述关系，进行代数运算，逐一判断结论的正确性，最终确定正确选项。
【解析】
1. 推导p、q、c与a、b的关系：
对$2(x+a)(x+b)$展开：$2(x+a)(x+b)=2(x^2 + (a+b)x + ab)=2x^2 + 2(a+b)x + 2ab$，与$2x^2+px+c$对比，得$p=2a+2b$，$c=2ab$。
对$(x+a)(-x+2b)$展开：$(x+a)(-x+2b)=-x^2 + (2b - a)x + 2ab$，与$-x^2+qx+c$对比，得$q=2b - a$，$c=2ab$。
2. 逐一验证结论：
①当$c=2b$时：由$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，两边除以$2b$得$a=1$。此时$p=2×1 + 2b=2+2b$，$q=2b -1$，则$p-q=(2+2b)-(2b-1)=3$，故①正确。
②当$\frac{p}{q}=3$时：即$p=3q$，代入$p=2a+2b$、$q=2b -a$，得$2a+2b=3(2b -a)$，展开得$2a+2b=6b-3a$，移项合并得$5a=4b$，故②正确。
③当$a^2+b^2=2$时：$p=(2a+2b)^2=4a^2+8ab+4b^2=4(a^2+b^2)+8ab$，代入$a^2+b^2=2$和$c=2ab$，得$p^2=4×2 +4c=8+4c$，故③正确。
④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时：即$a=\frac{1}{2}b$，代入$p=2a+2b=2×\frac{1}{2}b +2b=3b$，$c=2ab=2×\frac{1}{2}b×b=b^2$，则$p^2=(3b)^2=9b^2$，而$8+4c=8+4b^2$，显然$9b^2≠8+4b^2$，故④错误。
综上，正确的是①②③，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、多项式乘法、代数式求值
【点评】
本题结合因式分解与多项式乘法的对应关系，考查代数式的运算与判断，关键是准确推导系数关系，运算时需注意符号和等式变形，整体属于中等难度的代数综合题。
【难度系数】
0.5

11. 因式分解：$a - a^2 = \_\_\_\_\_\_$。

11.$a(1-a)$

【分析】观察多项式$a - a^2$，两项均含有公因式$a$，因式分解的核心步骤是提取公因式，将公因式$a$提取后，剩余部分为$1 - a$，即可完成分解。
【解析】对$a - a^2$提取公因式$a$：
$a - a^2 = a · 1 - a · a = a(1 - a)$
【答案】$a(1 - a)$
【知识点】因式分解（提取公因式法）
【点评】本题是基础因式分解题，考查提取公因式法的应用，属于因式分解的入门题型，难度低，适合巩固基础。
【难度系数】0.9

12. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为。

12.4

【分析】首先明确频数的定义：频数是指某个对象出现的次数。解题时先写出“DeepSeek”的所有字母，再逐一统计字母“e”出现的次数即可。
【解析】“DeepSeek”的字母依次为：D、e、e、p、S、e、e、k，其中字母“e”共出现4次，因此其频数为4。
【答案】4
【知识点】频数的概念
【点评】本题考查频数的基本概念，属于基础题，只需准确统计指定字母的出现次数即可，难度较低。
【难度系数】0.9

13. 若关于$ x $的分式方程$\frac{1}{x - 3} + \frac{x - 2}{3 - x} = 2$有增根，则增根是________。

13.$x=3$

【分析】首先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根。解题时先找出原分式方程的所有分母，令分母为0得到可能的增根，再结合增根的产生逻辑，即可确定该方程的增根。
【解析】原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$。根据增根的定义，使分式方程分母为0的根就是增根，因此该方程的增根为$x=3$。
【答案】$x=3$
【知识点】分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程增根的基本概念，属于分式方程的基础题型，只要掌握增根的定义即可快速解答。
【难度系数】0.6

14.一个长、宽分别为a,b的长方形的周长为20,面积为24,则$a^2b+ab^2$的值为。

14.240

【分析】
要解决这个问题，需先利用长方形的周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值，再对所求代数式因式分解，通过整体代入法计算结果。具体思路：1. 根据周长公式算出$a+b$；2. 根据面积公式得到$ab$；3. 将所求式子因式分解为含$a+b$和$ab$的形式，代入数值即可得解。
【解析】
解：根据长方形周长公式：$2(a+b)=20$，解得$a+b=10$；
根据长方形面积公式：$ab=24$；
对$a^2b + ab^2$因式分解得：$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$；
将$a+b=10$、$ab=24$代入得：$24×10=240$。
【答案】
240
【知识点】
因式分解的应用、代数式求值、长方形的周长与面积
【点评】
本题通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的组合形式，运用整体代入法简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐，是代数求值类题目中常用的技巧，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6

15. 如图,两面镜子AB,BC的夹角为α,一束与AB平行的光经过两次镜面反射后,与原光的夹角为β。若β=32°,则α的度数为°。

15.74 【解析】如图,与AB平行的光GD经过第一次镜面反射后得到线段DF,经过第二次镜面反射后得到射线FH,交GD于点E。因为经过两次镜面反射后,与原光的夹角为β=32°,所以β=∠GEH=32°。因为AB与光GD平行,所以β=∠GEH=∠AFH=32°,∠B=∠GDC=α,∠DFB=∠GDF。由镜面反射可得∠DFB=∠AFH=β=32°,∠FDB=∠GDC=α,因为∠GDF+∠FDB+∠GDC=180°,所以32°+α+α=180°,解得α=74°。

【分析】
要解决这道题，需结合镜面反射的性质（反射角等于入射角）和平行线的性质，通过分析角之间的关系建立等式。首先明确：入射光线与AB平行，两次反射后形成的夹角为β，利用反射时角的相等关系，结合平行线的同位角相等，找到α与β的联系，再根据平角为180°的性质列方程求解。
【解析】
如图，设入射光线平行于AB，经过AB反射后得到反射光线，再经BC反射后，与原入射光线的夹角β=32°。
根据镜面反射的性质，反射角等于入射角，因此对应的反射角与入射角相等；又因为入射光线与AB平行，由平行线的同位角相等可得∠AFH=β=32°，结合反射性质可知∠DFB=∠AFH=32°，且∠FDB=∠GDC=α。
观察平角关系，在直线BC处，∠DFB + α + ∠FDB = 180°，代入已知角的度数：
32° + α + α = 180°
整理得：2α = 180° - 32° = 148°
解得：α = 74°
【答案】
74
【知识点】
镜面反射性质、平行线性质、平角定义
【点评】
本题将镜面反射的几何性质与平行线、平角的知识点结合，需要理清反射前后角的等量关系，通过建立方程求解，考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5

16.为了激发学生的数学兴趣,某学校七年级举办了 (第15题)
“数学挑战”大赛,现有小吴、小兴、小奕三名同学进入了最后冠军的角逐,决赛共分为六轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(没有并列),对应名次的得分都分别为$a,b,c(a＞b＞c$且$a,b,c$均为正整数)。选手的最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况(单位为分,$m$为正整数)。根据题中所给信息,$m=$,小奕同学第六轮的得分为分。

16.2 2 【解析】根据题意得,$6(a+b+c)=30+m+12+12-m$,所以$a+b+c=9$。若$a=5$,则$6a=30＜30+m$,所以$a＞5$。由条件可知$b+c$的最小值为3,所以$a=6,b=2,c=1$。由条件可知小兴同学剩下4轮的总分数为$12-6-2=4$(分),所以4次第三。因为小吴同学最后得分为30+m,所以小吴同学得5次第一,1次第二,即第三轮得第二。所以$30+m=5×6+2$,解得$m=2$。所以小奕同学第六轮的得分为2分。

【分析】首先，根据三名选手的最后得分之和，结合六轮比赛的总得分等于6倍的每轮得分和，算出每轮得分总和；再利用a、b、c是正整数且a＞b＞c的条件，确定a、b、c的取值；接着通过小兴的得分情况验证取值，再结合小吴的得分求出m的值，最后推理出小奕第六轮的得分。
【解析】1. 计算六轮总得分：三名选手最后得分之和为$(30+m)+12+(12-m)=54$，因为每轮得分和为$a+b+c$，共6轮，所以$6(a+b+c)=54$，解得$a+b+c=9$。
2. 确定a、b、c的取值：由于a＞b＞c且均为正整数，b+c最小为$1+2=3$，因此$a=9-(b+c)$。又因为小吴得分最高（$30+m$），且小吴有2次得a，若$a=5$，则$b+c=4$，此时小吴最多得$5×5+...$无法达到30+m，故$a＞5$，取$a=6$，则$b+c=9-6=3$，结合$b＞c$得$b=2$，$c=1$。
3. 验证小兴的得分：小兴有1次得a=6、1次得b=2，这两轮得分和为$6+2=8$，剩下4轮得分总和为$12-8=4$，刚好对应4次得c=1，符合条件。
4. 求m的值：小吴总得分$30+m$，结合a=6，小吴有5次得a、1次得b，总得分$5×6+2=32$，故$30+m=32$，解得$m=2$。
5. 求小奕第六轮得分：小奕总得分$12-m=10$，小奕有1次得c=1、1次得b=2，剩下4轮得分总和为$10-1-2=7$，结合每轮得分只能是1、2、6，可知剩下4轮得分是3个2和1个1，因此小奕第六轮得2分。
【答案】2；2
【知识点】整式运算、逻辑推理、一元一次方程应用
【点评】本题通过总得分关系推理出每轮得分的取值，再结合选手得分情况求解，考查了代数运算和逻辑推理能力，需要逐步分析条件确定未知量。
【难度系数】0.3