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一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
答案
解：
1. 根据二次根式定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式
A：被开方数$-3＜0$，不符合要求
B：根指数为3，属于三次根式，不符合要求
C：$a＜0$，被开方数小于0，不符合要求
D：$\sqrt{5}$符合二次根式定义
答案：D
2. 二次根式有意义的条件为被开方数非负
得$x-2≥0$，解得$x≥2$
答案：A
3. 勾股数定义为满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数
A：$1^2+2^2=5≠3^2$，不符合要求
B：三个数均不是正整数，不符合要求
C：$5^2+12^2=13^2$，三个数均为正整数，符合要求
D：$2^2+3^2=13≠4^2$，不符合要求
答案：C
4. 最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式
A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开尽方的因数4，不符合要求
B：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开尽方的因数4，不符合要求
C：$\sqrt{15}$符合最简二次根式要求
D：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不符合要求
答案：C
5.
A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误
B：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，计算错误
C：$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确
D：$\sqrt{4}÷\sqrt{2}=\sqrt{4÷2}=\sqrt{2}≠2$，计算错误
答案：C
6. 设斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2=3^2+4^2=25$，$c＞0$，故$c=5$
答案：A
7. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$
答案：B
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+3^2=13$，$AB＞0$，故$AB=\sqrt{13}$
答案：B
9. $\sqrt{12n}=\sqrt{4×3n}=2\sqrt{3n}$，若该式为正整数，则$\sqrt{3n}$为正整数，即$3n$是完全平方数，$n$的最小正整数值为3
答案：C
10. 分两种情况：
① 当3和4均为直角边时，第三边长的平方为$3^2+4^2=25$
② 当4为斜边，3为直角边时，第三边长的平方为$4^2-3^2=7$
故第三边长的平方为25或7
答案：C
1. 根据二次根式定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式
A：被开方数$-3＜0$，不符合要求
B：根指数为3，属于三次根式，不符合要求
C：$a＜0$，被开方数小于0，不符合要求
D：$\sqrt{5}$符合二次根式定义
答案：D
2. 二次根式有意义的条件为被开方数非负
得$x-2≥0$，解得$x≥2$
答案：A
3. 勾股数定义为满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数
A：$1^2+2^2=5≠3^2$，不符合要求
B：三个数均不是正整数，不符合要求
C：$5^2+12^2=13^2$，三个数均为正整数，符合要求
D：$2^2+3^2=13≠4^2$，不符合要求
答案：C
4. 最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式
A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开尽方的因数4，不符合要求
B：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开尽方的因数4，不符合要求
C：$\sqrt{15}$符合最简二次根式要求
D：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不符合要求
答案：C
5.
A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误
B：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，计算错误
C：$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确
D：$\sqrt{4}÷\sqrt{2}=\sqrt{4÷2}=\sqrt{2}≠2$，计算错误
答案：C
6. 设斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2=3^2+4^2=25$，$c＞0$，故$c=5$
答案：A
7. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$
答案：B
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+3^2=13$，$AB＞0$，故$AB=\sqrt{13}$
答案：B
9. $\sqrt{12n}=\sqrt{4×3n}=2\sqrt{3n}$，若该式为正整数，则$\sqrt{3n}$为正整数，即$3n$是完全平方数，$n$的最小正整数值为3
答案：C
10. 分两种情况：
① 当3和4均为直角边时，第三边长的平方为$3^2+4^2=25$
② 当4为斜边，3为直角边时，第三边长的平方为$4^2-3^2=7$
故第三边长的平方为25或7
答案：C
解析
【分析】本题为初中数学基础选择题，涵盖二次根式相关概念（定义、有意义条件、最简形式、运算）及勾股定理、勾股数的应用。解题思路为：针对每道题，回忆对应知识点，逐一分析选项，排除不符合定义或法则的选项，得出正确答案。例如判断二次根式需满足根指数为2、被开方数非负；勾股数需为正整数且满足勾股定理；二次根式运算需遵循同类二次根式合并、乘除法则；勾股定理应用需注意斜边与直角边的分类讨论。
【解析】1. 根据二次根式定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫二次根式。A选项被开方数$-3＜0$，不符合；B选项根指数为3，是三次根式，不符合；C选项$a＜0$时被开方数小于0，不符合；D选项$\sqrt{5}$符合定义，故选D。
2. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故$x-2≥0$，解得$x≥2$，选A。
3. 勾股数是满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数。A选项$1^2+2^2=5≠3^2$，不符合；B选项非正整数，不符合；C选项$5^2+12^2=13^2$，均为正整数，符合；D选项$2^2+3^2=13≠4^2$，不符合，选C。
4. 最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。A选项$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，含能开尽方的因数4，不符合；B选项$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，含能开尽方的因数4，不符合；C选项$\sqrt{15}$符合要求；D选项$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，含分母，不符合，选C。
5. A选项$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，错误；B选项$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，错误；C选项$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，正确；D选项$\sqrt{4}÷\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，错误，选C。
6. 设斜边长为$c$，由勾股定理$c^2=3^2+4^2=25$，$c＞0$，故$c=5$，选A。
7. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，选B。
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+3^2=13$，$AB＞0$，故$AB=\sqrt{13}$，选B。
9. $\sqrt{12n}=\sqrt{4×3n}=2\sqrt{3n}$，若为正整数，则$\sqrt{3n}$为正整数，即$3n$是完全平方数，最小正整数$n=3$，选C。
10. 分两种情况：①3和4为直角边时，第三边平方为$3^2+4^2=25$；②4为斜边、3为直角边时，第三边平方为$4^2-3^2=7$，故第三边平方为25或7，选C。
【答案】1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.C
【知识点】二次根式的定义、勾股定理、最简二次根式
【点评】本题为初中数学八年级下册基础练习题，全面考察二次根式与勾股定理的核心知识点，题目难度适中，侧重基础概念的理解与应用，适合巩固相关知识。
【难度系数】0.7
【解析】1. 根据二次根式定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫二次根式。A选项被开方数$-3＜0$，不符合；B选项根指数为3，是三次根式，不符合；C选项$a＜0$时被开方数小于0，不符合；D选项$\sqrt{5}$符合定义，故选D。
2. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故$x-2≥0$，解得$x≥2$，选A。
3. 勾股数是满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数。A选项$1^2+2^2=5≠3^2$，不符合；B选项非正整数，不符合；C选项$5^2+12^2=13^2$，均为正整数，符合；D选项$2^2+3^2=13≠4^2$，不符合，选C。
4. 最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。A选项$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，含能开尽方的因数4，不符合；B选项$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，含能开尽方的因数4，不符合；C选项$\sqrt{15}$符合要求；D选项$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，含分母，不符合，选C。
5. A选项$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，错误；B选项$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，错误；C选项$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，正确；D选项$\sqrt{4}÷\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，错误，选C。
6. 设斜边长为$c$，由勾股定理$c^2=3^2+4^2=25$，$c＞0$，故$c=5$，选A。
7. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，选B。
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+3^2=13$，$AB＞0$，故$AB=\sqrt{13}$，选B。
9. $\sqrt{12n}=\sqrt{4×3n}=2\sqrt{3n}$，若为正整数，则$\sqrt{3n}$为正整数，即$3n$是完全平方数，最小正整数$n=3$，选C。
10. 分两种情况：①3和4为直角边时，第三边平方为$3^2+4^2=25$；②4为斜边、3为直角边时，第三边平方为$4^2-3^2=7$，故第三边平方为25或7，选C。
【答案】1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.C
【知识点】二次根式的定义、勾股定理、最简二次根式
【点评】本题为初中数学八年级下册基础练习题，全面考察二次根式与勾股定理的核心知识点，题目难度适中，侧重基础概念的理解与应用，适合巩固相关知识。
【难度系数】0.7
1. 下列是二次根式的是(
A.$\sqrt{-1}$
B.$\sqrt{a}$
C.$\sqrt{a+1}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$
D
).A.$\sqrt{-1}$
B.$\sqrt{a}$
C.$\sqrt{a+1}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$
答案
【点拨】本题考查二次根式的定义,解题的关键是熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
【解析】A. $\sqrt{-1}$的被开方数-1 ＜ 0,故A不符合题意;B.$\sqrt{a}$的被开方数a有可能为负数,故B不符合题意;C. $\sqrt{a+1}$的被开方数a+1有可能为负数,故C不符合题意;D. $\sqrt{a^2+1}$的被开方数$a^2+1$为正数,故D符合题意. 故选D.
【解析】A. $\sqrt{-1}$的被开方数-1 ＜ 0,故A不符合题意;B.$\sqrt{a}$的被开方数a有可能为负数,故B不符合题意;C. $\sqrt{a+1}$的被开方数a+1有可能为负数,故C不符合题意;D. $\sqrt{a^2+1}$的被开方数$a^2+1$为正数,故D符合题意. 故选D.
解析
【分析】
要判断一个式子是否为二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{x}$，且被开方数$x$必须是非负数（即$x≥0$）。接下来逐一分析各选项的被开方数是否满足非负条件，即可得出答案。
【解析】
根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{-1}$的被开方数是$-1$，$-1＜0$，不满足非负，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{a}$的被开方数是$a$，当$a＜0$时不满足非负，不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{a+1}$的被开方数是$a+1$，当$a＜-1$时，$a+1＜0$，不满足非负，不一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{a^2+1}$中，因为任何数的平方为非负数，所以$a^2≥0$，则$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正数，满足非负，是二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的基础概念，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，属于概念辨析类基础题，需准确判断每个选项的被开方数是否满足条件。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是否为二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{x}$，且被开方数$x$必须是非负数（即$x≥0$）。接下来逐一分析各选项的被开方数是否满足非负条件，即可得出答案。
【解析】
根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{-1}$的被开方数是$-1$，$-1＜0$，不满足非负，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{a}$的被开方数是$a$，当$a＜0$时不满足非负，不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{a+1}$的被开方数是$a+1$，当$a＜-1$时，$a+1＜0$，不满足非负，不一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{a^2+1}$中，因为任何数的平方为非负数，所以$a^2≥0$，则$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正数，满足非负，是二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的基础概念，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，属于概念辨析类基础题，需准确判断每个选项的被开方数是否满足条件。
【难度系数】
0.8
2. 式子$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x ＞ 1$
B.$x ≥ 1$
C.$x ＜ 1$
D.$x ≤ 1$
B
).A.$x ＞ 1$
B.$x ≥ 1$
C.$x ＜ 1$
D.$x ≤ 1$
答案
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
【解析】根据二次根式有意义的条件是被开方数$x-1≥0$,得到$x≥1$.故选B.
【解析】根据二次根式有意义的条件是被开方数$x-1≥0$,得到$x≥1$.故选B.
解析
【分析】
要确定使$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义的$x$的取值范围，需先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{x - 1}$，有：
$x - 1 ≥ 0$
解这个不等式得：$x ≥ 1$
所以$x$的取值范围是$x ≥ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的基本性质，解题关键是牢记“被开方数非负”的规则，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要确定使$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义的$x$的取值范围，需先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{x - 1}$，有：
$x - 1 ≥ 0$
解这个不等式得：$x ≥ 1$
所以$x$的取值范围是$x ≥ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的基本性质，解题关键是牢记“被开方数非负”的规则，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
3. 下列二次根式中,最简二次根式是(
A.$\sqrt{22}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}}$
C.$\sqrt{54}$
D.$\sqrt{0.4}$
A
).A.$\sqrt{22}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}}$
C.$\sqrt{54}$
D.$\sqrt{0.4}$
答案
【点拨】本题考查最简二次根式的定义,解题的关键是熟知最简二次根式被开方数不含分母且不能开得尽方的因数或因式.
【解析】A.$\sqrt{22}$是最简二次根式,符合题意;B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$,不是最简二次根式,不符合题意;C.$\sqrt{54}=\sqrt{6×9}=3\sqrt{6}$,不是最简二次根式,不符合题意;D.$\sqrt{0.4}=\sqrt{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$,不是最简二次根式,不符合题意. 故选A.
【解析】A.$\sqrt{22}$是最简二次根式,符合题意;B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$,不是最简二次根式,不符合题意;C.$\sqrt{54}=\sqrt{6×9}=3\sqrt{6}$,不是最简二次根式,不符合题意;D.$\sqrt{0.4}=\sqrt{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$,不是最简二次根式,不符合题意. 故选A.
解析
【分析】首先明确最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式为最简二次根式。接下来逐一分析选项：A选项$\sqrt{22}$的被开方数22无分母，且其因数均不能开得尽方，符合定义；B选项被开方数含分母，不符合；C选项被开方数含能开得尽方的因数9，不符合；D选项被开方数可化为含分母的分数，不符合，据此可得出答案。
【解析】首先明确最简二次根式的判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。据此逐一判断：
A. $\sqrt{22}$：被开方数22不含分母，且22的因数2、11均不能开得尽方，符合最简二次根式定义；
B. $\sqrt{\dfrac{3}{5}}$：被开方数含分母，不符合，化简为$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{54}$：被开方数54中含能开得尽方的因数9，不符合，化简为$3\sqrt{6}$，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.4}$：被开方数化为分数为$\dfrac{2}{5}$，含分母，不符合，化简为$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，不是最简二次根式；
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】最简二次根式的定义
【点评】本题考查最简二次根式的判定，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，属于初中数学基础题型，通过逐一分析选项即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】首先明确最简二次根式的判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。据此逐一判断：
A. $\sqrt{22}$：被开方数22不含分母，且22的因数2、11均不能开得尽方，符合最简二次根式定义；
B. $\sqrt{\dfrac{3}{5}}$：被开方数含分母，不符合，化简为$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{54}$：被开方数54中含能开得尽方的因数9，不符合，化简为$3\sqrt{6}$，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.4}$：被开方数化为分数为$\dfrac{2}{5}$，含分母，不符合，化简为$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，不是最简二次根式；
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】最简二次根式的定义
【点评】本题考查最简二次根式的判定，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，属于初中数学基础题型，通过逐一分析选项即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.7
4. 下列各式运算正确的是(
A.$\sqrt{(-6)^2} = -6$
B.$(-\sqrt{3})^2 = 9$
C.$\sqrt{16} = \pm 4$
D.$-\sqrt{\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{3}{5}$
D
).A.$\sqrt{(-6)^2} = -6$
B.$(-\sqrt{3})^2 = 9$
C.$\sqrt{16} = \pm 4$
D.$-\sqrt{\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{3}{5}$
答案
【点拨】本题考查二次根式的化简,解题的关键是熟知二次根式化简的方法.
【解析】A.$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$,故A项错误;B.$(-\sqrt{3})^2=3$,故B项错误;C.$\sqrt{16}=4$,故C项错误;D.$-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$,故D项正确. 故选D.
【解析】A.$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$,故A项错误;B.$(-\sqrt{3})^2=3$,故B项错误;C.$\sqrt{16}=4$,故C项错误;D.$-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$,故D项正确. 故选D.
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，需结合二次根式的核心性质判断：①$\sqrt{a^2}=|a|$，结果为非负数；②$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，仅取非负根；③$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）。逐个分析选项，计算后判断对错即可。
【解析】
选项A：$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，结果应为非负数，不是$-6$，故A错误；
选项B：$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，不是$9$，故B错误；
选项C：$\sqrt{16}$是$16$的算术平方根，仅为$4$，不是$\pm4$，故C错误；
选项D：$-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$，计算正确，故D正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、算术平方根的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查算术平方根的非负性及二次根式化简规则，需注意区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆符号。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算，需结合二次根式的核心性质判断：①$\sqrt{a^2}=|a|$，结果为非负数；②$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，仅取非负根；③$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）。逐个分析选项，计算后判断对错即可。
【解析】
选项A：$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，结果应为非负数，不是$-6$，故A错误；
选项B：$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，不是$9$，故B错误；
选项C：$\sqrt{16}$是$16$的算术平方根，仅为$4$，不是$\pm4$，故C错误；
选项D：$-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$，计算正确，故D正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、算术平方根的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查算术平方根的非负性及二次根式化简规则，需注意区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆符号。
【难度系数】
0.7
5. $a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$ 的有理化因式是(
A.$\sqrt{x} + \sqrt{y}$
B.$\sqrt{x} - \sqrt{y}$
C.$a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$
D.$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$
C
).A.$\sqrt{x} + \sqrt{y}$
B.$\sqrt{x} - \sqrt{y}$
C.$a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$
D.$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$
答案
【点拨】本题考查有理化因式,解题的关键是熟知两个根式的积不含根号,那么这两个根式互为有理化因式.
【解析】$\because (a\sqrt{x}+b\sqrt{y})·(a\sqrt{x}-b\sqrt{y})=a^2x-b^2y$,$\therefore a\sqrt{x}+b\sqrt{y}$的有理化因式是$a\sqrt{x}-b\sqrt{y}$. 故选C.
【解析】$\because (a\sqrt{x}+b\sqrt{y})·(a\sqrt{x}-b\sqrt{y})=a^2x-b^2y$,$\therefore a\sqrt{x}+b\sqrt{y}$的有理化因式是$a\sqrt{x}-b\sqrt{y}$. 故选C.
解析
【分析】
要确定$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$的有理化因式，需依据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，则这两个根式互为有理化因式。可利用平方差公式构造式子，使乘积消去根号，据此逐一判断选项。
【解析】
根据有理化因式的定义，计算各选项与原式的乘积：
选项A：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = ax + a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy} + by$，结果仍含根号，不符合要求；
选项B：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = ax - a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy} - by$，结果含根号，不符合要求；
选项C：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(a\sqrt{x} - b\sqrt{y}) = (a\sqrt{x})^2 - (b\sqrt{y})^2 = a^2x - b^2y$，结果为整式，不含根号，符合要求；
选项D：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(a\sqrt{x} + b\sqrt{y}) = (a\sqrt{x} + b\sqrt{y})^2$，结果含根号，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理化因式、二次根式的乘法
【点评】
本题考查有理化因式的基本概念，核心是利用平方差公式构造乘积不含根号的式子，属于二次根式相关的基础题型，需牢记定义并能灵活应用平方差公式。
【难度系数】
0.6
要确定$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$的有理化因式，需依据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，则这两个根式互为有理化因式。可利用平方差公式构造式子，使乘积消去根号，据此逐一判断选项。
【解析】
根据有理化因式的定义，计算各选项与原式的乘积：
选项A：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = ax + a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy} + by$，结果仍含根号，不符合要求；
选项B：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = ax - a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy} - by$，结果含根号，不符合要求；
选项C：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(a\sqrt{x} - b\sqrt{y}) = (a\sqrt{x})^2 - (b\sqrt{y})^2 = a^2x - b^2y$，结果为整式，不含根号，符合要求；
选项D：$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(a\sqrt{x} + b\sqrt{y}) = (a\sqrt{x} + b\sqrt{y})^2$，结果含根号，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理化因式、二次根式的乘法
【点评】
本题考查有理化因式的基本概念，核心是利用平方差公式构造乘积不含根号的式子，属于二次根式相关的基础题型，需牢记定义并能灵活应用平方差公式。
【难度系数】
0.6
6. 下列各式计算正确的是(
A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=3$
D.$(2\sqrt{3})^{2}=12$
D
).A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=3$
D.$(2\sqrt{3})^{2}=12$
答案
【点拨】本题考查二次根式的运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则.
【解析】A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,故A错误;B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$,故B错误;C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3}$,故C错误;D.$(2\sqrt{3})^2=12$,故D正确. 故选D.
【解析】A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,故A错误;B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$,故B错误;C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3}$,故C错误;D.$(2\sqrt{3})^2=12$,故D正确. 故选D.
解析
【分析】本题为二次根式运算的正误判断题，解题思路是：针对每个选项，先确定其对应的二次根式运算类型（分母有理化、同类二次根式合并、二次根式除法、积的乘方），再运用对应运算法则计算，将计算结果与选项给出的结果对比，找出正确选项。
【解析】A选项：对$\frac{1}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，得$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{3}$，故A错误；B选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故B错误；C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}≠3$，故C错误；D选项：根据积的乘方法则，$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，故D正确。综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】二次根式的运算
【点评】本题考查二次根式的基础运算，涉及分母有理化、同类二次根式合并、二次根式除法、积的乘方等核心知识点，属于二次根式章节的基础题型，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】0.7
【解析】A选项：对$\frac{1}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，得$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{3}$，故A错误；B选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故B错误；C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}≠3$，故C错误；D选项：根据积的乘方法则，$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，故D正确。综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】二次根式的运算
【点评】本题考查二次根式的基础运算，涉及分母有理化、同类二次根式合并、二次根式除法、积的乘方等核心知识点，属于二次根式章节的基础题型，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】0.7
7. 如图,大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,则阴影部分的面积是(
A.6
B.8
C.12
D.24
C
).A.6
B.8
C.12
D.24
答案
【点拨】本题考查算术平方根,三角形和正方形的面积,解题的关键是熟练掌握正方形和三角形的面积公式.
【解析】$\because$ 大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,$\therefore AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$,$BE=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,$\therefore AE=AB-BE=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AE·4\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}AE·2\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×4\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8+4=12$. 故选C.
【解析】$\because$ 大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,$\therefore AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$,$BE=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,$\therefore AE=AB-BE=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AE·4\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}AE·2\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×4\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8+4=12$. 故选C.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先根据正方形面积公式求出大、小正方形的边长；再观察图形可知，阴影部分由△ACE和△ADE组成，这两个三角形有公共底AE，分别对应高为大、小正方形的边长，利用三角形面积公式分别计算两个三角形的面积，相加即可得到阴影部分总面积。
【解析】
已知大正方形面积为32，小正方形面积为8，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得：
大正方形边长$AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，小正方形边长$BE=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
则公共底$AE=AB - BE=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
阴影部分面积为$△ ACE$与$△ ADE$的面积和：
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × AE × AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=8$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × BE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$，
所以$S_{阴影}=8+4=12$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积、三角形面积、算术平方根
【点评】
本题结合正方形和三角形的面积公式，通过边长计算拆分阴影部分求解，核心是找到阴影部分的组成及对应底和高，属于基础几何计算题型。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，首先根据正方形面积公式求出大、小正方形的边长；再观察图形可知，阴影部分由△ACE和△ADE组成，这两个三角形有公共底AE，分别对应高为大、小正方形的边长，利用三角形面积公式分别计算两个三角形的面积，相加即可得到阴影部分总面积。
【解析】
已知大正方形面积为32，小正方形面积为8，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得：
大正方形边长$AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，小正方形边长$BE=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
则公共底$AE=AB - BE=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
阴影部分面积为$△ ACE$与$△ ADE$的面积和：
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × AE × AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=8$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × BE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$，
所以$S_{阴影}=8+4=12$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积、三角形面积、算术平方根
【点评】
本题结合正方形和三角形的面积公式，通过边长计算拆分阴影部分求解，核心是找到阴影部分的组成及对应底和高，属于基础几何计算题型。
【难度系数】
0.5
