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8. 化简二次根式$\sqrt{-27a^3}$的结果为(
A.$-3a\sqrt{3a}$
B.$3a\sqrt{-3a}$
C.$3a\sqrt{3a}$
D.$-3a\sqrt{-3a}$
D
).A.$-3a\sqrt{3a}$
B.$3a\sqrt{-3a}$
C.$3a\sqrt{3a}$
D.$-3a\sqrt{-3a}$
答案
【点拨】本题考查二次根式的化简,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简.
【解析】$\sqrt{-27a^3}=\sqrt{-3a(3a)^2}=3|a|\sqrt{-3a}$.$\because a≤0$,$\therefore 3|a|\sqrt{-3a}=-3a\sqrt{-3a}$. 故选D.
【解析】$\sqrt{-27a^3}=\sqrt{-3a(3a)^2}=3|a|\sqrt{-3a}$.$\because a≤0$,$\therefore 3|a|\sqrt{-3a}=-3a\sqrt{-3a}$. 故选D.
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需保证被开方数非负，据此确定字母的取值范围；再将被开方数分解为平方数与剩余因式的乘积，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$开方，结合字母的正负去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
1. 确定二次根式有意义的条件：被开方数$-27a^3≥0$，即$a^3≤0$，解得$a≤0$；
2. 分解被开方数：$\sqrt{-27a^3}=\sqrt{9×(-3a)× a^2}$；
3. 利用二次根式性质化简：$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{a^2}=|a|$，因$a≤0$，故$|a|=-a$，代入得：$3×(-a)×\sqrt{-3a}=-3a\sqrt{-3a}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质，易错点为忽略字母的正负性，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致符号错误，需先确定字母范围再化简。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式，首先需保证被开方数非负，据此确定字母的取值范围；再将被开方数分解为平方数与剩余因式的乘积，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$开方，结合字母的正负去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
1. 确定二次根式有意义的条件：被开方数$-27a^3≥0$，即$a^3≤0$，解得$a≤0$；
2. 分解被开方数：$\sqrt{-27a^3}=\sqrt{9×(-3a)× a^2}$；
3. 利用二次根式性质化简：$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{a^2}=|a|$，因$a≤0$，故$|a|=-a$，代入得：$3×(-a)×\sqrt{-3a}=-3a\sqrt{-3a}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质，易错点为忽略字母的正负性，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致符号错误，需先确定字母范围再化简。
【难度系数】
0.6
9. 已知$y = \sqrt{(x - 2)^2} - x + 3$，当$x$分别取$1,2,3,···,2025$时，所对应$y$值的总和是(
A.2 027
B.2 025
C.2 023
D.2 021
A
).A.2 027
B.2 025
C.2 023
D.2 021
答案
【点拨】本题考查二次根式的性质与化简,解题的关键是利用二次根式的性质进行化简.
【解析】$y=\sqrt{(x-2)^2}-x+3$化简为$y=|x-2|-x+3$,当$x＜2$时,$y=2-x-x+3=5-2x$,当$x=1$时,$y=5-2=3$,当$x≥2$时,$y=x-2-x+3=1$,$\therefore$ 对应$y$值的总和为$3+2024×1=2027$. 故选A.
【解析】$y=\sqrt{(x-2)^2}-x+3$化简为$y=|x-2|-x+3$,当$x＜2$时,$y=2-x-x+3=5-2x$,当$x=1$时,$y=5-2=3$,当$x≥2$时,$y=x-2-x+3=1$,$\therefore$ 对应$y$值的总和为$3+2024×1=2027$. 故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用二次根式的性质化简原式：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为含绝对值的式子；再根据绝对值内式子的正负性分情况讨论，确定不同$x$取值范围下$y$的表达式；最后代入$x$的具体值计算对应$y$，求和得到结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，化简原式得：
$y=\sqrt{(x-2)^2}-x+3=|x-2|-x+3$
分两种情况讨论：
1. 当$x＜2$时，即$x=1$时，$|x-2|=2-x$，代入得：
$y=2-x -x +3=5-2x$
当$x=1$时，$y=5-2×1=3$；
2. 当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，代入得：
$y=x-2 -x +3=1$
$x$从1到2025中，$x=1$对应$y=3$，$x=2$到$x=2025$共2024个值，每个对应的$y$均为1，因此所有$y$值的总和为：
$3 + 2024×1=2027$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质与化简、绝对值的化简、代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式的性质及绝对值的分段化简，需先利用$\sqrt{a^2}=|a|$简化原式，再根据$x$与2的大小关系分情况计算$y$，最后求和，属于基础题型，需注意绝对值化简的条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需利用二次根式的性质化简原式：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为含绝对值的式子；再根据绝对值内式子的正负性分情况讨论，确定不同$x$取值范围下$y$的表达式；最后代入$x$的具体值计算对应$y$，求和得到结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，化简原式得：
$y=\sqrt{(x-2)^2}-x+3=|x-2|-x+3$
分两种情况讨论：
1. 当$x＜2$时，即$x=1$时，$|x-2|=2-x$，代入得：
$y=2-x -x +3=5-2x$
当$x=1$时，$y=5-2×1=3$；
2. 当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，代入得：
$y=x-2 -x +3=1$
$x$从1到2025中，$x=1$对应$y=3$，$x=2$到$x=2025$共2024个值，每个对应的$y$均为1，因此所有$y$值的总和为：
$3 + 2024×1=2027$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质与化简、绝对值的化简、代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式的性质及绝对值的分段化简，需先利用$\sqrt{a^2}=|a|$简化原式，再根据$x$与2的大小关系分情况计算$y$，最后求和，属于基础题型，需注意绝对值化简的条件。
【难度系数】
0.6
10. 古希腊时期,有一天毕达哥拉斯走在街上,在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听,于是驻足倾听,他发现铁匠打铁的节奏很有规律,这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表示出来,后来人们将这个数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$称为黄金分割数. 设$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2},b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,记$S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b},S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2},S_3=\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3},···,S_{100}=\frac{1}{1+a^{100}}+\frac{1}{1+b^{100}}$,则$S_1 + S_2 + S_3 + ··· + S_{100}$的值为(
A.$100\sqrt{5}$
B.$200\sqrt{2}$
C.$100$
D.$5050$
C
).A.$100\sqrt{5}$
B.$200\sqrt{2}$
C.$100$
D.$5050$
答案
【点拨】本题考查二次根式的计算,解题的关键是熟练利用二次根式的性质找到数的规律.
【解析】$\because a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$b=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$,$\therefore ab=1$,$\therefore S_1=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b+ab}=\dfrac{2+a+b}{2+a+b}=1$,$S_2=\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{1+b^2+1+a^2}{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}=\dfrac{2+a^2+b^2}{2+a^2+b^2}=1$,$S_3=\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}=\dfrac{1+b^3+1+a^3}{(1+a^3)(1+b^3)}=\dfrac{2+a^3+b^3}{1+a^3+b^3+a^3b^3}=\dfrac{2+a^3+b^3}{2+a^3+b^3}=1$,$···$,$S_n=\dfrac{1}{1+a^n}+\dfrac{1}{1+b^n}=\dfrac{1+b^n+1+a^n}{(1+a^n)(1+b^n)}=\dfrac{2+a^n+b^n}{1+a^n+b^n+a^nb^n}=\dfrac{2+a^n+b^n}{2+a^n+b^n}=1$,$\therefore S_{100}=1$,$\therefore S_1+S_2+S_3+···+S_{100}=1+1+···+1=100$. 故选C.
【解析】$\because a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$b=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$,$\therefore ab=1$,$\therefore S_1=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b+ab}=\dfrac{2+a+b}{2+a+b}=1$,$S_2=\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{1+b^2+1+a^2}{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}=\dfrac{2+a^2+b^2}{2+a^2+b^2}=1$,$S_3=\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}=\dfrac{1+b^3+1+a^3}{(1+a^3)(1+b^3)}=\dfrac{2+a^3+b^3}{1+a^3+b^3+a^3b^3}=\dfrac{2+a^3+b^3}{2+a^3+b^3}=1$,$···$,$S_n=\dfrac{1}{1+a^n}+\dfrac{1}{1+b^n}=\dfrac{1+b^n+1+a^n}{(1+a^n)(1+b^n)}=\dfrac{2+a^n+b^n}{1+a^n+b^n+a^nb^n}=\dfrac{2+a^n+b^n}{2+a^n+b^n}=1$,$\therefore S_{100}=1$,$\therefore S_1+S_2+S_3+···+S_{100}=1+1+···+1=100$. 故选C.
解析
【分析】首先计算黄金分割数$a$和$b$的乘积，利用平方差公式可得$ab=1$；接着对$S_n$的表达式进行通分变形，结合$ab=1$的性质，可推导出每个$S_n$的值均为1；最后将$S_1$到$S_{100}$的和转化为100个1相加，即可得到结果。
【解析】已知$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，先计算$ab$：
$ab=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2×2}=\frac{5 - 1}{4}=1$。
对于任意$n$，计算$S_n=\frac{1}{1+a^n}+\frac{1}{1+b^n}$，通分可得：
$\begin{aligned}S_n&=\frac{(1+b^n)+(1+a^n)}{(1+a^n)(1+b^n)}\\&=\frac{2 + a^n + b^n}{1 + a^n + b^n + a^n b^n}\end{aligned}$
因为$ab=1$，所以$a^n b^n=(ab)^n=1^n=1$，代入分母得：分母$=1 + a^n + b^n +1=2 + a^n + b^n$，与分子相等，因此$S_n=\frac{2 + a^n + b^n}{2 + a^n + b^n}=1$。
由此可知，$S_1=S_2=S_3=···=S_{100}=1$，所以：
$S_1 + S_2 + ··· + S_{100}=1×100=100$。
【答案】C
【知识点】二次根式运算、代数规律探索
【点评】本题以黄金分割数为背景，通过代数变形推导每个$S_n$的定值，考查学生的代数运算能力和规律总结能力，解题关键在于利用$ab=1$的性质简化表达式。
【难度系数】0.5
【解析】已知$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，先计算$ab$：
$ab=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2×2}=\frac{5 - 1}{4}=1$。
对于任意$n$，计算$S_n=\frac{1}{1+a^n}+\frac{1}{1+b^n}$，通分可得：
$\begin{aligned}S_n&=\frac{(1+b^n)+(1+a^n)}{(1+a^n)(1+b^n)}\\&=\frac{2 + a^n + b^n}{1 + a^n + b^n + a^n b^n}\end{aligned}$
因为$ab=1$，所以$a^n b^n=(ab)^n=1^n=1$，代入分母得：分母$=1 + a^n + b^n +1=2 + a^n + b^n$，与分子相等，因此$S_n=\frac{2 + a^n + b^n}{2 + a^n + b^n}=1$。
由此可知，$S_1=S_2=S_3=···=S_{100}=1$，所以：
$S_1 + S_2 + ··· + S_{100}=1×100=100$。
【答案】C
【知识点】二次根式运算、代数规律探索
【点评】本题以黄金分割数为背景，通过代数变形推导每个$S_n$的定值，考查学生的代数运算能力和规律总结能力，解题关键在于利用$ab=1$的性质简化表达式。
【难度系数】0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
答案
解：
11. 二次根式有意义的条件为被开方数非负，
∴$x - 2 ≥ 0$，
解得$x ≥ 2$。
答案：$\boldsymbol{x≥2}$
12. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
13. 设斜边长为$c$，根据勾股定理：
$c^2=6^2+8^2=36+64=100$，
$\because c＞0$，$\therefore c=10$。
答案：$\boldsymbol{10}$
14. $\because 2=\sqrt{4}$，$\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，
$\therefore \sqrt{3}＜2$。
答案：$\boldsymbol{＜}$
15. $\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=2\sqrt{6n}$，
$\because \sqrt{24n}$是整数，$\therefore \sqrt{6n}$为整数，
正整数$n$的最小值为6。
答案：$\boldsymbol{6}$
16. 连接$CD$，
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形$CEDF$是矩形，
$\therefore EF=CD$，
当$CD⊥ AB$时，$CD$取得最小值，此时$EF$最小。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$，即$EF$的最小值为$\frac{12}{5}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
11. 二次根式有意义的条件为被开方数非负，
∴$x - 2 ≥ 0$，
解得$x ≥ 2$。
答案：$\boldsymbol{x≥2}$
12. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
13. 设斜边长为$c$，根据勾股定理：
$c^2=6^2+8^2=36+64=100$，
$\because c＞0$，$\therefore c=10$。
答案：$\boldsymbol{10}$
14. $\because 2=\sqrt{4}$，$\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，
$\therefore \sqrt{3}＜2$。
答案：$\boldsymbol{＜}$
15. $\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=2\sqrt{6n}$，
$\because \sqrt{24n}$是整数，$\therefore \sqrt{6n}$为整数，
正整数$n$的最小值为6。
答案：$\boldsymbol{6}$
16. 连接$CD$，
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形$CEDF$是矩形，
$\therefore EF=CD$，
当$CD⊥ AB$时，$CD$取得最小值，此时$EF$最小。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$，即$EF$的最小值为$\frac{12}{5}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
解析
【分析】
这6道填空题围绕初中数学核心基础知识点展开，解题时需紧扣各知识点的规则：11题利用二次根式有意义的条件列不等式；12题按二次根式化简规则计算；13题运用勾股定理求直角三角形斜边；14题通过转化为同类型根式比较大小；15题结合二次根式性质确定最小正整数；16题构造矩形转化线段，用垂线段最短和面积法求最小值。
【解析】
11. 二次根式有意义的条件是被开方数≥0，因此$x - 2 ≥ 0$，解得$x ≥ 2$；
12. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = \sqrt{4}×\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
13. 设直角三角形斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，因$c＞0$，故$c = 10$；
14. 把$2$转化为$\sqrt{4}$，因$\sqrt{3} ＜ \sqrt{4}$，所以$\sqrt{3} ＜ 2$；
15. 化简$\sqrt{24n} = \sqrt{4×6n} = 2\sqrt{6n}$，要使$\sqrt{24n}$为整数，则$\sqrt{6n}$需为整数，正整数$n$的最小值为6；
16. 连接$CD$，因$DE⊥AC$，$DF⊥BC$，$∠ACB=90°$，故四边形$CEDF$是矩形，得$EF=CD$；当$CD⊥AB$时，$CD$最小，此时$EF$最小；由勾股定理得$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} =5$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×AB×CD$，代入得$\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×CD$，解得$CD = \frac{12}{5}$，即$EF$最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
11.$x≥2$；12.$2\sqrt{3}$；13.$10$；14.$＜$；15.$6$；16.$\frac{12}{5}$
【知识点】
二次根式的概念与运算、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题组为初中数学基础填空题，覆盖核心考点，侧重基础规则和基本方法的应用，难度适中，适合巩固相关知识。
【难度系数】
0.8
这6道填空题围绕初中数学核心基础知识点展开，解题时需紧扣各知识点的规则：11题利用二次根式有意义的条件列不等式；12题按二次根式化简规则计算；13题运用勾股定理求直角三角形斜边；14题通过转化为同类型根式比较大小；15题结合二次根式性质确定最小正整数；16题构造矩形转化线段，用垂线段最短和面积法求最小值。
【解析】
11. 二次根式有意义的条件是被开方数≥0，因此$x - 2 ≥ 0$，解得$x ≥ 2$；
12. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = \sqrt{4}×\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
13. 设直角三角形斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，因$c＞0$，故$c = 10$；
14. 把$2$转化为$\sqrt{4}$，因$\sqrt{3} ＜ \sqrt{4}$，所以$\sqrt{3} ＜ 2$；
15. 化简$\sqrt{24n} = \sqrt{4×6n} = 2\sqrt{6n}$，要使$\sqrt{24n}$为整数，则$\sqrt{6n}$需为整数，正整数$n$的最小值为6；
16. 连接$CD$，因$DE⊥AC$，$DF⊥BC$，$∠ACB=90°$，故四边形$CEDF$是矩形，得$EF=CD$；当$CD⊥AB$时，$CD$最小，此时$EF$最小；由勾股定理得$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} =5$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×AB×CD$，代入得$\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×CD$，解得$CD = \frac{12}{5}$，即$EF$最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
11.$x≥2$；12.$2\sqrt{3}$；13.$10$；14.$＜$；15.$6$；16.$\frac{12}{5}$
【知识点】
二次根式的概念与运算、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题组为初中数学基础填空题，覆盖核心考点，侧重基础规则和基本方法的应用，难度适中，适合巩固相关知识。
【难度系数】
0.8
11. 若最简二次根式$\sqrt{3a + b}$与$\sqrt[{a + b}]{2b}$可以合并，则$a=$
$\dfrac{1}{2}$
，$b=$$\dfrac{3}{2}$
.答案
【点拨】本题考查最简二次根式,同类二次根式的概念,解题的关键是对定义的正确理解.
【解析】$\because$ 最简二次根式$\sqrt{3a+b}$与$\sqrt[a+b]{2b}$可以合并,
$\therefore \begin{cases} a+b=2, \\ 3a+b=2b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$ 故答案为$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{3}{2}$.
【解析】$\because$ 最简二次根式$\sqrt{3a+b}$与$\sqrt[a+b]{2b}$可以合并,
$\therefore \begin{cases} a+b=2, \\ 3a+b=2b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$ 故答案为$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】要解决这个问题，需明确：能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式需满足两个核心条件：①均为二次根式（根指数为2）；②被开方数相同。据此先确定根指数的关系，再结合被开方数的关系列方程组，求解即可得到a、b的值。
【解析】因为最简二次根式$\sqrt{3a + b}$与$\sqrt[{a + b}]{2b}$可以合并，所以它们是同类二次根式，需满足：
1. 根指数均为2，即$a + b = 2$；
2. 被开方数相同，即$3a + b = 2b$。
由此得到方程组：$\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + b = 2b \end{cases}$
化简第二个方程得：$3a = b$，将其代入第一个方程：
$a + 3a = 2$，解得$a = \frac{1}{2}$，则$b = 3×\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
【答案】$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$
【知识点】同类二次根式、最简二次根式
【点评】本题考查同类二次根式与最简二次根式的概念应用，解题关键是牢记同类二次根式的两个条件，通过列方程组求解，属于基础概念题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】因为最简二次根式$\sqrt{3a + b}$与$\sqrt[{a + b}]{2b}$可以合并，所以它们是同类二次根式，需满足：
1. 根指数均为2，即$a + b = 2$；
2. 被开方数相同，即$3a + b = 2b$。
由此得到方程组：$\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + b = 2b \end{cases}$
化简第二个方程得：$3a = b$，将其代入第一个方程：
$a + 3a = 2$，解得$a = \frac{1}{2}$，则$b = 3×\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
【答案】$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$
【知识点】同类二次根式、最简二次根式
【点评】本题考查同类二次根式与最简二次根式的概念应用，解题关键是牢记同类二次根式的两个条件，通过列方程组求解，属于基础概念题，难度适中。
【难度系数】0.6
12. 若$\sqrt{(5 - a)^2} + 5 = a$,则$a$的取值范围是________.
答案
【点拨】本题考查二次根式的性质,绝对值的代数意义,解题的关键是正确理解$\sqrt{x^2}=|x|$并正确取绝对值.
【解析】$\because \sqrt{(5-a)^2}+5=a$,$\therefore \sqrt{(5-a)^2}=a-5$,
$\therefore a-5≥0$,$\therefore a≥5$. 故答案为$a≥5$.
【解析】$\because \sqrt{(5-a)^2}+5=a$,$\therefore \sqrt{(5-a)^2}=a-5$,
$\therefore a-5≥0$,$\therefore a≥5$. 故答案为$a≥5$.
解析
【分析】首先利用二次根式的性质将$\sqrt{(5-a)^2}$转化为绝对值形式，再通过移项得到绝对值等于某一表达式，结合绝对值的非负性，即可求出$a$的取值范围。
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：$|5 - a| + 5 = a$，移项可得$|5 - a| = a - 5$。因为绝对值具有非负性，即$|x| ≥ 0$，所以$a - 5 ≥ 0$，解得$a ≥ 5$。
【答案】$a≥5$
【知识点】二次根式的性质；绝对值的意义
【点评】本题考查二次根式的性质与绝对值的代数意义，解题关键是掌握$\sqrt{x^2}=|x|$及绝对值的非负性，属于基础题型，需注意绝对值化简时的符号处理。
【难度系数】0.6
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：$|5 - a| + 5 = a$，移项可得$|5 - a| = a - 5$。因为绝对值具有非负性，即$|x| ≥ 0$，所以$a - 5 ≥ 0$，解得$a ≥ 5$。
【答案】$a≥5$
【知识点】二次根式的性质；绝对值的意义
【点评】本题考查二次根式的性质与绝对值的代数意义，解题关键是掌握$\sqrt{x^2}=|x|$及绝对值的非负性，属于基础题型，需注意绝对值化简时的符号处理。
【难度系数】0.6
13. 已知 $ m $ 为正整数，若 $ \sqrt{189m} $ 是整数，则根据 $ \sqrt{189m} = \sqrt{3 × 3 × 3 × 7m} = 3\sqrt{3 × 7m} $ 可知 $ m $ 有最小值 $ 3 × 7 = 21 $。设 $ n $ 为正整数，若 $ \sqrt{\dfrac{300}{n}} $ 是大于1的整数，则 $ n $ 的最小值为
3
。答案
【点拨】本题考查二次根式的乘除法,二次根式的性质与化简,解题的关键是读懂题意,根据要求进行求解.
【解析】$\because \sqrt{\dfrac{300}{n}}=\sqrt{\dfrac{100×3}{n}}=10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$,且为整数,$\therefore n$的最小值为3. 故答案为3.
【解析】$\because \sqrt{\dfrac{300}{n}}=\sqrt{\dfrac{100×3}{n}}=10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$,且为整数,$\therefore n$的最小值为3. 故答案为3.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先对二次根式$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$进行化简，再结合“结果是大于1的整数”的条件，分析被开方数的特点，进而求出正整数$n$的最小值。具体思路：1. 利用二次根式的性质化简原式；2. 根据化简结果为整数，确定$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$必须是正整数；3. 结合$n$是正整数，找到使$\dfrac{3}{n}$为最小完全平方数的$n$值。
【解析】
解：先化简二次根式：
$\sqrt{\dfrac{300}{n}}=\sqrt{\dfrac{100×3}{n}}=\sqrt{100}×\sqrt{\dfrac{3}{n}}=10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$
因为$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$是大于1的整数，所以$10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$为整数，即$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$必须是正整数（$n$为正整数）。
要使$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$为正整数，则$\dfrac{3}{n}$必须是完全平方数。由于$n$是正整数，当$\dfrac{3}{n}=1$时，$n$取得最小值，此时$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数
【点评】
本题考查二次根式的化简及整数的性质，核心是利用二次根式的性质化简后，根据结果为整数的条件分析被开方数的构成，属于基础题型，需学生熟练掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先对二次根式$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$进行化简，再结合“结果是大于1的整数”的条件，分析被开方数的特点，进而求出正整数$n$的最小值。具体思路：1. 利用二次根式的性质化简原式；2. 根据化简结果为整数，确定$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$必须是正整数；3. 结合$n$是正整数，找到使$\dfrac{3}{n}$为最小完全平方数的$n$值。
【解析】
解：先化简二次根式：
$\sqrt{\dfrac{300}{n}}=\sqrt{\dfrac{100×3}{n}}=\sqrt{100}×\sqrt{\dfrac{3}{n}}=10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$
因为$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$是大于1的整数，所以$10\sqrt{\dfrac{3}{n}}$为整数，即$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$必须是正整数（$n$为正整数）。
要使$\sqrt{\dfrac{3}{n}}$为正整数，则$\dfrac{3}{n}$必须是完全平方数。由于$n$是正整数，当$\dfrac{3}{n}=1$时，$n$取得最小值，此时$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数
【点评】
本题考查二次根式的化简及整数的性质，核心是利用二次根式的性质化简后，根据结果为整数的条件分析被开方数的构成，属于基础题型，需学生熟练掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
14. 若$a,b$为实数,且满足$|a-5|+\sqrt{(b+3)^2}=0$,则$a-b$的平方根是
$\pm2\sqrt{2}$
.答案
【点拨】本题考查二次根式的性质和绝对值的性质,解题的关键是熟知二次根式的性质和绝对值的非负性.
【解析】$\because |a-5|+\sqrt{(b+3)^2}=0$,$\therefore a-5=0$,$b+3=0$,$\therefore a=5$,$b=-3$.$\therefore a-b=5+3=8$.$\because 8$的平方根为$\pm2\sqrt{2}$,$\therefore a-b$的平方根为$\pm2\sqrt{2}$. 故答案为$\pm2\sqrt{2}$.
【解析】$\because |a-5|+\sqrt{(b+3)^2}=0$,$\therefore a-5=0$,$b+3=0$,$\therefore a=5$,$b=-3$.$\therefore a-b=5+3=8$.$\because 8$的平方根为$\pm2\sqrt{2}$,$\therefore a-b$的平方根为$\pm2\sqrt{2}$. 故答案为$\pm2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用绝对值和二次根式的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。先据此求出a、b的值，再计算a-b，最后根据平方根的定义求出结果。
【解析】
因为绝对值和二次根式都具有非负性，即|a-5|≥0，√(b+3)²≥0，而它们的和为0，所以：
a - 5 = 0，解得a = 5；
b + 3 = 0，解得b = -3。
则a - b = 5 - (-3) = 8。
根据平方根的定义，8的平方根为±√8 = ±2√2，所以a - b的平方根是±2√2。
【答案】
±2√2
【知识点】
绝对值的非负性、二次根式的性质、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用非负数的性质求出a、b的值，再结合平方根的定义计算结果，需熟练掌握非负性和平方根的相关概念。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用绝对值和二次根式的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。先据此求出a、b的值，再计算a-b，最后根据平方根的定义求出结果。
【解析】
因为绝对值和二次根式都具有非负性，即|a-5|≥0，√(b+3)²≥0，而它们的和为0，所以：
a - 5 = 0，解得a = 5；
b + 3 = 0，解得b = -3。
则a - b = 5 - (-3) = 8。
根据平方根的定义，8的平方根为±√8 = ±2√2，所以a - b的平方根是±2√2。
【答案】
±2√2
【知识点】
绝对值的非负性、二次根式的性质、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用非负数的性质求出a、b的值，再结合平方根的定义计算结果，需熟练掌握非负性和平方根的相关概念。
【难度系数】
0.6
15. 已知$x,y$满足$y=\frac{\sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{16 - x^2} - 9}{8}$，则$-16y + 4x =$
2或34
.答案
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是根据二次根式有意义的条件列出不等式组.
【解析】由二次根式有意义的条件,得$\begin{cases} x^2-16≥0, \\ 16-x^2≥0, \end{cases}$解得$x=\pm4$.
①当$x=4$时,$y=-\dfrac{9}{8}$,$\therefore -16y+4x=-16×(-\dfrac{9}{8})+4×4=34$;
②当$x=-4$时,$y=-\dfrac{9}{8}$,$\therefore -16y+4x=-16×(-\dfrac{9}{8})+4×(-4)=2$. 综上所述,$-16y+4x$的值为2或34. 故答案为2或34.
【解析】由二次根式有意义的条件,得$\begin{cases} x^2-16≥0, \\ 16-x^2≥0, \end{cases}$解得$x=\pm4$.
①当$x=4$时,$y=-\dfrac{9}{8}$,$\therefore -16y+4x=-16×(-\dfrac{9}{8})+4×4=34$;
②当$x=-4$时,$y=-\dfrac{9}{8}$,$\therefore -16y+4x=-16×(-\dfrac{9}{8})+4×(-4)=2$. 综上所述,$-16y+4x$的值为2或34. 故答案为2或34.
解析
【分析】
本题需先依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列出关于x的不等式组，求解出x的可能取值；再将x代入原式求出对应的y值，最后分情况代入目标代数式计算结果，注意需考虑x的正负两种情况，避免遗漏解。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得不等式组：
$\begin{cases} x^2 - 16 ≥ 0 \\ 16 - x^2 ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$x^2 ≥ 16$，即$x ≥ 4$或$x ≤ -4$；
解第二个不等式得：$x^2 ≤ 16$，即$-4 ≤ x ≤ 4$；
因此不等式组的解为$x = \pm 4$。
分两种情况计算：
①当$x = 4$时，代入$y = \frac{\sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{16 - x^2} - 9}{8}$，因$\sqrt{16-16}=0$，故$y = \frac{0 + 0 - 9}{8} = -\frac{9}{8}$；
此时$-16y + 4x = -16 × (-\frac{9}{8}) + 4 × 4 = 18 + 16 = 34$；
②当$x = -4$时，同理得$y = -\frac{9}{8}$；
此时$-16y + 4x = -16 × (-\frac{9}{8}) + 4 × (-4) = 18 - 16 = 2$；
综上，$-16y + 4x$的值为2或34。
【答案】
2或34
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式有意义的条件，解题关键是根据被开方数非负确定x的取值，需全面考虑x的正负两种情况，防止漏解。
【难度系数】
0.5
本题需先依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列出关于x的不等式组，求解出x的可能取值；再将x代入原式求出对应的y值，最后分情况代入目标代数式计算结果，注意需考虑x的正负两种情况，避免遗漏解。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得不等式组：
$\begin{cases} x^2 - 16 ≥ 0 \\ 16 - x^2 ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$x^2 ≥ 16$，即$x ≥ 4$或$x ≤ -4$；
解第二个不等式得：$x^2 ≤ 16$，即$-4 ≤ x ≤ 4$；
因此不等式组的解为$x = \pm 4$。
分两种情况计算：
①当$x = 4$时，代入$y = \frac{\sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{16 - x^2} - 9}{8}$，因$\sqrt{16-16}=0$，故$y = \frac{0 + 0 - 9}{8} = -\frac{9}{8}$；
此时$-16y + 4x = -16 × (-\frac{9}{8}) + 4 × 4 = 18 + 16 = 34$；
②当$x = -4$时，同理得$y = -\frac{9}{8}$；
此时$-16y + 4x = -16 × (-\frac{9}{8}) + 4 × (-4) = 18 - 16 = 2$；
综上，$-16y + 4x$的值为2或34。
【答案】
2或34
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式有意义的条件，解题关键是根据被开方数非负确定x的取值，需全面考虑x的正负两种情况，防止漏解。
【难度系数】
0.5
16. 若$\sqrt{(2\,024 - a)^2} + \sqrt{a - 2\,025} = a$，则$a - 2\,024^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,取绝对值的方法,解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出$a$的值.
【解析】$\because \sqrt{(2024-a)^2}+\sqrt{a-2025}=a$有意义,$\therefore a≥2025$,
$\therefore 2024-a＜0$.$\because \sqrt{(2024-a)^2}+\sqrt{a-2025}=a$,
$\therefore |2024-a|+\sqrt{a-2025}=a$,$\therefore a-2024+\sqrt{a-2025}=a$,
$\therefore \sqrt{a-2025}=2024$,$\therefore a-2025=2024^2$,$\therefore a-2024^2=2025$. 故答案为2025.
【解析】$\because \sqrt{(2024-a)^2}+\sqrt{a-2025}=a$有意义,$\therefore a≥2025$,
$\therefore 2024-a＜0$.$\because \sqrt{(2024-a)^2}+\sqrt{a-2025}=a$,
$\therefore |2024-a|+\sqrt{a-2025}=a$,$\therefore a-2024+\sqrt{a-2025}=a$,
$\therefore \sqrt{a-2025}=2024$,$\therefore a-2025=2024^2$,$\therefore a-2024^2=2025$. 故答案为2025.
解析
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简绝对值，将原式转化为可求解的整式方程，最后通过代数变形求出目标代数式的值。
【解析】因为二次根式$\sqrt{a - 2025}$有意义，所以被开方数$a - 2025 ≥ 0$，即$a ≥ 2025$。由此可得$2024 - a ＜ 0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则$\sqrt{(2024 - a)^2}=|2024 - a|=a - 2024$。将其代入原式得：$a - 2024 + \sqrt{a - 2025} = a$，两边同时减去$a$，化简得$\sqrt{a - 2025}=2024$。两边平方后得到$a - 2025 = 2024^2$，移项可得$a - 2024^2 = 2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】本题综合考查二次根式的核心性质，解题关键是先确定a的取值范围，再正确处理绝对值符号，通过代数变形完成求解，是代数运算中基础且典型的题型，需注意二次根式的非负性应用。
【难度系数】0.5
【解析】因为二次根式$\sqrt{a - 2025}$有意义，所以被开方数$a - 2025 ≥ 0$，即$a ≥ 2025$。由此可得$2024 - a ＜ 0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则$\sqrt{(2024 - a)^2}=|2024 - a|=a - 2024$。将其代入原式得：$a - 2024 + \sqrt{a - 2025} = a$，两边同时减去$a$，化简得$\sqrt{a - 2025}=2024$。两边平方后得到$a - 2025 = 2024^2$，移项可得$a - 2024^2 = 2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】本题综合考查二次根式的核心性质，解题关键是先确定a的取值范围，再正确处理绝对值符号，通过代数变形完成求解，是代数运算中基础且典型的题型，需注意二次根式的非负性应用。
【难度系数】0.5
三、解答题(本大题共7小题,共72分.解答应写出过程)
17. (12分)计算:
(1)$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)+\sqrt{6}×\sqrt{\frac{2}{3}}$;
(2)$\sqrt{(-3)^2}+|1-\sqrt{3}|-(π-3)^0+(\frac{1}{2})^{-1}$;
(3)$\sqrt{12}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;
(4)$(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{50}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$.
17. (12分)计算:
(1)$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)+\sqrt{6}×\sqrt{\frac{2}{3}}$;
(2)$\sqrt{(-3)^2}+|1-\sqrt{3}|-(π-3)^0+(\frac{1}{2})^{-1}$;
(3)$\sqrt{12}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;
(4)$(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{50}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$.
答案
【点拨】本题考查二次根式的加减乘除混合运算和幂的运算,解题的关键是会化简二次根式并熟知二次根式和幂的加减乘除混合运算的法则.
【解析】(1)$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)+\sqrt{6}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$=(\sqrt{3})^2-2^2+2$
$=3-4+2$
$=1$.
(2) $\sqrt{(-3)^2}+|1-\sqrt{3}|-(π-3)^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}$
$=3+\sqrt{3}-1-1+2$
$=3+\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{12}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(4) $(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{50}+\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$
$=(\sqrt{3})^2-1-5+2$
$=3-1-5+2$
$=-1$.
【解析】(1)$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)+\sqrt{6}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$=(\sqrt{3})^2-2^2+2$
$=3-4+2$
$=1$.
(2) $\sqrt{(-3)^2}+|1-\sqrt{3}|-(π-3)^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}$
$=3+\sqrt{3}-1-1+2$
$=3+\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{12}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(4) $(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{50}+\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$
$=(\sqrt{3})^2-1-5+2$
$=3-1-5+2$
$=-1$.
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题时需先分别计算各项：第一项利用平方差公式计算，第二项根据二次根式乘法法则计算，第三项根据二次根式除法法则计算，最后将各项结果合并即可得到答案。
【解析】
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{50}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\\=&(\sqrt{3})^2 - 1^2 - \sqrt{\frac{1}{2}×50} + \sqrt{\frac{24}{6}}\\=&3 - 1 - \sqrt{25} + \sqrt{4}\\=&3 - 1 -5 +2\\=&-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式混合运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是掌握平方差公式和二次根式的乘除运算法则，计算过程需注意化简二次根式，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】
0.5
本题是二次根式的混合运算题，解题时需先分别计算各项：第一项利用平方差公式计算，第二项根据二次根式乘法法则计算，第三项根据二次根式除法法则计算，最后将各项结果合并即可得到答案。
【解析】
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{50}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\\=&(\sqrt{3})^2 - 1^2 - \sqrt{\frac{1}{2}×50} + \sqrt{\frac{24}{6}}\\=&3 - 1 - \sqrt{25} + \sqrt{4}\\=&3 - 1 -5 +2\\=&-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式混合运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是掌握平方差公式和二次根式的乘除运算法则，计算过程需注意化简二次根式，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】
0.5
