18. (8分)已知$a,b$是有理数，$a(\sqrt{2}-1)+b(3+\sqrt{2})=5+3\sqrt{2}$，求$\sqrt{a+b}+\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}$的值.

【点拨】本题考查二次根式的化简求值,解题的关键是根据题意求出$a,b$的值.
【解析】$\because a(\sqrt{2}-1)+b(3+\sqrt{2})=5+3\sqrt{2}$,
$\therefore \sqrt{2}(a+b)+(-a+3b)=5+3\sqrt{2}$.
$\because a,b$是有理数,
$\therefore a+b=3$且$-a+3b=5$,解得$a=1$,$b=2$,
$\therefore \sqrt{a+b}+\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{1}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-1$.

【分析】要解决本题，需先根据等式两边有理数与无理数部分分别相等的性质求出a、b的值，再代入所求式子化简计算。具体步骤：1. 展开原式左边并合并同类项，分离出含√2的项和常数项；2. 利用a、b是有理数，得到无理数系数和常数项分别相等，列出方程组求解a、b；3. 将a、b代入所求式子，化简得到结果。
【解析】已知$a(\sqrt{2}-1)+b(3+\sqrt{2})=5+3\sqrt{2}$，先展开左边并合并同类项：
$a\sqrt{2} -a +3b +b\sqrt{2} = \sqrt{2}(a+b) + (-a +3b)$，
等式右边为$5 +3\sqrt{2}$，因为a、b是有理数，所以等式两边无理数部分的系数相等，常数项也相等，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 3 \\ -a + 3b =5 \end{cases}$，
解方程组：两式相加得$4b=8$，解得$b=2$，代入$a+b=3$得$a=1$。
将$a=1$，$b=2$代入$\sqrt{a+b}+\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}$：
原式=$\sqrt{1+2} + \sqrt{1×2} - \sqrt{1} - \sqrt{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} -1 - \sqrt{2} = \sqrt{3} -1$。
【答案】$\sqrt{3}-1$
【知识点】二次根式的化简求值；有理数与无理数的性质
【点评】本题考查二次根式化简求值，核心是利用“等式两边有理数部分和无理数部分分别相等”的性质求解参数，需掌握同类二次根式的合并规则，属于中等难度的基础题。
【难度系数】0.5

19. (10 分)已知 $x=\sqrt{5}+2,y=\sqrt{5}-2.$
(1)求 $x+y$ 与 $xy$ 的值；
(2)求 $x^2+xy+y^2$ 的值.

【点拨】本题考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则.
【解析】(1)$x+y=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$,
$xy=(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)=1$.
(2)$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=(2\sqrt{5})^2-1=20-1=19$.

【分析】
本题需先根据二次根式的运算法则计算x+y与xy的值，再利用公式变形简化x²+xy+y²的计算。步骤如下：
1. 计算x+y时，直接合并x与y的表达式，抵消常数项后合并同类二次根式；
2. 计算xy时，利用平方差公式简化乘法运算；
3. 计算x²+xy+y²时，将其变形为(x+y)² - xy，代入第一问结果即可快速求解，避免复杂运算。
【解析】
(1) 计算x+y：
$x+y = (\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}+\sqrt{5}+2-2 = 2\sqrt{5}$；
计算xy：
$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$；
(2) 对$x^2+xy+y^2$变形：
$x^2+xy+y^2 = (x+y)^2 - xy$，
将$x+y=2\sqrt{5}$，$xy=1$代入得：
$(2\sqrt{5})^2 - 1 = 4×5 - 1 = 20 - 1 = 19$；
【答案】
(1) $x+y=2\sqrt{5}$，$xy=1$；(2) $19$
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式的应用
【点评】
本题考查二次根式的运算，核心是利用公式变形和整体代入简化计算，属于基础题型，注重对公式的灵活运用，能有效考查学生的运算能力。
【难度系数】
0.6