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20. (10分)全球气候变暖导致一些冰川融化消失. 在冰川消失12年后,一种低等植物苔藓就开始在岩石上丛生. 每一丛苔藓都会近似长成圆形,每丛苔藓的直径$d$(单位:厘米)与冰川消失之后经过的时间$t$(单位:年)近似地满足关系式$d=7\sqrt{t-12}$.
(1)求关系式中$t$的取值范围；
(2)计算冰川消失21年后,一丛苔藓的直径；
(3)如果测得一丛苔藓的直径是42厘米,那么冰川大约是在多少年前消失的？
(1)求关系式中$t$的取值范围；
(2)计算冰川消失21年后,一丛苔藓的直径；
(3)如果测得一丛苔藓的直径是42厘米,那么冰川大约是在多少年前消失的？
答案
【点拨】本题考查二次根式的应用,解题的关键是正确理解题意,将数值代入给定的关系式中进行正确求解.
【解析】(1)由题意得$t-12≥0$,解得$t≥12$.
(2)当$t=21$时,$d=7×\sqrt{21-12}=7×3=21$(厘米).
答:冰川消失21年后,一丛苔藓的直径为21厘米.
(3)当$d=42$时,$\sqrt{t-12}=6$,即$t-12=36$,解得$t=48$.
答:冰川大约是在48年前消失的.
【解析】(1)由题意得$t-12≥0$,解得$t≥12$.
(2)当$t=21$时,$d=7×\sqrt{21-12}=7×3=21$(厘米).
答:冰川消失21年后,一丛苔藓的直径为21厘米.
(3)当$d=42$时,$\sqrt{t-12}=6$,即$t-12=36$,解得$t=48$.
答:冰川大约是在48年前消失的.
解析
【分析】
本题是二次根式在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求t的取值范围时，依据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解；
2. 计算冰川消失21年后的苔藓直径，直接将t=21代入给定的关系式，按照二次根式的运算规则计算即可；
3. 已知苔藓直径求冰川消失时间，将d=42代入关系式，得到关于t的方程，通过解方程求出t的值。
【解析】
(1) 因为二次根式的被开方数需为非负数，所以对于关系式$d=7\sqrt{t-12}$，有$t-12≥0$，解得$t≥12$，即t的取值范围是$t≥12$；
(2) 当$t=21$时，代入关系式得：$d=7×\sqrt{21-12}=7×\sqrt{9}=7×3=21$（厘米），因此冰川消失21年后，一丛苔藓的直径为21厘米；
(3) 当$d=42$时，代入关系式得：$42=7×\sqrt{t-12}$，两边同时除以7得$\sqrt{t-12}=6$，两边平方得$t-12=36$，解得$t=48$，即冰川大约是在48年前消失的。
【答案】
(1) $t≥12$；(2) 21厘米；(3) 48年
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的应用，代数式求值
【点评】
本题结合冰川与苔藓的实际场景考查二次根式的知识，属于基础应用题，重点考查学生对二次根式性质的理解和代入计算的能力，题目难度较低，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求t的取值范围时，依据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解；
2. 计算冰川消失21年后的苔藓直径，直接将t=21代入给定的关系式，按照二次根式的运算规则计算即可；
3. 已知苔藓直径求冰川消失时间，将d=42代入关系式，得到关于t的方程，通过解方程求出t的值。
【解析】
(1) 因为二次根式的被开方数需为非负数，所以对于关系式$d=7\sqrt{t-12}$，有$t-12≥0$，解得$t≥12$，即t的取值范围是$t≥12$；
(2) 当$t=21$时，代入关系式得：$d=7×\sqrt{21-12}=7×\sqrt{9}=7×3=21$（厘米），因此冰川消失21年后，一丛苔藓的直径为21厘米；
(3) 当$d=42$时，代入关系式得：$42=7×\sqrt{t-12}$，两边同时除以7得$\sqrt{t-12}=6$，两边平方得$t-12=36$，解得$t=48$，即冰川大约是在48年前消失的。
【答案】
(1) $t≥12$；(2) 21厘米；(3) 48年
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的应用，代数式求值
【点评】
本题结合冰川与苔藓的实际场景考查二次根式的知识，属于基础应用题，重点考查学生对二次根式性质的理解和代入计算的能力，题目难度较低，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
21. (10分)观察下列一组等式,然后解答后面的题.
$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1,(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,(\sqrt{4}+\sqrt{3})×(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1,(\sqrt{5}+\sqrt{4})×(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1.$
(1)观察上面的规律,计算下列式子的值:
$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}} ) × (\sqrt{2013} + 1);$
(2)利用上面的规律,试比较$\sqrt{12} - \sqrt{11}$与$\sqrt{13} - \sqrt{12}$的大小.
题.$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1,(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,(\sqrt{4}+\sqrt{3})×(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1,(\sqrt{5}+\sqrt{4})×(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1.$
(1)观察上面的规律,计算下列式子的值:
$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}} ) × (\sqrt{2013} + 1);$
(2)利用上面的规律,试比较$\sqrt{12} - \sqrt{11}$与$\sqrt{13} - \sqrt{12}$的大小.
答案
【点拨】本题考查分母有理化,根据题中给出的例子找出规律是解题的关键.
【解析】(1)由$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1$,$(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$,$(\sqrt{4}+\sqrt{3})×(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1$,$(\sqrt{5}+\sqrt{4})×(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1$,
总结规律,得$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}(n≥1)$,则
$(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\dfrac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}})×(\sqrt{2013}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+···+\sqrt{2013}-\sqrt{2012})×(\sqrt{2013}+1)$
$=(\sqrt{2013}-1)×(\sqrt{2013}+1)$
$=2012$.
(2)$\sqrt{12}-\sqrt{11}=\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$,$\sqrt{13}-\sqrt{12}=\dfrac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$.
$\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＜\sqrt{13}+\sqrt{12}$,$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}＞\dfrac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$,
$\therefore \sqrt{12}-\sqrt{11}＞\sqrt{13}-\sqrt{12}$.
【解析】(1)由$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1$,$(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$,$(\sqrt{4}+\sqrt{3})×(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1$,$(\sqrt{5}+\sqrt{4})×(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1$,
总结规律,得$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}(n≥1)$,则
$(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\dfrac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}})×(\sqrt{2013}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+···+\sqrt{2013}-\sqrt{2012})×(\sqrt{2013}+1)$
$=(\sqrt{2013}-1)×(\sqrt{2013}+1)$
$=2012$.
(2)$\sqrt{12}-\sqrt{11}=\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$,$\sqrt{13}-\sqrt{12}=\dfrac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$.
$\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＜\sqrt{13}+\sqrt{12}$,$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}＞\dfrac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$,
$\therefore \sqrt{12}-\sqrt{11}＞\sqrt{13}-\sqrt{12}$.
解析
【分析】首先观察题目给出的等式，发现每个等式符合平方差公式，由此总结规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n≥1$）。第(1)问利用该规律拆分原式，中间项抵消后结合平方差公式计算；第(2)问通过分母有理化将根式转化为分子为1的分数，比较分母大小判断原根式的大小。
【解析】
(1) 根据题中等式规律，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n≥1$），则：
$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}} ) × (\sqrt{2013} + 1)$
$= (\sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2} + \sqrt{4}-\sqrt{3} + ··· + \sqrt{2013}-\sqrt{2012}) × (\sqrt{2013} + 1)$
中间项抵消后得：
$= (\sqrt{2013} -1) × (\sqrt{2013} +1)$
由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算得：
$= (\sqrt{2013})^2 -1^2 = 2013 -1 = 2012$。
(2) 对两个根式分母有理化：
$\sqrt{12} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
$\sqrt{13} - \sqrt{12} = \frac{(\sqrt{13}-\sqrt{12})(\sqrt{13}+\sqrt{12})}{\sqrt{13}+\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$。
因为$\sqrt{12}+\sqrt{11} ＜ \sqrt{13}+\sqrt{12}$，分子相同，分母越大分数越小，故$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} ＞ \frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$，即$\sqrt{12} - \sqrt{11} ＞ \sqrt{13} - \sqrt{12}$。
【答案】
(1) $2012$；(2) $\sqrt{12}-\sqrt{11} ＞ \sqrt{13}-\sqrt{12}$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式大小比较
【点评】
本题通过等式总结规律，考查分母有理化的应用，需熟练掌握平方差公式和二次根式运算，解题关键是利用规律拆分化简式子，属于中等难度代数运算题。
【难度系数】
0.6
【解析】
(1) 根据题中等式规律，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n≥1$），则：
$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}} ) × (\sqrt{2013} + 1)$
$= (\sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2} + \sqrt{4}-\sqrt{3} + ··· + \sqrt{2013}-\sqrt{2012}) × (\sqrt{2013} + 1)$
中间项抵消后得：
$= (\sqrt{2013} -1) × (\sqrt{2013} +1)$
由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算得：
$= (\sqrt{2013})^2 -1^2 = 2013 -1 = 2012$。
(2) 对两个根式分母有理化：
$\sqrt{12} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
$\sqrt{13} - \sqrt{12} = \frac{(\sqrt{13}-\sqrt{12})(\sqrt{13}+\sqrt{12})}{\sqrt{13}+\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$。
因为$\sqrt{12}+\sqrt{11} ＜ \sqrt{13}+\sqrt{12}$，分子相同，分母越大分数越小，故$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} ＞ \frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$，即$\sqrt{12} - \sqrt{11} ＞ \sqrt{13} - \sqrt{12}$。
【答案】
(1) $2012$；(2) $\sqrt{12}-\sqrt{11} ＞ \sqrt{13}-\sqrt{12}$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式大小比较
【点评】
本题通过等式总结规律，考查分母有理化的应用，需熟练掌握平方差公式和二次根式运算，解题关键是利用规律拆分化简式子，属于中等难度代数运算题。
【难度系数】
0.6
