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22.（10分）某文具店准备购进A,B两种钢笔进行销售，这两种钢笔的进价和售价如表.
| | A | B |
| --- | --- | --- |
| 进价/(元/支) |
10 | 15 |
| 售价/(元/支) | 15 | 24 |
(1)现计划购进A,B两种钢笔共30支，且B种钢笔的数量不超过A种钢笔数量的一半.该文具店怎样进货才能使两种钢笔全部售出后获利最大，最大利润是多少？
(2)某学校需要购买一批该文具店的两种笔作为奖品，其中A种笔$m$支，B种笔200支，文具店给出以下两种方案：
方案一:所有笔均按售价的八折出售；
方案二:A种钢笔按售价的七折出售，B种钢笔按售价的九折出售.
学校采购员应选择哪种方案对学校来说花费最少？请说明理由.
| | A | B |
| --- | --- | --- |
| 进价/(元/支) |
10 | 15 || 售价/(元/支) | 15 | 24 |
(1)现计划购进A,B两种钢笔共30支，且B种钢笔的数量不超过A种钢笔数量的一半.该文具店怎样进货才能使两种钢笔全部售出后获利最大，最大利润是多少？
(2)某学校需要购买一批该文具店的两种笔作为奖品，其中A种笔$m$支，B种笔200支，文具店给出以下两种方案：
方案一:所有笔均按售价的八折出售；
方案二:A种钢笔按售价的七折出售，B种钢笔按售价的九折出售.
学校采购员应选择哪种方案对学校来说花费最少？请说明理由.
答案
22. 【点拨】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用,掌握一次函数的性质并能分情况考虑是解题的关键.
【解析】(1)设购进 A 种钢笔 $x$ 支, 则购进 B 种钢笔 $(30 - x)$ 支, 利润为 $W$ 元.
由题意得 $30 - x ≤ \dfrac{1}{2}x$, 解得 $x ≥ 20$,
$W = (15 - 10)x + (24 - 15)(30 - x) = -4x + 270$.
$\because -4 ＜ 0, \therefore W$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x = 20$ 时, $W_{\mathrm{最大}} = -4 × 20 + 270 = 190$, 此时 $30 - x = 10$,
答:该文具店应购进 A 种钢笔 20 支,B 种钢笔 10 支获利最大,最大利润是 190 元.
(2)方案一费用为 $y_1 = 0.8(15m + 24 × 200) = 12m + 3\ 840$,
方案二费用为 $y_2 = 0.7 × 15m + 0.9 × 24 × 200 = 10.5m + 4\ 320$,
当 $y_1 = y_2$ 时, $12m + 3\ 840 = 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m = 320$,
当 $y_1 ＞ y_2$ 时, $12m + 3\ 840 ＞ 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m ＞ 320$,
当 $y_1 ＜ y_2$ 时, $12m + 3\ 840 ＜ 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m ＜ 320$,
$\therefore$ 当 $m ＜ 320$ 时, 选择方案一花费最少; 当 $m = 320$ 时, 两个方案费用一样; 当 $m ＞ 320$ 时, 选择方案二花费最少.
【解析】(1)设购进 A 种钢笔 $x$ 支, 则购进 B 种钢笔 $(30 - x)$ 支, 利润为 $W$ 元.
由题意得 $30 - x ≤ \dfrac{1}{2}x$, 解得 $x ≥ 20$,
$W = (15 - 10)x + (24 - 15)(30 - x) = -4x + 270$.
$\because -4 ＜ 0, \therefore W$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x = 20$ 时, $W_{\mathrm{最大}} = -4 × 20 + 270 = 190$, 此时 $30 - x = 10$,
答:该文具店应购进 A 种钢笔 20 支,B 种钢笔 10 支获利最大,最大利润是 190 元.
(2)方案一费用为 $y_1 = 0.8(15m + 24 × 200) = 12m + 3\ 840$,
方案二费用为 $y_2 = 0.7 × 15m + 0.9 × 24 × 200 = 10.5m + 4\ 320$,
当 $y_1 = y_2$ 时, $12m + 3\ 840 = 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m = 320$,
当 $y_1 ＞ y_2$ 时, $12m + 3\ 840 ＞ 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m ＞ 320$,
当 $y_1 ＜ y_2$ 时, $12m + 3\ 840 ＜ 10.5m + 4\ 320$, 解得 $m ＜ 320$,
$\therefore$ 当 $m ＜ 320$ 时, 选择方案一花费最少; 当 $m = 320$ 时, 两个方案费用一样; 当 $m ＞ 320$ 时, 选择方案二花费最少.
解析
【分析】
第(1)问：要解决获利最大问题，需先设购进A种钢笔的数量为$x$支，根据总数量30支表示B种钢笔数量，再根据“B种数量不超过A种数量的一半”列不等式确定$x$的取值范围；接着写出总利润关于$x$的一次函数，利用一次函数的增减性（$k＜0$时函数随$x$增大而减小），在$x$的取值范围内找到使利润最大的$x$值，进而得到最大利润。
第(2)问：要比较两种方案的花费，需分别写出方案一、方案二的总费用表达式，令两费用相等求出分界点$m$的值，再分$m$小于、等于、大于分界点三种情况，判断哪种方案花费更少。
【解析】
(1)设购进A种钢笔$x$支，则购进B种钢笔$(30 - x)$支，总利润为$W$元。
根据“B种钢笔的数量不超过A种钢笔数量的一半”，列不等式：
$30 - x ≤ \dfrac{1}{2}x$
解不等式得：$x ≥ 20$。
总利润计算：A种每支利润为$15 - 10 = 5$元，B种每支利润为$24 - 15 = 9$元，因此：
$W = 5x + 9(30 - x) = -4x + 270$。
因为一次函数$W = -4x + 270$中，$k = -4 ＜ 0$，所以$W$随$x$的增大而减小。
结合$x ≥ 20$，当$x = 20$时，$W$取得最大值：
$W_{最大} = -4×20 + 270 = 190$元，此时B种钢笔数量为$30 - 20 = 10$支。
答：购进A种钢笔20支，B种钢笔10支时获利最大，最大利润为190元。
(2)设学校购买A种笔$m$支，B种笔200支，分别计算两种方案的总费用：
方案一：所有笔按售价八折出售，总费用$y_1 = 0.8×(15m + 24×200) = 12m + 3840$；
方案二：A种按售价七折、B种按售价九折出售，总费用$y_2 = 0.7×15m + 0.9×24×200 = 10.5m + 4320$。
分情况讨论：
①当$y_1 = y_2$时，$12m + 3840 = 10.5m + 4320$，解得$m = 320$；
②当$y_1 ＜ y_2$时，$12m + 3840 ＜ 10.5m + 4320$，解得$m ＜ 320$；
③当$y_1 ＞ y_2$时，$12m + 3840 ＞ 10.5m + 4320$，解得$m ＞ 320$。
综上，当$m ＜ 320$时，选择方案一花费最少；当$m = 320$时，两种方案费用相同；当$m ＞ 320$时，选择方案二花费最少。
【答案】
(1)购进A种钢笔20支，B种钢笔10支时获利最大，最大利润为190元；
(2)当$m ＜ 320$时，选择方案一；当$m = 320$时，两种方案费用相同；当$m ＞ 320$时，选择方案二。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合一次函数与不等式的实际应用题，重点考查学生建立数学模型解决问题的能力，需准确梳理数量关系，利用一次函数增减性求最值，通过分类讨论比较方案优劣，是初中数学的典型题型。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要解决获利最大问题，需先设购进A种钢笔的数量为$x$支，根据总数量30支表示B种钢笔数量，再根据“B种数量不超过A种数量的一半”列不等式确定$x$的取值范围；接着写出总利润关于$x$的一次函数，利用一次函数的增减性（$k＜0$时函数随$x$增大而减小），在$x$的取值范围内找到使利润最大的$x$值，进而得到最大利润。
第(2)问：要比较两种方案的花费，需分别写出方案一、方案二的总费用表达式，令两费用相等求出分界点$m$的值，再分$m$小于、等于、大于分界点三种情况，判断哪种方案花费更少。
【解析】
(1)设购进A种钢笔$x$支，则购进B种钢笔$(30 - x)$支，总利润为$W$元。
根据“B种钢笔的数量不超过A种钢笔数量的一半”，列不等式：
$30 - x ≤ \dfrac{1}{2}x$
解不等式得：$x ≥ 20$。
总利润计算：A种每支利润为$15 - 10 = 5$元，B种每支利润为$24 - 15 = 9$元，因此：
$W = 5x + 9(30 - x) = -4x + 270$。
因为一次函数$W = -4x + 270$中，$k = -4 ＜ 0$，所以$W$随$x$的增大而减小。
结合$x ≥ 20$，当$x = 20$时，$W$取得最大值：
$W_{最大} = -4×20 + 270 = 190$元，此时B种钢笔数量为$30 - 20 = 10$支。
答：购进A种钢笔20支，B种钢笔10支时获利最大，最大利润为190元。
(2)设学校购买A种笔$m$支，B种笔200支，分别计算两种方案的总费用：
方案一：所有笔按售价八折出售，总费用$y_1 = 0.8×(15m + 24×200) = 12m + 3840$；
方案二：A种按售价七折、B种按售价九折出售，总费用$y_2 = 0.7×15m + 0.9×24×200 = 10.5m + 4320$。
分情况讨论：
①当$y_1 = y_2$时，$12m + 3840 = 10.5m + 4320$，解得$m = 320$；
②当$y_1 ＜ y_2$时，$12m + 3840 ＜ 10.5m + 4320$，解得$m ＜ 320$；
③当$y_1 ＞ y_2$时，$12m + 3840 ＞ 10.5m + 4320$，解得$m ＞ 320$。
综上，当$m ＜ 320$时，选择方案一花费最少；当$m = 320$时，两种方案费用相同；当$m ＞ 320$时，选择方案二花费最少。
【答案】
(1)购进A种钢笔20支，B种钢笔10支时获利最大，最大利润为190元；
(2)当$m ＜ 320$时，选择方案一；当$m = 320$时，两种方案费用相同；当$m ＞ 320$时，选择方案二。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合一次函数与不等式的实际应用题，重点考查学生建立数学模型解决问题的能力，需准确梳理数量关系，利用一次函数增减性求最值，通过分类讨论比较方案优劣，是初中数学的典型题型。
【难度系数】
0.6
23. (11分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接DE,BE.
(1)求证:$ED = BE$;
(2)如图2,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG.
①求证:矩形DEFG是正方形;
②正方形ABCD的边长为2,当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$22.5°$时,求AE的长.
(1)求证:$ED = BE$;
(2)如图2,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG.
①求证:矩形DEFG是正方形;
②正方形ABCD的边长为2,当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$22.5°$时,求AE的长.
答案
23. 【点拨】本题考查正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,合理地作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB = AD, ∠ BAC = ∠ DAC = 45°$.
$\because AE = AE, \therefore △ ADE ≌ △ ABE(\mathrm{SAS}), \therefore ED = BE$.
(2)①证明:如图,作 $EP ⊥ CD$ 于点 $P, EQ ⊥ BC$ 于点 $Q$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ DCA = ∠ BCA, \therefore EQ = EP$.
$\because ∠ QEF + ∠ FEP = 90°$,
$∠ PED + ∠ PEF = 90°$,
$\therefore ∠ QEF = ∠ PED$.
在 $△ EQF$ 和 $△ EPD$ 中,
$\begin{cases} ∠ QEF = ∠ PED, \\ EQ = EP, \\ ∠ EQF = ∠ EPD, \end{cases}$
$\therefore △ EQF ≌ △ EPD(\mathrm{ASA}), \therefore EF = ED$,
$\therefore$ 矩形 $DEFG$ 是正方形.
②当 $DE$ 与 $DC$ 的夹角为 $22.5°$ 时, $∠ ADE = 90° - 22.5° = 67.5°$,
$\because ∠ DAC = 45°, \therefore ∠ AED = 67.5°, \therefore ∠ ADE = ∠ AED$,
$\therefore AD = AE = 2$.
当 $DE$ 与 $AD$ 的夹角为 $22.5°$ 时, $∠ CDE = 90° - 22.5° = 67.5°$,
$\because ∠ DCA = 45°, \therefore ∠ CED = 67.5°, \therefore ∠ CDE = ∠ CED$,
$\therefore CD = CE = 2$.
$\because AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}, \therefore AE = 2\sqrt{2} - 2$.
综上, $AE$ 的长为 2 或 $2\sqrt{2} - 2$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：要证$ED=BE$，利用正方形对角线平分内角的性质，得$AB=AD$、$∠ BAC=∠ DAC=45°$，结合公共边$AE$，通过SAS可证$△ ADE ≌ △ ABE$，从而得到$ED=BE$。
2. 第(2)①问：要证矩形$DEFG$是正方形，需证邻边$EF=ED$。作$EP ⊥ CD$于$P$、$EQ ⊥ BC$于$Q$，利用正方形对角线性质得$EQ=EP$，再通过角的关系证明$∠ QEF=∠ PED$，结合直角相等，用ASA证$△ EQF ≌ △ EPD$，得$EF=ED$，即可证矩形为正方形。
3. 第(2)②问：$DE$与正方形某边夹角为$22.5°$，分两种情况：①$DE$与$DC$夹角$22.5°$，此时$∠ ADE=67.5°$，结合$∠ DAE=45°$得$∠ AED=67.5°$，故$AD=AE=2$；②$DE$与$AD$夹角$22.5°$，此时$∠ CDE=67.5°$，结合$∠ DCE=45°$得$∠ CED=67.5°$，故$CD=CE=2$，再由勾股定理得$AC=2\sqrt{2}$，从而$AE=2\sqrt{2}-2$，综上得$AE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAC=∠ DAC=45°$。
又$\because AE=AE$，
$\therefore △ ADE ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ED=BE$。
(2) ① 证明：作$EP ⊥ CD$于点$P$，$EQ ⊥ BC$于点$Q$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCA$，
$\therefore EQ=EP$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because EF ⊥ DE$，
$\therefore ∠ DEF=90°$，即$∠ QEF + ∠ FEP=90°$，
又$\because ∠ PED + ∠ PEF=90°$，
$\therefore ∠ QEF=∠ PED$。
在$△ EQF$和$△ EPD$中，
$\begin{cases}∠ QEF=∠ PED, \\EQ=EP, \\∠ EQF=∠ EPD=90°,\end{cases}$
$\therefore △ EQF ≌ △ EPD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=ED$。
$\because$ 四边形$DEFG$是矩形，且邻边$EF=ED$，
$\therefore$ 矩形$DEFG$是正方形。
② 分两种情况讨论：
情况1：当$DE$与$DC$的夹角为$22.5°$时，
$∠ ADE=90° - 22.5°=67.5°$，
$\because$ 正方形$ABCD$中，$∠ DAC=45°$，
$\therefore ∠ AED=180° - 45° - 67.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，
$\therefore AE=AD=2$。
情况2：当$DE$与$AD$的夹角为$22.5°$时，
$∠ CDE=90° - 22.5°=67.5°$，
$\because$ 正方形$ABCD$中，$∠ DCA=45°$，
$\therefore ∠ CED=180° - 45° - 67.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ CED$，
$\therefore CE=CD=2$。
$\because$ 正方形边长为$2$，$\therefore AC=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AC - CE=2\sqrt{2} - 2$。
综上，$AE$的长为$2$或$2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$AE$的长为$2$或$2\sqrt{2}-2$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是正方形的综合题，综合考查全等三角形、正方形的判定与性质，解题关键是合理作辅助线，第(2)②问需分类讨论，避免漏解，体现了分类思想的应用。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：要证$ED=BE$，利用正方形对角线平分内角的性质，得$AB=AD$、$∠ BAC=∠ DAC=45°$，结合公共边$AE$，通过SAS可证$△ ADE ≌ △ ABE$，从而得到$ED=BE$。
2. 第(2)①问：要证矩形$DEFG$是正方形，需证邻边$EF=ED$。作$EP ⊥ CD$于$P$、$EQ ⊥ BC$于$Q$，利用正方形对角线性质得$EQ=EP$，再通过角的关系证明$∠ QEF=∠ PED$，结合直角相等，用ASA证$△ EQF ≌ △ EPD$，得$EF=ED$，即可证矩形为正方形。
3. 第(2)②问：$DE$与正方形某边夹角为$22.5°$，分两种情况：①$DE$与$DC$夹角$22.5°$，此时$∠ ADE=67.5°$，结合$∠ DAE=45°$得$∠ AED=67.5°$，故$AD=AE=2$；②$DE$与$AD$夹角$22.5°$，此时$∠ CDE=67.5°$，结合$∠ DCE=45°$得$∠ CED=67.5°$，故$CD=CE=2$，再由勾股定理得$AC=2\sqrt{2}$，从而$AE=2\sqrt{2}-2$，综上得$AE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAC=∠ DAC=45°$。
又$\because AE=AE$，
$\therefore △ ADE ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ED=BE$。
(2) ① 证明：作$EP ⊥ CD$于点$P$，$EQ ⊥ BC$于点$Q$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCA$，
$\therefore EQ=EP$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because EF ⊥ DE$，
$\therefore ∠ DEF=90°$，即$∠ QEF + ∠ FEP=90°$，
又$\because ∠ PED + ∠ PEF=90°$，
$\therefore ∠ QEF=∠ PED$。
在$△ EQF$和$△ EPD$中，
$\begin{cases}∠ QEF=∠ PED, \\EQ=EP, \\∠ EQF=∠ EPD=90°,\end{cases}$
$\therefore △ EQF ≌ △ EPD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=ED$。
$\because$ 四边形$DEFG$是矩形，且邻边$EF=ED$，
$\therefore$ 矩形$DEFG$是正方形。
② 分两种情况讨论：
情况1：当$DE$与$DC$的夹角为$22.5°$时，
$∠ ADE=90° - 22.5°=67.5°$，
$\because$ 正方形$ABCD$中，$∠ DAC=45°$，
$\therefore ∠ AED=180° - 45° - 67.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，
$\therefore AE=AD=2$。
情况2：当$DE$与$AD$的夹角为$22.5°$时，
$∠ CDE=90° - 22.5°=67.5°$，
$\because$ 正方形$ABCD$中，$∠ DCA=45°$，
$\therefore ∠ CED=180° - 45° - 67.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ CED$，
$\therefore CE=CD=2$。
$\because$ 正方形边长为$2$，$\therefore AC=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AC - CE=2\sqrt{2} - 2$。
综上，$AE$的长为$2$或$2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$AE$的长为$2$或$2\sqrt{2}-2$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是正方形的综合题，综合考查全等三角形、正方形的判定与性质，解题关键是合理作辅助线，第(2)②问需分类讨论，避免漏解，体现了分类思想的应用。
【难度系数】
0.5
