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19. (8分)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,延长AB到点F,使$BF=DC$,延长CB到点E,使$BE=AD$.
(1)求证:四边形ACFE是菱形;
(2)若$AC=10$,$AF=12$,求菱形ACFE的面积.
(1)求证:四边形ACFE是菱形;
(2)若$AC=10$,$AF=12$,求菱形ACFE的面积.
答案
19. 【点拨】本题考查矩形的性质,菱形的判定与性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AB = DC, AD = BC, ∠ ABC = 90°$.
$\because BF = DC, BE = AD, \therefore AB = BF, BE = BC$,
$\therefore$ 四边形 $ACFE$ 为平行四边形.
$\because ∠ ABC = 90°$, 即 $AF ⊥ EC, \therefore$ 平行四边形 $ACFE$ 为菱形.
(2)由(1)知四边形 $ACFE$ 为菱形, $AF = 12$,
$\therefore AB = \dfrac{1}{2}AF = 6, BC = \dfrac{1}{2}EC$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC = 10, ∠ ABC = 90°$,
$\therefore BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = 8, \therefore EC = 2BC = 16$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ACFE} = \dfrac{1}{2}AF · EC = \dfrac{1}{2} × 12 × 16 = 96$.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AB = DC, AD = BC, ∠ ABC = 90°$.
$\because BF = DC, BE = AD, \therefore AB = BF, BE = BC$,
$\therefore$ 四边形 $ACFE$ 为平行四边形.
$\because ∠ ABC = 90°$, 即 $AF ⊥ EC, \therefore$ 平行四边形 $ACFE$ 为菱形.
(2)由(1)知四边形 $ACFE$ 为菱形, $AF = 12$,
$\therefore AB = \dfrac{1}{2}AF = 6, BC = \dfrac{1}{2}EC$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC = 10, ∠ ABC = 90°$,
$\therefore BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = 8, \therefore EC = 2BC = 16$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ACFE} = \dfrac{1}{2}AF · EC = \dfrac{1}{2} × 12 × 16 = 96$.
解析
【分析】
本题分两小问，(1)要证四边形ACFE是菱形，需先利用矩形性质得到边的等量关系，结合已知条件推出四边形ACFE是平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形完成判定；(2)求菱形面积，需利用菱形面积公式（对角线乘积的一半），结合矩形和菱形的性质，通过勾股定理求出另一条对角线长度，进而计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = DC，AD = BC，∠ABC = 90°。
又
∵ BF = DC，BE = AD，
∴ AB = BF，BE = BC，即点B为AF中点，点B为EC中点，
∴ 四边形ACFE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ ∠ABC = 90°，即AF⊥EC，
∴ 平行四边形ACFE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
由(1)知四边形ACFE是菱形，AF = 12，
∴ AB = ½ AF = 6，且EC = 2BC。
在Rt△ABC中，AC = 10，∠ABC = 90°，
根据勾股定理得：BC = √(AC² - AB²) = √(10² - 6²) = 8，
∴ EC = 2×8 = 16。
菱形ACFE的面积 = ½ × AF × EC = ½ × 12 × 16 = 96。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 菱形ACFE的面积为96。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，菱形的面积计算
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，结合勾股定理求解边长，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法和面积公式，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题分两小问，(1)要证四边形ACFE是菱形，需先利用矩形性质得到边的等量关系，结合已知条件推出四边形ACFE是平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形完成判定；(2)求菱形面积，需利用菱形面积公式（对角线乘积的一半），结合矩形和菱形的性质，通过勾股定理求出另一条对角线长度，进而计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = DC，AD = BC，∠ABC = 90°。
又
∵ BF = DC，BE = AD，
∴ AB = BF，BE = BC，即点B为AF中点，点B为EC中点，
∴ 四边形ACFE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ ∠ABC = 90°，即AF⊥EC，
∴ 平行四边形ACFE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
由(1)知四边形ACFE是菱形，AF = 12，
∴ AB = ½ AF = 6，且EC = 2BC。
在Rt△ABC中，AC = 10，∠ABC = 90°，
根据勾股定理得：BC = √(AC² - AB²) = √(10² - 6²) = 8，
∴ EC = 2×8 = 16。
菱形ACFE的面积 = ½ × AF × EC = ½ × 12 × 16 = 96。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 菱形ACFE的面积为96。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，菱形的面积计算
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，结合勾股定理求解边长，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法和面积公式，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
20. (8分)小丽同学在一次学科综合实践活动中发现,某品牌鞋子的长度$y$与鞋子的码数$x$之间满足一次函数关系,如表给出了$y$与$x$的一些对应值.
| 码数$x$ | 33 | 36 | 39 | 42 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 长度$y/\mathrm{mm}$ | 215 | 230 | 245 | 260 |
(1)求鞋子的长度$y$与鞋子的码数$x$之间的函数解析式;
(2)当该品牌鞋子为41码时,求鞋子的长度.
| 码数$x$ | 33 | 36 | 39 | 42 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 长度$y/\mathrm{mm}$ | 215 | 230 | 245 | 260 |
(1)求鞋子的长度$y$与鞋子的码数$x$之间的函数解析式;
(2)当该品牌鞋子为41码时,求鞋子的长度.
答案
20. 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式.
【解析】(1)设鞋子长度 $y$ 与鞋子码数 $x$ 之间的函数解析式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$.
由题意得 $\begin{cases} 215 = 33k + b, \\ 230 = 36k + b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 5, \\ b = 50, \end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y = 5x + 50$.
(2)$\because y = 5x + 50, \therefore$ 当 $x = 41$ 时, $y = 5 × 41 + 50 = 255$.
答:当该品牌鞋子为 41 码时,鞋子长度为 255 mm.
【解析】(1)设鞋子长度 $y$ 与鞋子码数 $x$ 之间的函数解析式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$.
由题意得 $\begin{cases} 215 = 33k + b, \\ 230 = 36k + b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 5, \\ b = 50, \end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y = 5x + 50$.
(2)$\because y = 5x + 50, \therefore$ 当 $x = 41$ 时, $y = 5 × 41 + 50 = 255$.
答:当该品牌鞋子为 41 码时,鞋子长度为 255 mm.
解析
【分析】
本题是求两个变量间的一次函数关系，已知对应值，采用待定系数法求解。思路为：①设一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$；②选取两组对应的$x$、$y$值代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组；③解方程组求出$k$和$b$，确定函数解析式；④将$x = 41$代入解析式，计算对应$y$值，得到41码鞋子的长度。
【解析】
(1)设鞋子长度$y$与码数$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=33,y=215\\x=36,y=230\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}33k + b = 215\\36k + b = 230\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k = 15$，解得$k = 5$；
将$k = 5$代入$33k + b = 215$，得$33×5 + b = 215$，解得$b = 50$；
因此函数解析式为$y = 5x + 50$。
(2)当$x = 41$时，代入$y = 5x + 50$，得$y = 5×41 + 50 = 255(mm)$。
【答案】
(1)函数解析式为$y = 5x + 50$；(2)41码鞋子的长度为255mm。
【知识点】
一次函数、待定系数法
【点评】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，属于基础应用题，步骤清晰，计算简单，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是求两个变量间的一次函数关系，已知对应值，采用待定系数法求解。思路为：①设一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$；②选取两组对应的$x$、$y$值代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组；③解方程组求出$k$和$b$，确定函数解析式；④将$x = 41$代入解析式，计算对应$y$值，得到41码鞋子的长度。
【解析】
(1)设鞋子长度$y$与码数$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=33,y=215\\x=36,y=230\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}33k + b = 215\\36k + b = 230\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k = 15$，解得$k = 5$；
将$k = 5$代入$33k + b = 215$，得$33×5 + b = 215$，解得$b = 50$；
因此函数解析式为$y = 5x + 50$。
(2)当$x = 41$时，代入$y = 5x + 50$，得$y = 5×41 + 50 = 255(mm)$。
【答案】
(1)函数解析式为$y = 5x + 50$；(2)41码鞋子的长度为255mm。
【知识点】
一次函数、待定系数法
【点评】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，属于基础应用题，步骤清晰，计算简单，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
21. (8分)如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于$A,B$两点.
(1)求出点$A$和点$B$的坐标;
(2)点$D$在直线$AB$上(点$D$不与点$B$重合),当$△ AOD$的面积等于$△ AOB$的面积时,求出点$D$的坐标.
(1)求出点$A$和点$B$的坐标;
(2)点$D$在直线$AB$上(点$D$不与点$B$重合),当$△ AOD$的面积等于$△ AOB$的面积时,求出点$D$的坐标.
答案
21. 【点拨】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点坐标,三角形面积计算与应用,掌握一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键.
【解析】(1)$\because y = -\dfrac{4}{3}x + 4$,
$\therefore$ 令 $x = 0$ 时, $y = 4$; 令 $y = 0$ 时, $x = 3$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$, 点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$.
(2)设点 $D$ 的坐标为 $(t, -\dfrac{4}{3}t + 4)$,
$\therefore S_{△ AOD} = \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t + 4 \right|, S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 = 6$.
$\because S_{△ AOD} = S_{△ AOB}, \therefore \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t + 4 \right| = 6$,
解得 $t_1 = 0$(舍去), $t_2 = 6$,
当 $t = 6$ 时, $-\dfrac{4}{3}t + 4 = -4$,
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(6, -4)$.
【解析】(1)$\because y = -\dfrac{4}{3}x + 4$,
$\therefore$ 令 $x = 0$ 时, $y = 4$; 令 $y = 0$ 时, $x = 3$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$, 点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$.
(2)设点 $D$ 的坐标为 $(t, -\dfrac{4}{3}t + 4)$,
$\therefore S_{△ AOD} = \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t + 4 \right|, S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 = 6$.
$\because S_{△ AOD} = S_{△ AOB}, \therefore \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t + 4 \right| = 6$,
解得 $t_1 = 0$(舍去), $t_2 = 6$,
当 $t = 6$ 时, $-\dfrac{4}{3}t + 4 = -4$,
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(6, -4)$.
解析
【分析】
第(1)问求一次函数与坐标轴交点，只需分别令y=0、x=0代入解析式计算即可得A、B坐标；第(2)问先算出△AOB的面积，再设点D坐标，用三角形面积公式表示△AOD的面积，利用面积相等列方程，注意绝对值保证面积非负，还要舍去与B重合的解，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 对于一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$，
令$y=0$，则$0 = -\dfrac{4}{3}x +4$，解得$x=3$，故点A坐标为$(3,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故点B坐标为$(0,4)$。
(2) 先计算$△ AOB$的面积：
$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2} × OA × OB = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 =6$。
设点D坐标为$(t, -\dfrac{4}{3}t +4)$，则$△ AOD$的底为$OA=3$，高为点D纵坐标的绝对值，因此：
$S_{△ AOD} = \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right|$。
由$S_{△ AOD}=S_{△ AOB}=6$，得：
$\dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right| =6$，
化简得$\left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right| =4$，
分两种情况：
① $-\dfrac{4}{3}t +4 =4$，解得$t=0$，此时点D为$(0,4)$，与点B重合，舍去；
② $-\dfrac{4}{3}t +4 = -4$，解得$t=6$，此时$y_D= -\dfrac{4}{3}×6 +4 = -4$，故点D坐标为$(6,-4)$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,4)$；(2) $D(6,-4)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，需掌握求交点坐标、利用面积关系求点坐标的方法，注意绝对值的处理和舍去重合点的细节，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问求一次函数与坐标轴交点，只需分别令y=0、x=0代入解析式计算即可得A、B坐标；第(2)问先算出△AOB的面积，再设点D坐标，用三角形面积公式表示△AOD的面积，利用面积相等列方程，注意绝对值保证面积非负，还要舍去与B重合的解，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 对于一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$，
令$y=0$，则$0 = -\dfrac{4}{3}x +4$，解得$x=3$，故点A坐标为$(3,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故点B坐标为$(0,4)$。
(2) 先计算$△ AOB$的面积：
$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2} × OA × OB = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 =6$。
设点D坐标为$(t, -\dfrac{4}{3}t +4)$，则$△ AOD$的底为$OA=3$，高为点D纵坐标的绝对值，因此：
$S_{△ AOD} = \dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right|$。
由$S_{△ AOD}=S_{△ AOB}=6$，得：
$\dfrac{1}{2} × 3 × \left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right| =6$，
化简得$\left| -\dfrac{4}{3}t +4 \right| =4$，
分两种情况：
① $-\dfrac{4}{3}t +4 =4$，解得$t=0$，此时点D为$(0,4)$，与点B重合，舍去；
② $-\dfrac{4}{3}t +4 = -4$，解得$t=6$，此时$y_D= -\dfrac{4}{3}×6 +4 = -4$，故点D坐标为$(6,-4)$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,4)$；(2) $D(6,-4)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，需掌握求交点坐标、利用面积关系求点坐标的方法，注意绝对值的处理和舍去重合点的细节，难度适中。
【难度系数】
0.6
