登录
16. (6 分)计算:
(1)$(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$；
(2)$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$.
(1)$(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$；
(2)$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$.
答案
16. 【点拨】本题考查实数的混合运算,二次根式的混合运算,熟练掌握零次幂、负整数指数幂、平方差公式和完全平方公式是解题的关键.
【解析】(1) $(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$
$= 1 - 2\sqrt{3} × \sqrt{3} + 1$
$= 1 - 6 + 1$
$= -4$.
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$
$= (\sqrt{5})^2 - 3^2 - (5 - 2\sqrt{5} + 1)$
$= 5 - 9 - 5 + 2\sqrt{5} - 1$
$= 2\sqrt{5} - 10$.
【解析】(1) $(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$
$= 1 - 2\sqrt{3} × \sqrt{3} + 1$
$= 1 - 6 + 1$
$= -4$.
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$
$= (\sqrt{5})^2 - 3^2 - (5 - 2\sqrt{5} + 1)$
$= 5 - 9 - 5 + 2\sqrt{5} - 1$
$= 2\sqrt{5} - 10$.
解析
【分析】
本题考查实数与二次根式的混合运算，解题时需明确各运算规则：(1)中，非零数的零次幂为1，二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；(2)中需运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，再按运算顺序逐步计算。
【解析】
(1) $(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$
$= 1 - 2\sqrt{3} × \sqrt{3} + 1$
$= 1 - 6 + 1$
$= -4$；
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$
$= (\sqrt{5})^2 - 3^2 - (5 - 2\sqrt{5} + 1)$
$= 5 - 9 - 5 + 2\sqrt{5} - 1$
$= 2\sqrt{5} - 10$。
【答案】
(1) $-4$；(2) $2\sqrt{5} - 10$
【知识点】
实数的混合运算，二次根式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础运算题，重点考查零指数幂、负整数指数幂的运算规则，以及平方差、完全平方公式在二次根式运算中的应用，计算时需注意运算顺序和符号处理，难度适中，是学生需熟练掌握的题型。
【难度系数】
0.7
本题考查实数与二次根式的混合运算，解题时需明确各运算规则：(1)中，非零数的零次幂为1，二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；(2)中需运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，再按运算顺序逐步计算。
【解析】
(1) $(π - 3.14)^0 - \sqrt{12} × \sqrt{3} + 1^{-2}$
$= 1 - 2\sqrt{3} × \sqrt{3} + 1$
$= 1 - 6 + 1$
$= -4$；
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)^2$
$= (\sqrt{5})^2 - 3^2 - (5 - 2\sqrt{5} + 1)$
$= 5 - 9 - 5 + 2\sqrt{5} - 1$
$= 2\sqrt{5} - 10$。
【答案】
(1) $-4$；(2) $2\sqrt{5} - 10$
【知识点】
实数的混合运算，二次根式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础运算题，重点考查零指数幂、负整数指数幂的运算规则，以及平方差、完全平方公式在二次根式运算中的应用，计算时需注意运算顺序和符号处理，难度适中，是学生需熟练掌握的题型。
【难度系数】
0.7
17. (6分)(1)若$y - 2$与$2x + 3$成正比例,且当$x = 1$时,$y = 12$. 求$y$与$x$的函数解析式;
(2)已知一次函数$y = kx + b(k ≠ 0)$的图象与直线$y = x$平行,且经过点$B(2,6)$. 求该一次函数的解析式.
(2)已知一次函数$y = kx + b(k ≠ 0)$的图象与直线$y = x$平行,且经过点$B(2,6)$. 求该一次函数的解析式.
答案
17. 【点拨】本题考查一次函数的解析式,审清题意,代入坐标即可求解.
【解析】(1)设 $y - 2 = k(2x + 3)(k ≠ 0)$.
将 $x = 1, y = 12$ 代入上式, 得 $12 - 2 = k(2 × 1 + 3)$, 解得 $k = 2$,
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 4x + 8$.
(2)$\because$ 一次函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的图象与直线 $y = x$ 平行,
$\therefore k = 1, \therefore y = x + b$,
将点 $B(2,6)$ 代入上式, 得 $6 = 2 + b$, 解得 $b = 4$,
$\therefore$ 该一次函数的解析式为 $y = x + 4$.
【解析】(1)设 $y - 2 = k(2x + 3)(k ≠ 0)$.
将 $x = 1, y = 12$ 代入上式, 得 $12 - 2 = k(2 × 1 + 3)$, 解得 $k = 2$,
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 4x + 8$.
(2)$\because$ 一次函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的图象与直线 $y = x$ 平行,
$\therefore k = 1, \therefore y = x + b$,
将点 $B(2,6)$ 代入上式, 得 $6 = 2 + b$, 解得 $b = 4$,
$\therefore$ 该一次函数的解析式为 $y = x + 4$.
解析
【分析】
第(1)问中，根据“两个量成正比例”的关系，先设出对应的正比例函数表达式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到y与x的函数解析式；第(2)问里，一次函数图象与直线y=x平行，说明它们的斜率k相等，先确定k的值，再代入已知点求出b，即可得到一次函数的解析式。
【解析】
(1) 因为$y - 2$与$2x + 3$成正比例，所以设$y - 2 = k(2x + 3)(k≠0)$。
将$x = 1$，$y = 12$代入上式，得$12 - 2 = k(2×1 + 3)$，即$10 = 5k$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$y - 2 = 2(2x + 3)$，化简得$y = 4x + 8$，即$y$与$x$的函数解析式为$y = 4x + 8$。
(2) 因为一次函数$y = kx + b(k≠0)$的图象与直线$y = x$平行，平行直线的斜率相等，直线$y = x$的斜率为1，所以$k = 1$，此时函数为$y = x + b$。
将点$B(2,6)$代入$y = x + b$，得$6 = 2 + b$，解得$b = 4$。
所以该一次函数的解析式为$y = x + 4$。
【答案】
(1)$y = 4x + 8$；(2)$y = x + 4$
【知识点】
一次函数解析式、正比例关系、平行线的斜率性质
【点评】
本题是一次函数解析式的基础应用，考查正比例函数的设式求解、平行直线的斜率特征，属于常规基础题型，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
第(1)问中，根据“两个量成正比例”的关系，先设出对应的正比例函数表达式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到y与x的函数解析式；第(2)问里，一次函数图象与直线y=x平行，说明它们的斜率k相等，先确定k的值，再代入已知点求出b，即可得到一次函数的解析式。
【解析】
(1) 因为$y - 2$与$2x + 3$成正比例，所以设$y - 2 = k(2x + 3)(k≠0)$。
将$x = 1$，$y = 12$代入上式，得$12 - 2 = k(2×1 + 3)$，即$10 = 5k$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$y - 2 = 2(2x + 3)$，化简得$y = 4x + 8$，即$y$与$x$的函数解析式为$y = 4x + 8$。
(2) 因为一次函数$y = kx + b(k≠0)$的图象与直线$y = x$平行，平行直线的斜率相等，直线$y = x$的斜率为1，所以$k = 1$，此时函数为$y = x + b$。
将点$B(2,6)$代入$y = x + b$，得$6 = 2 + b$，解得$b = 4$。
所以该一次函数的解析式为$y = x + 4$。
【答案】
(1)$y = 4x + 8$；(2)$y = x + 4$
【知识点】
一次函数解析式、正比例关系、平行线的斜率性质
【点评】
本题是一次函数解析式的基础应用，考查正比例函数的设式求解、平行直线的斜率特征，属于常规基础题型，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
18. (6分)如图,在平面直角坐标系中操作.
(1)画出函数$y=2x-4$的图象(不要求列表);
(2)若$-2≤ y≤4$,直接写出$x$的取值范围.
(1)画出函数$y=2x-4$的图象(不要求列表);
(2)若$-2≤ y≤4$,直接写出$x$的取值范围.
答案
18. 【点拨】本题考查一次函数的性质,一次函数的图象,能根据题意画出函数图象是解题的关键.
【解析】(1)令 $x = 0$, 则 $y = -4$; 令 $y = 0$, 则 $x = 2$.
函数 $y = 2x - 4$ 的图象如图所示.
(2)由图象可知, 当 $-2 ≤ y ≤ 4$ 时, $x$ 的取值范围为 $1 ≤ x ≤ 4$.
解析
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题思路：（1）画一次函数图象需确定两个关键的点，通常选取函数与坐标轴的交点，计算出交点坐标后描点连线即可得到函数图象；（2）求$y$在$-2$到$4$之间的$x$范围，可通过代入$y$的值求解对应的$x$，或结合一次函数的增减性，找到$y=-2$和$y=4$对应的$x$值，进而确定$x$的取值范围。
【解析】（1）对于函数$y=2x-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即与$y$轴交点为$(0,-4)$；令$y=0$，得$0=2x-4$，解得$x=2$，即与$x$轴交点为$(2,0)$。在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，即为函数$y=2x-4$的图象。（2）当$y=-2$时，代入函数得$-2=2x-4$，解得$x=1$；当$y=4$时，代入函数得$4=2x-4$，解得$x=4$。因为一次函数$y=2x-4$中$k=2＞0$，函数值随$x$的增大而增大，所以当$-2≤y≤4$时，$x$的取值范围是$1≤x≤4$。
【答案】（1）函数$y=2x-4$的图象如图所示；（2）$1≤x≤4$
【知识点】一次函数图象、一次函数性质
【点评】本题是一次函数的基础应用题，重点考查一次函数图象的绘制方法及利用函数增减性求自变量范围，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】（1）对于函数$y=2x-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即与$y$轴交点为$(0,-4)$；令$y=0$，得$0=2x-4$，解得$x=2$，即与$x$轴交点为$(2,0)$。在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，即为函数$y=2x-4$的图象。（2）当$y=-2$时，代入函数得$-2=2x-4$，解得$x=1$；当$y=4$时，代入函数得$4=2x-4$，解得$x=4$。因为一次函数$y=2x-4$中$k=2＞0$，函数值随$x$的增大而增大，所以当$-2≤y≤4$时，$x$的取值范围是$1≤x≤4$。
【答案】（1）函数$y=2x-4$的图象如图所示；（2）$1≤x≤4$
【知识点】一次函数图象、一次函数性质
【点评】本题是一次函数的基础应用题，重点考查一次函数图象的绘制方法及利用函数增减性求自变量范围，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】0.3
