24. (12分)直线$y=-x+6$与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$和点$B$，点$A$在$x$轴负半轴，且$OB=2OA$.
(1)求直线$AB$的解析式；
(2)如图1，$P$为线段$AB$上一个动点，过点$P$作$PQ // y$轴，交直线$y=-x+6$于点$Q$.若$PQ=3$，求此时点$P$的坐标；
(3)如图2，$M$是$BC$的中点，$N$为直线$AB$上的一个动点，连接$MN$，若$∠ BNM = 45°$，求点$N$的坐标.




武汉二中广雅中学八年级第二次月考数学真卷
武汉外国语学校八年级第二次月考数学真卷
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24. 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,待定系数法求函数解析式,添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【解析】(1)$\because$ 直线 $y = -x + 6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $C$ 和点 $B$,
$\therefore B(0,6), C(6,0), \therefore OB = OC = 6$.
$\because OB = 2OA, \therefore OA = 3$.
$\because$ 点 $A$ 在 $x$ 负半轴, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$.
设直线 $AB$ 的解析式为 $y = kx + 6(k ≠ 0)$,
$\therefore 0 = -3k + 6$, 解得 $k = 2$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y = 2x + 6$.
(2)$\because P$ 为线段 $AB$ 上一个动点, $PQ // y$ 轴, 点 $Q$ 在直线 $BC$ 上,
$\therefore$ 设 $P$ 点的坐标为 $(x_P, 2x_P + 6)$, 则点 $Q$ 坐标为 $(x_P, -x_P + 6)$.
$\because PQ = 3, \therefore |(2x_P + 6) - (-x_P + 6)| = 3$,
化简得 $|3x_P| = 3, \therefore x_P = 1$ 或 $x_P = -1$.
$\because$ 线段 $AB$ 中 $x$ 的取值范围为 $-3 ≤ x ≤ 0$, 点 $P$ 在线段 $AB$ 上, $\therefore x_P = 1$ 不合题意,
$\therefore x_P = -1, 2x_P + 6 = 4$,
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-1,4)$.
(3)如图 1, 当点 $N$ 在点 $B$ 下方时, 过点 $M$ 作 $MH ⊥ MN$ 交 $AB$ 于点 $H$, 过点 $M$ 作 $MD ⊥ AC$ 于点 $D$, 过点 $N$ 作 $NF ⊥$ 直线 $MD$ 于点 $F$, 过点 $H$ 作 $HE ⊥ MD$ 交 $DM$ 的延长线于点 $E$,
$\therefore ∠ NMH = 90° = ∠ HEM = ∠ NFM$,
$\therefore ∠ NMF + ∠ HME = 90° = ∠ NMF + ∠ MNF, \therefore ∠ HME = ∠ MNF$.
$\because ∠ BNM = 45°$,
$\therefore △ NHM$ 是等腰直角三角形,
$\therefore MN = MH$,
$\therefore △ NMF ≌ △ MHE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore MF = HE, NF = EM$.
$\because M$ 是 $BC$ 的中点, $B(0,6), C(6,0)$,

$\therefore M(3,3)$.
设点 $N(n, 2n + 6)$,
$\therefore MF = 3 - 2n - 6 = -3 - 2n = HE, NF = 3 - n = EM$,
$\therefore H(6 + 2n, 6 - n), \therefore 6 - n = 2(6 + 2n) + 6$,
解得 $n = -\dfrac{12}{5}, 2 × (-\dfrac{12}{5}) + 6 = \dfrac{6}{5}$,
$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(-\dfrac{12}{5}, \dfrac{6}{5})$;
如图 2, 当点 $N$ 在点 $B$ 上方时, 过点 $M$ 作 $MH ⊥ MN$ 交 $AB$ 于点 $H$, 过点 $M$ 作 $MD ⊥ AC$ 于点 $D$, 过点 $H$ 作 $HE ⊥ MD$ 于点 $E$, 过点 $N$ 作 $NF ⊥ DM$ 交 $DM$ 的延长线于点 $F$,
同理 $△ NMF ≌ △ MHE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore MF = HE, NF = EM$.
$\because M$ 是 $BC$ 的中点, $B(0,6), C(6,0)$,
$\therefore M(3,3)$.
设点 $N(a, 2a + 6)$,
$\therefore MF = 2a + 6 - 3 = 2a + 3 = HE, NF = 3 - a$
$= EM, \therefore H(-2a, a)$,
$\therefore a = 2 × (-2a) + 6, \therefore a = \dfrac{6}{5}, 2 × \dfrac{6}{5} + 6 =$
$\dfrac{42}{5}, \therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(\dfrac{6}{5}, \dfrac{42}{5})$.

综上所述, 点 $N$ 的坐标为 $(-\dfrac{12}{5}, \dfrac{6}{5})$ 或 $(\dfrac{6}{5}, \dfrac{42}{5})$.

【分析】
1. 求直线AB解析式：先由直线$y=-x+6$与y轴交点得B点坐标，结合$OB=2OA$及A在x负半轴确定A点坐标，用待定系数法求AB解析式；
2. 求点P坐标：PQ平行y轴，故P、Q横坐标相同，分别在AB、BC上，PQ长度为两点纵坐标差的绝对值，结合P在线段AB的x范围筛选得解；
3. 求点N坐标：M是BC中点，$∠ BNM=45°$，构造等腰直角三角形及全等三角形，分N在B下方、上方两种情况，利用全等对应边相等建立方程求解。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+6$，令$x=0$，得$y=6$，故$B(0,6)$，$OB=6$；
由$OB=2OA$，得$OA=3$，又A在x负半轴，故$A(-3,0)$；
设直线AB解析式为$y=kx+b$，代入$A(-3,0)$、$B(0,6)$，得：
$\begin{cases} b=6 \\ -3k + b=0 \end{cases}$，解得$k=2$，$b=6$，故直线AB解析式为$y=2x+6$；
(2) 设$P(x, 2x+6)$，因$PQ//y$轴，Q在直线BC上，故$Q(x, -x+6)$；
$PQ=|(2x+6)-(-x+6)|=|3x|=3$，解得$x=\pm1$；
因P在线段AB上，AB的x范围是$-3≤ x≤0$，故$x=-1$，代入得$P(-1,4)$；
(3) 直线BC：$y=-x+6$，令$x=6$得$C(6,0)$，M是BC中点，故$M(3,3)$；
分两种情况：
① N在B下方：过M作$MH⊥ MN$交AB于H，作$MD⊥ x$轴，$NF⊥ MD$，$HE⊥ MD$；
易证$△ NMF≌△ MHE(\mathrm{AAS})$，得$MF=HE$，$NF=EM$；
设$N(n,2n+6)$，则$MF=3-(2n+6)=-3-2n$，$NF=3-n$；
结合H在AB上，建立方程得$n=-\dfrac{12}{5}$，故$N(-\dfrac{12}{5}, \dfrac{6}{5})$；
② N在B上方：同理构造全等，设$N(a,2a+6)$，得方程$a=2×(-2a)+6$，解得$a=\dfrac{6}{5}$，故$N(\dfrac{6}{5}, \dfrac{42}{5})$；
【答案】直线AB的解析式为$y=2x+6$；点P的坐标为$(-1,4)$；点N的坐标为$(-\dfrac{12}{5}, \dfrac{6}{5})$或$(\dfrac{6}{5}, \dfrac{42}{5})$
【知识点】待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】本题是一次函数与几何的综合题，考查坐标与图形的关系，通过构造全等三角形解决角度问题，需分情况讨论，重点是辅助线构造和方程思想的应用，综合性较强。
【难度系数】0.5