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7. 如图,在四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点.当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时,下列结论成立的是(
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
C
)A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：E、F分别是AP、RP的中点，结合三角形中位线的判定特征，首先想到连接AR构造△APR，利用中位线定理建立EF与AR的长度关系；再判断AR的长度是否变化：点A是四边形的固定顶点，点R固定不动，因此AR是定长，由此就能推出EF的长度变化情况。
【解析】
连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵点A和点R的位置均固定不动，
∴线段AR的长度是定值，
因此$EF=\frac{1}{2}AR$也是定值，不随点P的移动发生变化，故结论C成立。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理的典型应用，解题的关键是通过连接辅助线AR，构造出中位线所在的三角形，再结合定点判断第三边为定长，即可快速得出结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：E、F分别是AP、RP的中点，结合三角形中位线的判定特征，首先想到连接AR构造△APR，利用中位线定理建立EF与AR的长度关系；再判断AR的长度是否变化：点A是四边形的固定顶点，点R固定不动，因此AR是定长，由此就能推出EF的长度变化情况。
【解析】
连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵点A和点R的位置均固定不动，
∴线段AR的长度是定值，
因此$EF=\frac{1}{2}AR$也是定值，不随点P的移动发生变化，故结论C成立。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理的典型应用，解题的关键是通过连接辅助线AR，构造出中位线所在的三角形，再结合定点判断第三边为定长，即可快速得出结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
8. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设(
A.三角形中有一个内角小于或等于60°
B.三角形中有两个内角小于或等于60°
C.三角形中有三个内角小于或等于60°
D.三角形中没有一个内角小于或等于60°
D
)A.三角形中有一个内角小于或等于60°
B.三角形中有两个内角小于或等于60°
C.三角形中有三个内角小于或等于60°
D.三角形中没有一个内角小于或等于60°
答案
8. D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。接下来先确定原命题的结论是“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，再找这个结论的否定表述：“至少有一个”的含义是存在1个及以上，它的反面就是1个都没有，也就是没有一个内角小于或等于60°，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，首先假设原命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，对其否定：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此否定后的表述为“三角形中没有一个内角小于或等于60°”，即应假设该内容，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的假设步骤，解题核心是正确对原命题的结论进行否定，掌握“至少有一个”“至多有n个”这类常见限定词的否定形式是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。接下来先确定原命题的结论是“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，再找这个结论的否定表述：“至少有一个”的含义是存在1个及以上，它的反面就是1个都没有，也就是没有一个内角小于或等于60°，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，首先假设原命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，对其否定：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此否定后的表述为“三角形中没有一个内角小于或等于60°”，即应假设该内容，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的假设步骤，解题核心是正确对原命题的结论进行否定，掌握“至少有一个”“至多有n个”这类常见限定词的否定形式是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$上的动点,连接$DE$,$F$,$G$分别是$CE$,$DE$的中点,则$FG$的最小值为
4.8
. 答案
9. 4.8
解析
【分析】
解题可按三步思路推导：第一步，观察到F、G分别是CE、DE的中点，可联想到三角形中位线定理，得出FG和CD的数量关系；第二步，求FG的最小值可转化为求CD的最小值，根据垂线段最短的性质，可知当CD垂直AB时，CD的长度最小；第三步，先计算等腰△ABC的面积，再用面积法求出CD的最小值，即可得到FG的最小值。
【解析】
1. 因为F是CE的中点，G是DE的中点，所以FG是△CDE的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$\boldsymbol{FG=\frac{1}{2}CD}$，因此FG的最小值对应CD的最小值。
2. 根据“垂线段最短”的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小。
3. 计算等腰△ABC的面积：过A作AH⊥BC于H，因为AB=AC=10，BC=12，所以BH=CH=6，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×12×8=48$。
4. 用面积法求CD的最小值：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$，代入数据得$\frac{1}{2}×10× CD=48$，解得$CD=9.6$。
5. 因此FG的最小值为$\frac{1}{2}×9.6=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，等腰三角形性质
【点评】
本题核心是通过三角形中位线的性质，将求未知线段FG的最小值转化为求线段CD的最小值，结合垂线段最短的性质和面积法计算高，考查了转化思想的应用，是三角形性质综合应用的典型题。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思路推导：第一步，观察到F、G分别是CE、DE的中点，可联想到三角形中位线定理，得出FG和CD的数量关系；第二步，求FG的最小值可转化为求CD的最小值，根据垂线段最短的性质，可知当CD垂直AB时，CD的长度最小；第三步，先计算等腰△ABC的面积，再用面积法求出CD的最小值，即可得到FG的最小值。
【解析】
1. 因为F是CE的中点，G是DE的中点，所以FG是△CDE的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$\boldsymbol{FG=\frac{1}{2}CD}$，因此FG的最小值对应CD的最小值。
2. 根据“垂线段最短”的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小。
3. 计算等腰△ABC的面积：过A作AH⊥BC于H，因为AB=AC=10，BC=12，所以BH=CH=6，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×12×8=48$。
4. 用面积法求CD的最小值：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$，代入数据得$\frac{1}{2}×10× CD=48$，解得$CD=9.6$。
5. 因此FG的最小值为$\frac{1}{2}×9.6=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，等腰三角形性质
【点评】
本题核心是通过三角形中位线的性质，将求未知线段FG的最小值转化为求线段CD的最小值，结合垂线段最短的性质和面积法计算高，考查了转化思想的应用，是三角形性质综合应用的典型题。
【难度系数】
0.6
