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10. 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,$BE⊥ AC$于点$E$,$AD$与$BE$相交于点$H$.
求证:$AD$与$BE$不能被点$H$互相平分.(用反证法证明)
求证:$AD$与$BE$不能被点$H$互相平分.(用反证法证明)
答案
假设$AD,BE$被点$H$互相平分,连结$DE$,则四边形$ABDE$是平行四边形.
$\therefore AE// BD$,即$AC// BC$. 这与“$AC,BC$相交于点$C$”矛盾,$\therefore AD,BE$被点$H$互相平分的假设不成立. $\therefore AD$与$BE$不能被点$H$互相平分.
$\therefore AE// BD$,即$AC// BC$. 这与“$AC,BC$相交于点$C$”矛盾,$\therefore AD,BE$被点$H$互相平分的假设不成立. $\therefore AD$与$BE$不能被点$H$互相平分.
解析
【分析】
本题需用反证法证明，首先明确反证法的核心步骤：第一步先反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设AD、BE能被点H互相平分；第二步归谬，结合平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可推出四边形ABDE是平行四边形，进而得到对边平行，即AE//BD也就是AC//BC，这与AC、BC是△ABC的两边、相交于点C的事实矛盾；第三步存真，由推导的矛盾说明假设不成立，即可证明原命题成立。
【解析】
证明：假设$AD,BE$被点$H$互相平分，连结$DE$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形$ABDE$是平行四边形。
$\therefore AE// BD$，即$AC// BC$。
这与“$AC,BC$相交于点$C$”矛盾，$\therefore AD,BE$被点$H$互相平分的假设不成立。
$\therefore AD$与$BE$不能被点$H$互相平分。
【答案】
$AD$与$BE$不能被点$H$互相平分，证明过程如上。
【知识点】
反证法，平行四边形的判定与性质，两直线的位置关系
【点评】
本题侧重考查反证法的应用，解题关键是正确作出反设，结合平行四边形的相关性质推导出和已知事实矛盾的结论，能够帮助学生理解反证法的证明逻辑，巩固平行四边形的相关知识。
【难度系数】
0.7
本题需用反证法证明，首先明确反证法的核心步骤：第一步先反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设AD、BE能被点H互相平分；第二步归谬，结合平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可推出四边形ABDE是平行四边形，进而得到对边平行，即AE//BD也就是AC//BC，这与AC、BC是△ABC的两边、相交于点C的事实矛盾；第三步存真，由推导的矛盾说明假设不成立，即可证明原命题成立。
【解析】
证明：假设$AD,BE$被点$H$互相平分，连结$DE$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形$ABDE$是平行四边形。
$\therefore AE// BD$，即$AC// BC$。
这与“$AC,BC$相交于点$C$”矛盾，$\therefore AD,BE$被点$H$互相平分的假设不成立。
$\therefore AD$与$BE$不能被点$H$互相平分。
【答案】
$AD$与$BE$不能被点$H$互相平分，证明过程如上。
【知识点】
反证法，平行四边形的判定与性质，两直线的位置关系
【点评】
本题侧重考查反证法的应用，解题关键是正确作出反设，结合平行四边形的相关性质推导出和已知事实矛盾的结论，能够帮助学生理解反证法的证明逻辑，巩固平行四边形的相关知识。
【难度系数】
0.7
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必过第三边的中点.通过此方法,我们可以将一条已知线段平分.类比此方法,我们可以将一条已知线段任意等分.请根据表格中的要求完成填空:
二等分已知线段AB 类比猜想→五等分已知线段AB
| | 二等分已知线段AB | 五等分已知线段AB |
| --- | --- | --- |
| 示意图 |
| |
| 画法 | 1. 以A为端点作一条线段AC,连结BC
2. 取AC中点D,过D作DE//BC 交AB于点E.
点E即为线段AB的中点 | |
| 验证 | 参阅浙教版《数学》八下教材"三角形的中位线"部分 | 参阅浙教版《数学》九上教材"由平行线截得的比例线段"部分 |
| 学法指导 | 定义既可作为图形的性质又可作为图形判定的依据;图形的性质和判定的研究有一定的结构顺序,且经常互逆. | |
【尝试解决】
已知线段a,利用所学方法,把它分成长度比为2:3的两条线段.
二等分已知线段AB 类比猜想→五等分已知线段AB
| | 二等分已知线段AB | 五等分已知线段AB |
| --- | --- | --- |
| 示意图 |
| || 画法 | 1. 以A为端点作一条线段AC,连结BC
2. 取AC中点D,过D作DE//BC 交AB于点E.
点E即为线段AB的中点 | |
| 验证 | 参阅浙教版《数学》八下教材"三角形的中位线"部分 | 参阅浙教版《数学》九上教材"由平行线截得的比例线段"部分 |
| 学法指导 | 定义既可作为图形的性质又可作为图形判定的依据;图形的性质和判定的研究有一定的结构顺序,且经常互逆. | |
【尝试解决】
已知线段a,利用所学方法,把它分成长度比为2:3的两条线段.
答案
示意图：
画法：① 以$A$为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$. ② 连结$A_5B$,并过点$A_1,A_2,A_3,A_4$分别作$A_5B$的平行线,依次交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$. 点$B_1,B_2,B_3,B_4$就是所求的作的把线段$AB$五等分的点. 略.
解析
【分析】
解题时先总结二等分线段的通用规律：第一步从待等分线段的端点引出辅助线，将辅助线按等分要求分成对应份数；第二步作平行线，利用平行的性质把辅助线的等分比转移到原线段上。按照这个规律，五等分线段AB时，只需将过A点的辅助线分成5等份，再作平行线即可。要得到长度比为2:3的两条线段，本质是把线段分成5份，取2份和3份的分界点，在五等分点中选取第二个分点即可。
【解析】
五等分已知线段AB部分：
1. 示意图：见参考答案对应的图示。
2. 画法步骤：
① 以$A$为端点作一条射线，并在射线上依次截取长度相等的线段，使得$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$；
② 连结$A_5B$，并过点$A_1,A_2,A_3,A_4$分别作$A_5B$的平行线，依次交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$，这四个点就是线段AB的五等分点。
尝试解决（分线段为2:3两部分）：
设待分线段为AB，完成上述五等分作图后，取分点$B_2$，此时$AB_2:B_2B=2:3$，点$B_2$即为所求的分割点。
【答案】
示意图：
画法：① 以$A$为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$. ② 连结$A_5B$,并过点$A_1,A_2,A_3,A_4$分别作$A_5B$的平行线,依次交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$. 点$B_1,B_2,B_3,B_4$就是所求作的把线段$AB$五等分的点。
分线段为2:3的方法：取五等分点中的第二个点$B_2$，即满足$AB_2:B_2B=2:3$。
【知识点】
平行线分线段成比例，线段等分作图，类比推理
【点评】
本题通过类比二等分线段的方法探究多等分线段的作法，核心是利用平行线分线段成比例的性质，既考查了知识迁移能力，也体现了类比思想在几何作图中的应用，掌握该方法后可实现线段的任意等分或任意比例分割。
【难度系数】
0.7
解题时先总结二等分线段的通用规律：第一步从待等分线段的端点引出辅助线，将辅助线按等分要求分成对应份数；第二步作平行线，利用平行的性质把辅助线的等分比转移到原线段上。按照这个规律，五等分线段AB时，只需将过A点的辅助线分成5等份，再作平行线即可。要得到长度比为2:3的两条线段，本质是把线段分成5份，取2份和3份的分界点，在五等分点中选取第二个分点即可。
【解析】
五等分已知线段AB部分：
1. 示意图：见参考答案对应的图示。
2. 画法步骤：
① 以$A$为端点作一条射线，并在射线上依次截取长度相等的线段，使得$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$；
② 连结$A_5B$，并过点$A_1,A_2,A_3,A_4$分别作$A_5B$的平行线，依次交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$，这四个点就是线段AB的五等分点。
尝试解决（分线段为2:3两部分）：
设待分线段为AB，完成上述五等分作图后，取分点$B_2$，此时$AB_2:B_2B=2:3$，点$B_2$即为所求的分割点。
【答案】
示意图：
画法：① 以$A$为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$. ② 连结$A_5B$,并过点$A_1,A_2,A_3,A_4$分别作$A_5B$的平行线,依次交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$. 点$B_1,B_2,B_3,B_4$就是所求作的把线段$AB$五等分的点。
分线段为2:3的方法：取五等分点中的第二个点$B_2$，即满足$AB_2:B_2B=2:3$。
【知识点】
平行线分线段成比例，线段等分作图，类比推理
【点评】
本题通过类比二等分线段的方法探究多等分线段的作法，核心是利用平行线分线段成比例的性质，既考查了知识迁移能力，也体现了类比思想在几何作图中的应用，掌握该方法后可实现线段的任意等分或任意比例分割。
【难度系数】
0.7
