【生活情境】一位很有名望的木工师傅招收了两名徒弟.他们各自用一块四边形废料做了一扇矩形门,完成之后,两人都觉得自己做的门是矩形但对方的不是.大徒弟说:“我用角尺量了门的任意三个角,发现他们都是直角,所以我做的这个门一定是矩形.”二徒弟说:“我用直尺量了门的两组对边和两条对角线,发现它们的长度相等,所以我做的这个门一定是矩形.”

【问题提出】根据他们的对话,你能肯定他们做的门一定是矩形吗?
【问题分析】(1) 已知:在四边形$ABCD$中,$∠ A=∠ B=∠ C=90°$.求证:四边形$ABCD$是矩形.(2) 已知:在四边形$ABCD$中,$AB=CD$,$AD=BC$,$AC=BD$.求证:四边形$ABCD$是矩形.
【问题解决】
【问题反思】矩形是人们日常生活中最常见、应用最广泛的一种几何图形,此题帮助学生体会几何知识来源于生活又应用于生活的辩证关系.在研究几何图形之间的从属关系时,也涉及辩证思维和认识论的一些观点,有利于发展学生的逻辑思维能力.

他们所做的门都是矩形.

【分析】
解决本题需要结合矩形的判定定理逐步推导：
1. 针对大徒弟的情况，已知四边形三个角为直角，可先利用四边形内角和求出第四个角的度数，再根据矩形的定义判定是否为矩形；
2. 针对二徒弟的情况，先根据两组对边相等判定该四边形是平行四边形，再结合对角线相等的条件，利用平行四边形中矩形的判定定理判断即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形的内角和为$360°$，且$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，
∴ $∠ D = 360° - ∠ A - ∠ B - ∠ C = 360° - 90°×3 = 90°$，
∴ 四边形$ABCD$的四个内角均为直角，
∴ 四边形$ABCD$是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）。
(2) 证明：
∵ $AB=CD$，$AD=BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
又
∵ $AC=BD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
综上可知，两名徒弟做的门都满足矩形的判定条件，都是矩形。
【答案】
他们所做的门都是矩形。
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；四边形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的木工制作场景考查特殊四边形的判定，既体现了数学知识的实用性，也要求同学们熟练掌握矩形、平行四边形的判定定理，能灵活运用定理完成逻辑推导，解决实际判断类问题。
【难度系数】
0.8