1 如图, A B 为$\odot O$的弦, 且点 C 在 A B 上. 若$AC=6,BC=2$, 且圆心 O 到 A B 的距离为 3 , 则 O C 的长为
（）




A.3
B.4
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{13}$

1. D

2 如图，$AB$，$AC$ 是$\odot O$ 的弦，$OB$，$OC$ 是$\odot O$ 的半径，$P$ 为$OB$ 上任意一点(点 $P$ 不与点 $B$ 重合)，连接 $CP$. 若$∠ BAC=70^{\circ }$，则$∠ BPC$ 的度数可能是（）

A.$70^{\circ }$
B.$105^{\circ }$
C.$125^{\circ }$
D.$155^{\circ }$

2. D

3 已知点 A, B, C 在 $\odot O$ 上. 若 $∠ AOC=80°$, 则 $∠ ABC$ 的度数为（）

A.$40°$
B.$100°$
C.$40°$或$140°$
D.$40°$或$100°$

3. C

4 [2024 西藏]如图，$AC$ 为$\odot O$ 的直径，点 $B,D$ 在$\odot O$ 上，$∠ ABD=60°,CD=2$，则 $AD$ 的长为（）

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4

4. C

5 如图,矩形 OABC 的边 OA,OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,点 D 在 OA 的延长线上.已知 A(2,0),D(4,0),以点 O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点 B,交 y 轴的正半轴于点 E,连接 DE,BE,则$∠ BED$的度数是（）

A.$15^{\circ }$
B.$22.5^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

5. C

6 [2025 南充]如图,AB 是$\odot O$的直径,$AD ⊥ AB$于点 A,OD 交$\odot O$于点 C,$AE ⊥ OD$于点 E,交$\odot O$于点 F,F 为$\overset{\frown}{BC}$的中点,P 为线段 AB 上一动点.若$CD=4$,则$PE+PF$的最小值是（）



A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$

6. C 【解析】如图, 延长 DO 交 $\odot O$ 于点 M, 连接 PM, PF, PE,OF. $\because AE ⊥ OD$ 于点 E, 交 $\odot O$ 于点 F, F 为 $\overgroup{BC}$ 的中点, $\therefore \overgroup{AC}=$ $\overgroup{CF}=\overgroup{BF}, \therefore ∠ AOC=∠ COF=∠ BOF. \because ∠ AOC+∠ COF+$ $∠ BOF=180°, \therefore ∠ AOC=∠ COF=∠ BOF=60°, \therefore ∠ BOM=$ $∠ AOC=60°=∠ BOF, \therefore$ 易得点 F 关于 AB 的对称点为 M, $\therefore PM=PF, \therefore PE+PF=PE+PM ≥EM$ . 当 E, P, M 三点共线时, PE+PF 的值最小, 最小值为 EM 的长. $\because ∠ AOC=60°, A D ⊥$ $A B, \therefore ∠ D=30°, \therefore O D=2 O A. \because C D=4, \therefore O D=O C+4=$ 2 O A=2 O C, 即 $O C=4, \therefore O C=O A=O M=4 . \because A F ⊥ O C$ , $∠ AOC=60°, \therefore ∠ OAE=30°, \therefore OE=\frac{1}{2} OA=2, \therefore EM=OE+$ O M=2+4=6, 即 P E+P F 的最小值为 6.

7 [2025 内江改编]如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为$E$.若$CD=8$,$AB=$$10$,则$BE$的长为.

7. 2

8 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,点$E$在$CD$的延长线上.若$∠ ADE=70^{ \circ }$,则$∠ AOC=\_\_\_\_\_\_°$.

8. 140

9 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a+b^{2}+|c-6|+28=4\sqrt{a-1}+10b$,则$△ ABC$的外接圆的半径为.

9. $\frac{25}{8}$