15 [2025 内江]如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$在第二象限内的图象与一次函数$y=$$k_{2}x+b$的图象相交于$A(a,6)$,$B(-6,1)$两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_{2}x+b-\dfrac{k_{1}}{x} ≥ 0$的解集.
(3) 过直线$AB$上的点$C$作$CD // x$轴,交反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$在第二象限内的图象于点$D$,连接$BD$,$OD$,$OB$.若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.

15. (1) $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 在第二象限内的图象过点 $B(-6,1)$,$\therefore k_1=-6× 1=-6,\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}.\because$ 点 $A(a,6)$ 在反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}$ 在第二象限内的图象上, $\therefore 6=-\dfrac{6}{a}$, 解得$a=-1,\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-1,6)$. $\because$ 一次函数的图象经过 $A(-1,6),B(-6,1)$ 两点, $\therefore \begin{cases} -k+b=6,\\ -6k+b=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1,\\ b=7, \end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x+7$ (2) $-6≤ x≤ -1$ (3) $\because$ 把 $x=-4$ 代入 $y=x+7$, 得 $y=-4+7=3,\therefore C(-4,3).\because CD// x$ 轴, $\therefore y_D=y_C=3$,$\therefore x_D=-\dfrac{6}{3}=-2,\therefore D(-2,3)$. 如图, 过点 $B,D$ 分别作 $x$ 轴的垂线, 垂足分别为 $F,E$. $\because B(-6,1),D(-2,3),\therefore DE=3,BF=1$,$EF=-2-(-6)=4.\because S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{\mathrm{梯形}BFED}+S_{△ DEO}$,$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3,\therefore S_{△ BOD}=S_{\mathrm{梯形}BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF)· EF=$$\dfrac{1}{2}×(3+1)× 4=8$

16 如图，$A(-4,\dfrac{1}{2}),B(-1,2)$是一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与函数$y=\dfrac{m}{x}(m≠0,x＜0)$的图象的两个交点，$AC⊥ x$轴于点$C$，$BD⊥ y$轴于点$D$。
（1）在第二象限内，当$ax+b-\dfrac{m}{x}＞0$时，$x$的取值范围是。
（2）求一次函数的表达式及$m$的值。
（3）$P$是线段$AB$上一点，连接$PC$，$PD$。若$△ PCA$和$△ PDB$的面积相等，求点$P$的坐标。
（4）若在$y$轴上存在点$Q$，使得$QC-QB$的值最大，则该最大值为，此时点$Q$的坐标为。

16. (1) $-4＜x＜-1$ (2) $\because$ 函数 $y=\dfrac{m}{x}(m≠ 0,x＜0)$ 的图象过点 $B(-1,2),\therefore m=-1× 2=-2.\because$ 一次函数 $y=ax+b(a≠ 0)$ 的图象过点 $A(-4,\dfrac{1}{2}),B(-1,2),\therefore \begin{cases} -4a+b=\dfrac{1}{2},\\ -a+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ b=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$ (3) 设点 $P$ 的坐标为$(t,\dfrac{1}{2}t+\dfrac{5}{2})(t＞0)$. 如图, 过点 $P$ 作 $PM⊥ x$ 轴于点 $M,PN⊥ y$ 轴于点 $N$, 则 $PM=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{5}{2},PN=-t.\because △ PCA$ 和 $△ PDB$ 的面积相等, $\therefore \dfrac{1}{2}AC· CM=\dfrac{1}{2}BD· DN$, 即 $\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(t+4)=\dfrac{1}{2}× 1×$$(2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{5}{2})$, 解得 $t=-\dfrac{5}{2},\therefore \dfrac{1}{2}t+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4},\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{4})$
(4) $\sqrt{13}\ \ (0,\dfrac{8}{3})$ 【解析】作直线 $BC$, 利用待定系数法求出直线 $BC$ 对应的函数表达式. 要使 $QC-QB$ 的值最大, 则 $Q$ 为直线 $BC$与 $y$ 轴的交点, 最大值是 $BC$ 的长. 求出 $BC$ 的长及点 $Q$ 的坐标即可.