10 如图, A C 是 $\odot O$ 的弦, $A C=5, B$ 是 $\odot O$ 上的一个动点, 且 $∠ A B C=45°, M, N$ 分别是 $A C, B C$ 的中点, 则 $M N$ 长的最大值是.

10. $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

11 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90^{ \circ }$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$AC$的延长线于点$D$,过点$C$作$CE // AB$,交$\overset{\frown}{BD}$于点$E$,连接$BE$,则$\dfrac{CE}{BE}$的值为.

11. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

12 [2024 潍坊]如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$AO// BC$,连接$CO$并延长,交$\odot O$于点$D$,分别以点$A,C$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}AC$的长为半径作弧,并使两弧交于圆外一点$M$,直线$OM$交$BC$于点$E$,连接$AE$.有下列结论:①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$;②$AB=OE$;③$∠ AOD=∠ BAC$;④四边形$AOCE$为菱形.其中,一定正确的是________(填序号).

12. ①②④ 【解析】 $\because A O / / B C, \therefore ∠ O A C=∠ A C B. \because O A=$ $O C, \therefore ∠ O A C=∠ A C O, \therefore ∠ A C B=∠ A C O, \therefore \overgroup{A B}=\overgroup{A D}$ . 故①正确. 连接 $A D . \because \overgroup{A B}=\overgroup{A D}, \therefore A B=A D$ . 根据作图步骤, 得点 M 在A C 的垂直平分线上. $\because O A=O C, \therefore$ 点 O 在 A C 的垂直平分线上, $\therefore$ 直线 O E 是 A C 的垂直平分线, $\therefore A E=C E, \therefore ∠ E A C=∠ A C B$ , $\therefore ∠ E A C=∠ A C O, \therefore A E / / O C, \therefore$ 四边形 A O C E 为平行四边形. $\because O A=O C, \therefore$ 四边形 A O C E 为菱形. 故④正确. $\therefore A E=O C$ . $\because O C=O D, \therefore A E=O D, \therefore$ 四边形 A E O D 是平行四边形, $\therefore A D=O E, \therefore A B=O E$ . 故②正确. 根据已知条件, 无法说明 $∠ A O D=∠ B A C$ 的正确性.

13 如图, C D 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $A B ⊥ C D$, 垂足为 $E, \overgroup{A B}=\overgroup{B F}, C E=1, A B=6$, 求弦 $A F$ 的长.

13. 如图, 连接 O A, O B, O F, 设 O B 交 A F 于点 G. $\because A B ⊥ C D, C D$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore A E=B E=\frac{1}{2} A B=3$ . 设 $\odot O$ 的半径为 r, 则 O E=r-1, O A=r. 在 Rt $△ O A E$ 中, 由勾股定理, 得 $3^{2}+(r-1)^{2}=r^{2}$ , 解得 $r=5 . \because \overgroup{A B}=\overgroup{B F}, \therefore ∠ A O B=∠ F O B . \because A O=F O, \therefore O B ⊥$ A F, A F=2 A G. 设 O G=t, 则 B G=5-t. $\therefore$ 在 Rt $△ A G O$ 中, $A G^{2}=$ $5^{2}-t^{2}$ , 在 Rt $△ A G B$ 中, $A G^{2}=6^{2}-(5-t)^{2}, \therefore 5^{2}-t^{2}=6^{2}-(5-$ $t)^{2}$ , 解得 $t=\frac{7}{5}, \therefore A G=\sqrt{5^{2}-(\frac{7}{5})^{2}}=\frac{24}{5}, \therefore A F=2 A G=\frac{48}{5}$

14 如图, A B 为 $\odot O$ 的直径, 点 C 在 $\odot O$ 上, 延长 B C 至点 D, 使得 $DC=CB$, 连接 D A 并延长, 与$\odot O$ 交于点 E, 连接 AC, CE.
(1) 求证: $∠ B=∠ D$;
(2) 若 $AB=4, BC-AC=2$, 求 CE 的长.

14. (1) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ A C B=90°, \therefore A C ⊥ B D$ . 又 $\because D C=C B, \therefore A D=A B, \therefore ∠ B=∠ D$ (2) 设 B C=x, 则 A C=x-2. 在 Rt $△ A B C$ 中, $A B=4, A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}, \therefore(x-2)^{2}+$ $x^{2}=4^{2}$ , 解得 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$ (不合题意, 舍去), $\therefore B C=1+$ $\sqrt{7} . \because \overgroup{A C}=\overgroup{A C}, \therefore ∠ B=∠ E$ . 又 $\because ∠ B=∠ D, \therefore ∠ D=∠ E$ , $\therefore C D=C E . \because C D=B C, \therefore C E=B C=1+\sqrt{7}$