登录
18.(4分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 2x - 3y = 1。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = \dfrac{2x}{2 - x}$。
(1)$\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 2x - 3y = 1。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = \dfrac{2x}{2 - x}$。
答案
18. (1)$\begin{cases} x=2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=-1$。
解析
【分析】
本题包含两个小题，分别为二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，可利用加减消元法消去一个未知数，先求出另一个未知数的值，再代入求剩余未知数；对于分式方程，需先将其转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x + y = 5&① \\2x - 3y = 1&② \end{cases}$，用① - ②消去$x$：
$(2x + y) - (2x - 3y) = 5 - 1$
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$。
将$y = 1$代入①式：$2x + 1 = 5$，解得$x = 2$。
故方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = \dfrac{2x}{2 - x}$，先将右边分母变形为$-(x - 2)$，方程变为：
$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = -\dfrac{2x}{x - 2}$
两边同乘最简公分母$x - 2$（$x≠2$），去分母得：
$5 + (x - 2) = -2x$
化简左边：$x + 3 = -2x$
移项合并得：$3x = -3$，解得$x = -1$。
检验：当$x = -1$时，分母$x - 2 = -3≠0$，故$x = -1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=-1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法、分式方程的解法，重点需注意分式方程求解后必须验根，避免增根，整体难度较低，属于学生应掌握的常规知识点。
【难度系数】
0.7
本题包含两个小题，分别为二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，可利用加减消元法消去一个未知数，先求出另一个未知数的值，再代入求剩余未知数；对于分式方程，需先将其转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x + y = 5&① \\2x - 3y = 1&② \end{cases}$，用① - ②消去$x$：
$(2x + y) - (2x - 3y) = 5 - 1$
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$。
将$y = 1$代入①式：$2x + 1 = 5$，解得$x = 2$。
故方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = \dfrac{2x}{2 - x}$，先将右边分母变形为$-(x - 2)$，方程变为：
$\dfrac{5}{x - 2} + 1 = -\dfrac{2x}{x - 2}$
两边同乘最简公分母$x - 2$（$x≠2$），去分母得：
$5 + (x - 2) = -2x$
化简左边：$x + 3 = -2x$
移项合并得：$3x = -3$，解得$x = -1$。
检验：当$x = -1$时，分母$x - 2 = -3≠0$，故$x = -1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=-1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法、分式方程的解法，重点需注意分式方程求解后必须验根，避免增根，整体难度较低，属于学生应掌握的常规知识点。
【难度系数】
0.7
19.(6分)先化简$(1-\dfrac{4}{x+2})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x+2}$，再从$-2,0,2$中选取一个适当的数作为$x$的值代入求值。
答案
19. 原式$=(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{4}{x+2})÷\dfrac{(x-2)^2}{x+2}=\dfrac{x-2}{x+2}·\dfrac{x+2}{(x-2)^2}=\dfrac{1}{x-2}$,因为当$x=\pm2$时,分式无意义,所以$x$只能为0。当$x=0$时,原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式运算；再将除法转化为乘法，对分子、分母中的多项式进行因式分解；接着约分化简得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的可取值，选取合适的x代入求值。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{4}{x+2})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x+2}\\&=\dfrac{x+2-4}{x+2}÷\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\\&=\dfrac{x-2}{x+2}×\dfrac{x+2}{(x-2)^2}\\&=\dfrac{1}{x-2}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x+2≠0$且$(x-2)^2≠0$，即$x≠-2$且$x≠2$，故只能选取$x=0$代入。当$x=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-2}$，当$x=0$时，值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是通分、因式分解和约分，需注意选取的x值必须使原式所有分母不为0，避免出现无意义的情况，属于分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式运算；再将除法转化为乘法，对分子、分母中的多项式进行因式分解；接着约分化简得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的可取值，选取合适的x代入求值。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{4}{x+2})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x+2}\\&=\dfrac{x+2-4}{x+2}÷\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\\&=\dfrac{x-2}{x+2}×\dfrac{x+2}{(x-2)^2}\\&=\dfrac{1}{x-2}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x+2≠0$且$(x-2)^2≠0$，即$x≠-2$且$x≠2$，故只能选取$x=0$代入。当$x=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-2}$，当$x=0$时，值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是通分、因式分解和约分，需注意选取的x值必须使原式所有分母不为0，避免出现无意义的情况，属于分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
20.(6分)某校为了解七年级学生对数学史相关知识的掌握情况,从中抽取了部分同学的成绩(百分制)进行整理、描述和分析,部分信息如下:
测试成绩等级标准
测试成绩等级标准
请根据以上信息回答下面问题：
(1)本次调查共抽取了_______人。
(2)成绩在$85≤ x＜90$分的有______人。
(3)请在图1中补全频数直方图。
(4)扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于______。
(5)若成绩达到“D”等级与“C”等级的学生被评为良等,请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的有多少人。
答案
20. (1)本次共调查了$5÷10\%=50$(人)。故答案为:50。
(2)成绩在$85≤ x＜90$分的有:$50-5-10-12-11=12$(人)。故答案为:12。
(3)补全的直方图如图所示。
(4)扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角的大小为$360°×\dfrac{11}{50}=79.2°$。故答案为:$79.2$。
(5)$800×\dfrac{10+12}{50}=352$(人),所以估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的有352人。
解析
【分析】
本题考查频数分布直方图、扇形统计图及用样本估计总体的统计知识，解题思路如下：
1. 计算总人数：可通过已知某成绩段的频数及其占比，或各成绩段频数相加得到总人数；
2. 求特定区间人数：用总人数减去其他成绩段的频数，即可得到目标区间的人数；
3. 补全频数直方图：根据计算出的对应区间频数，在直方图中绘制对应高度的矩形；
4. 计算扇形圆心角：用360°乘以该等级人数占总人数的比例，得到对应扇形的圆心角；
5. 估计总体人数：先算出样本中良等人数的占比，再乘以总体人数，得到总体中良等人数的估计值。
【解析】
(1) 已知某成绩段频数为5，对应占比10%，则总人数为：$5÷10\%=50$（人）；
(2) 成绩在$85≤ x＜90$分的人数为总人数减去其他区间人数：$50 - 5 - 10 - 12 - 11 = 12$（人）；
(3) 在频数直方图中，$85≤ x＜90$分对应的矩形高度为12，补全该矩形即可；
(4) 扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角为：$360°×\dfrac{11}{50}=79.2°$；
(5) 样本中良等人数为$10 + 12 = 22$人，占比为$\dfrac{22}{50}$，则该校七年级800名学生中良等人数估计为：$800×\dfrac{22}{50}=352$（人）。
【答案】
(1) 50；
(2) 12；
(3) 补全的直方图如图所示；
(4) $79.2°$；
(5) 352人；
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题为统计基础应用题，考查对频数分布直方图、扇形统计图的解读及核心计算，步骤清晰，注重基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查频数分布直方图、扇形统计图及用样本估计总体的统计知识，解题思路如下：
1. 计算总人数：可通过已知某成绩段的频数及其占比，或各成绩段频数相加得到总人数；
2. 求特定区间人数：用总人数减去其他成绩段的频数，即可得到目标区间的人数；
3. 补全频数直方图：根据计算出的对应区间频数，在直方图中绘制对应高度的矩形；
4. 计算扇形圆心角：用360°乘以该等级人数占总人数的比例，得到对应扇形的圆心角；
5. 估计总体人数：先算出样本中良等人数的占比，再乘以总体人数，得到总体中良等人数的估计值。
【解析】
(1) 已知某成绩段频数为5，对应占比10%，则总人数为：$5÷10\%=50$（人）；
(2) 成绩在$85≤ x＜90$分的人数为总人数减去其他区间人数：$50 - 5 - 10 - 12 - 11 = 12$（人）；
(3) 在频数直方图中，$85≤ x＜90$分对应的矩形高度为12，补全该矩形即可；
(4) 扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角为：$360°×\dfrac{11}{50}=79.2°$；
(5) 样本中良等人数为$10 + 12 = 22$人，占比为$\dfrac{22}{50}$，则该校七年级800名学生中良等人数估计为：$800×\dfrac{22}{50}=352$（人）。
【答案】
(1) 50；
(2) 12；
(3) 补全的直方图如图所示；
(4) $79.2°$；
(5) 352人；
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题为统计基础应用题，考查对频数分布直方图、扇形统计图的解读及核心计算，步骤清晰，注重基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
