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9.如图,已知$AB// CD$,点E在两平行线之间,连结BE,CE,$∠ABE$的平分线与$∠BEC$的平分线的反向延长线交于点F。若$∠BFE=50°$,则$∠C$等于 (
A.$70°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
B
)A.$70°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
答案
9.B 【解析】如图,延长BE交DC的延长线于点G。因为$∠ BFE=50°$,$∠ EBF+∠ FEB+∠ BFE=180°$,所以$∠ EBF+∠ BEF=180°-50°=130°$。因为$∠ ABE$的平分线与$∠ BEC$的平分线的反向延长线交于点F,所以$∠ ABE+∠ BEF+∠ FEC=260°$。因为$AB// CD$,所以$∠ ABE=∠ BGC$。所以$∠ BGC+∠ BEF+∠ FEC=260°$。因为$∠ BEF+∠ FEG=180°$,所以$∠ EGC+∠ CEG=80°$。所以$∠ ECG=100°$。所以$∠ ECD=180°-100°=80°$。故选B。
解析
【分析】
本题需结合平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理求解。解题时通过延长BE交DC的延长线构造辅助线，利用平行线的内错角相等，结合三角形内角和求出相关角的和，进而推导得到∠C的度数。
【解析】
如图，延长BE交DC的延长线于点G。
在△BEF中，根据三角形内角和为180°，已知∠BFE=50°，则：
∠EBF + ∠BEF = 180° - ∠BFE = 180° - 50° = 130°。
∵ BF平分∠ABE，EF是∠BEC平分线的反向延长线，
∴ ∠ABE = 2∠EBF，∠BEC = 2∠FEC，
∴ ∠ABE + ∠BEC = 2(∠EBF + ∠FEC)。
结合∠EBF + ∠BEF =130°，可得∠ABE + ∠BEF + ∠FEC = 260°。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE=∠BGC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BGC + ∠BEF + ∠FEC=260°。
又
∵ ∠BEF + ∠FEG=180°（平角定义），
∴ ∠EGC + ∠CEG=260° - 180°=80°。
在△EGC中，根据三角形内角和为180°，
∠ECG=180° - (∠EGC + ∠CEG)=180° -80°=100°，
∴ ∠ECD=180° - ∠ECG=180° -100°=80°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线、三角形内角和的综合题，通过作辅助线构造内错角是解题关键，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题需结合平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理求解。解题时通过延长BE交DC的延长线构造辅助线，利用平行线的内错角相等，结合三角形内角和求出相关角的和，进而推导得到∠C的度数。
【解析】
如图，延长BE交DC的延长线于点G。
在△BEF中，根据三角形内角和为180°，已知∠BFE=50°，则：
∠EBF + ∠BEF = 180° - ∠BFE = 180° - 50° = 130°。
∵ BF平分∠ABE，EF是∠BEC平分线的反向延长线，
∴ ∠ABE = 2∠EBF，∠BEC = 2∠FEC，
∴ ∠ABE + ∠BEC = 2(∠EBF + ∠FEC)。
结合∠EBF + ∠BEF =130°，可得∠ABE + ∠BEF + ∠FEC = 260°。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE=∠BGC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BGC + ∠BEF + ∠FEC=260°。
又
∵ ∠BEF + ∠FEG=180°（平角定义），
∴ ∠EGC + ∠CEG=260° - 180°=80°。
在△EGC中，根据三角形内角和为180°，
∠ECG=180° - (∠EGC + ∠CEG)=180° -80°=100°，
∴ ∠ECD=180° - ∠ECG=180° -100°=80°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线、三角形内角和的综合题，通过作辅助线构造内错角是解题关键，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
10.如图,有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为a,b,c,将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一长方形中,记图1中阴影部分周长为$ l_1 $,面积为$ S_1 $,图2中阴影部分周长为$ l_2 $,面积为$ S_2 $。若$ S_2 - S_1 = ( \frac{l_1 - l_2}{2} )^2 $,则$ b:c $的值为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.3
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.3
答案
10.D 【解析】设大长方形的宽为d。由题图2知,$d=b-c+a$。所以$l_1=2(a+b+c+d-c)=2a+2b+2d$,$S_1=d(a+b+c)-a^2-b^2-c^2$,$l_2=a+b+c+d+a+c+(a-b)+(b-c)=3a+b+c+d$,$S_2=d(a+b+c)-a^2-b^2+bc$。所以$S_2-S_1=bc+c^2$,$l_1-l_2=b-c+a+d$。所以$bc+c^2=(\dfrac{b-c-a+d}{2})^2$。所以$bc+c^2=(b-c)^2$。所以$3bc=b^2$。所以$b=3c$。所以$b:c$的值为3。故选D。
解析
【分析】
首先设大长方形的宽为中间量$d$，根据图2中正方形的放置方式，确定大长方形的宽$d$与$a、b、c$的关系；再分别计算图1、图2中阴影部分的周长$l_1、l_2$和面积$S_1、S_2$，代入已知等式$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，通过化简代数式推导$b$与$c$的关系，进而求出$b:c$的值。
【解析】
设大长方形的宽为$d$。
1. 确定大长方形的边长关系：
由图1可知，大长方形的长为$a+b+c$；由图2可知，大长方形的宽$d = a + b - c$。
2. 计算周长差$l_1 - l_2$：
$l_1 = 2(a+b+c + d - c) = 2a + 2b + 2d$，$l_2 = 3a + b + c + d$，则：
$l_1 - l_2 = (2a + 2b + 2d) - (3a + b + c + d) = -a + b - c + d$，
代入$d = a + b - c$，得$l_1 - l_2 = 2(b - c)$，故$\frac{l_1 - l_2}{2} = b - c$。
3. 计算面积差$S_2 - S_1$：
$S_1 = d(a+b+c) - a^2 - b^2 - c^2$，$S_2 = d(a+b+c) - a^2 - b^2 + bc$，则：
$S_2 - S_1 = bc + c^2$。
4. 代入等式化简：
由$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，得$bc + c^2 = (b - c)^2$，
展开右边：$b^2 - 2bc + c^2$，整理得$b^2 - 3bc = 0$，即$b(b - 3c) = 0$，
因$b≠0$，故$b = 3c$，即$b:c = 3$。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的周长面积、代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的题型，核心是通过设中间量建立图形边长与周长、面积的代数式，再利用等式化简推导边长比例，需要学生准确梳理图形关系、熟练化简代数式，属于中档题。
【难度系数】
0.3
首先设大长方形的宽为中间量$d$，根据图2中正方形的放置方式，确定大长方形的宽$d$与$a、b、c$的关系；再分别计算图1、图2中阴影部分的周长$l_1、l_2$和面积$S_1、S_2$，代入已知等式$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，通过化简代数式推导$b$与$c$的关系，进而求出$b:c$的值。
【解析】
设大长方形的宽为$d$。
1. 确定大长方形的边长关系：
由图1可知，大长方形的长为$a+b+c$；由图2可知，大长方形的宽$d = a + b - c$。
2. 计算周长差$l_1 - l_2$：
$l_1 = 2(a+b+c + d - c) = 2a + 2b + 2d$，$l_2 = 3a + b + c + d$，则：
$l_1 - l_2 = (2a + 2b + 2d) - (3a + b + c + d) = -a + b - c + d$，
代入$d = a + b - c$，得$l_1 - l_2 = 2(b - c)$，故$\frac{l_1 - l_2}{2} = b - c$。
3. 计算面积差$S_2 - S_1$：
$S_1 = d(a+b+c) - a^2 - b^2 - c^2$，$S_2 = d(a+b+c) - a^2 - b^2 + bc$，则：
$S_2 - S_1 = bc + c^2$。
4. 代入等式化简：
由$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，得$bc + c^2 = (b - c)^2$，
展开右边：$b^2 - 2bc + c^2$，整理得$b^2 - 3bc = 0$，即$b(b - 3c) = 0$，
因$b≠0$，故$b = 3c$，即$b:c = 3$。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的周长面积、代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的题型，核心是通过设中间量建立图形边长与周长、面积的代数式，再利用等式化简推导边长比例，需要学生准确梳理图形关系、熟练化简代数式，属于中档题。
【难度系数】
0.3
11. 因式分解：$3xy^2 - 12x =$
$3x(y+2)(y-2)$
。答案
11. $3x(y+2)(y-2)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套”的基本步骤，先观察原式提取公因式，再套用公式进一步分解。本题中，原式各项都含有公因式3x，第一步先提取公因式，剩余部分符合平方差公式的结构，再用公式分解即可。
【解析】
解：$3xy^2 - 12x$
$= 3x(y^2 - 4)$ （提取公因式3x）
$= 3x(y + 2)(y - 2)$ （利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解$y^2 - 4$）
【答案】
$3x(y+2)(y-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是基础因式分解题，核心考查提公因式法与平方差公式的应用，解题需严格遵循因式分解的步骤，属于学生应熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套”的基本步骤，先观察原式提取公因式，再套用公式进一步分解。本题中，原式各项都含有公因式3x，第一步先提取公因式，剩余部分符合平方差公式的结构，再用公式分解即可。
【解析】
解：$3xy^2 - 12x$
$= 3x(y^2 - 4)$ （提取公因式3x）
$= 3x(y + 2)(y - 2)$ （利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解$y^2 - 4$）
【答案】
$3x(y+2)(y-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是基础因式分解题，核心考查提公因式法与平方差公式的应用，解题需严格遵循因式分解的步骤，属于学生应熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
12.已知$10^{x}=5,10^{y}=8$,则$10^{2x+y}=$
200
。答案
12. 200
解析
【分析】
要计算$10^{2x+y}$，需利用指数运算的法则将其转化为已知$10^x$和$10^y$的形式。根据幂的乘方逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$10^{2x}=(10^x)^2$；再根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，则$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$，代入已知值即可计算结果。
【解析】
解：根据指数运算法则：
1. 由幂的乘方逆运算：$10^{2x}=(10^x)^2$，已知$10^x=5$，则$10^{2x}=5^2=25$；
2. 由同底数幂乘法法则：$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$，已知$10^y=8$，代入得：$10^{2x+y}=25×8=200$。
【答案】
200
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查指数运算的基本法则，核心是逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式转化为已知条件的形式，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算$10^{2x+y}$，需利用指数运算的法则将其转化为已知$10^x$和$10^y$的形式。根据幂的乘方逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$10^{2x}=(10^x)^2$；再根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，则$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$，代入已知值即可计算结果。
【解析】
解：根据指数运算法则：
1. 由幂的乘方逆运算：$10^{2x}=(10^x)^2$，已知$10^x=5$，则$10^{2x}=5^2=25$；
2. 由同底数幂乘法法则：$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$，已知$10^y=8$，代入得：$10^{2x+y}=25×8=200$。
【答案】
200
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查指数运算的基本法则，核心是逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式转化为已知条件的形式，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】
0.8
13.某校七(1)班50名学生的健康状况被分成5组,第1组的频数为7,第2,3组的频率之和为0.46,第4组的频率是0.2,则第5组的频数为
10
。答案
13. 10
解析
【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路为：在频数分布中，所有组的频数之和等于总数据个数，所有组的频率之和为1。我们可先通过“频数=总数×频率”算出第2、3组及第4组的频数，再用总人数减去前4组的频数，即可得到第5组的频数。
【解析】已知总人数为50，根据“频数=总数×频率”：
第2、3组的频数和为：50×0.46=23；
第4组的频数为：50×0.2=10；
又已知第1组的频数为7，因此第5组的频数=总人数 - 第1组频数 - 第2、3组频数和 - 第4组频数=50 -7 -23 -10=10。
【答案】10
【知识点】频数与频率
【点评】本题是统计板块的基础计算题，核心考查频数与频率的换算关系，以及总频数等于各小组频数之和的性质，题目难度较低，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】已知总人数为50，根据“频数=总数×频率”：
第2、3组的频数和为：50×0.46=23；
第4组的频数为：50×0.2=10；
又已知第1组的频数为7，因此第5组的频数=总人数 - 第1组频数 - 第2、3组频数和 - 第4组频数=50 -7 -23 -10=10。
【答案】10
【知识点】频数与频率
【点评】本题是统计板块的基础计算题，核心考查频数与频率的换算关系，以及总频数等于各小组频数之和的性质，题目难度较低，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.7
14. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x+2} - 3 = \dfrac{m}{x+2}$有增根，则$m$的值是
$-2$
。答案
14. $-2$
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根。解题步骤为：1. 确定原方程的最简公分母，找到增根的可能值；2. 将分式方程去分母转化为整式方程；3. 把增根代入整式方程，计算出m的值。
【解析】
解：原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)$，得：
$x - 3(x + 2) = m$
整理整式方程：
$x - 3x - 6 = m$，即$-2x - 6 = m$
因为分式方程有增根，所以增根满足分母为0，即$x + 2 = 0$，解得增根$x = -2$。
将$x = -2$代入整式方程$-2x -6 = m$，得：
$m = -2×(-2) -6 = 4 -6 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根），解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根。解题步骤为：1. 确定原方程的最简公分母，找到增根的可能值；2. 将分式方程去分母转化为整式方程；3. 把增根代入整式方程，计算出m的值。
【解析】
解：原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)$，得：
$x - 3(x + 2) = m$
整理整式方程：
$x - 3x - 6 = m$，即$-2x - 6 = m$
因为分式方程有增根，所以增根满足分母为0，即$x + 2 = 0$，解得增根$x = -2$。
将$x = -2$代入整式方程$-2x -6 = m$，得：
$m = -2×(-2) -6 = 4 -6 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根），解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
15.现有两组数:(1)$4,6,8,10,12,14,···$;(2)$0,3,8,15,24,35,···$。第(1)组数中从左到右第$n$个数记为$a_n$,第(2)组数中从左到右第$n$个数记为$b_n$,若$a_n+b_n＜2024$,则$n$的最大值是_____。
答案
15. 43 【解析】由题知,第(1)组数为4,6,8,10,12,14,…,所以$a_n=2n+2$。第(2)组数为0,3,8,15,24,35,…,所以$b_n=n^2-1$。又因为$a_n+b_n＜2024$,所以$n^2+2n+1＜2024$,即$(n+1)^2＜2024$。又因为$45^2=2025$,$44^2=1936$,所以$n$的最大值为43。
解析
【分析】
首先需分别推导两组数的第n项通项公式：第(1)组是公差为2的等差数列，首项为4，可通过等差数列通项公式得出；第(2)组的数符合“n²-1”的规律，验证后确定通项。再将两个通项代入不等式aₙ+bₙ＜2024，化简后结合平方数的大小关系，求解n的最大正整数。
【解析】
1. 求第(1)组数的通项aₙ：
第(1)组数为4,6,8,10,…，是首项a₁=4、公差d=2的等差数列，通项公式为：
aₙ = a₁ + (n-1)d = 4 + 2(n-1) = 2n + 2。
2. 求第(2)组数的通项bₙ：
第(2)组数为0,3,8,15,…，验证得：n=1时，1²-1=0；n=2时，2²-1=3；n=3时，3²-1=8，符合规律，故bₙ = n² -1。
3. 代入不等式求解：
将aₙ、bₙ代入aₙ+bₙ＜2024，得：
(2n+2) + (n² -1) ＜2024
化简得：n² + 2n +1 ＜2024，即(n+1)² ＜2024。
计算平方数：45²=2025，44²=1936，因此(n+1)需小于√2024≈44.99，故n+1最大取44，对应n=43。
【答案】
43
【知识点】
数列通项公式、不等式求解
【点评】
本题结合数列与不等式，核心是推导数列通项，化简不等式后利用平方数的大小确定n的最大值，属于中等难度的数列应用题型。
【难度系数】
0.5
首先需分别推导两组数的第n项通项公式：第(1)组是公差为2的等差数列，首项为4，可通过等差数列通项公式得出；第(2)组的数符合“n²-1”的规律，验证后确定通项。再将两个通项代入不等式aₙ+bₙ＜2024，化简后结合平方数的大小关系，求解n的最大正整数。
【解析】
1. 求第(1)组数的通项aₙ：
第(1)组数为4,6,8,10,…，是首项a₁=4、公差d=2的等差数列，通项公式为：
aₙ = a₁ + (n-1)d = 4 + 2(n-1) = 2n + 2。
2. 求第(2)组数的通项bₙ：
第(2)组数为0,3,8,15,…，验证得：n=1时，1²-1=0；n=2时，2²-1=3；n=3时，3²-1=8，符合规律，故bₙ = n² -1。
3. 代入不等式求解：
将aₙ、bₙ代入aₙ+bₙ＜2024，得：
(2n+2) + (n² -1) ＜2024
化简得：n² + 2n +1 ＜2024，即(n+1)² ＜2024。
计算平方数：45²=2025，44²=1936，因此(n+1)需小于√2024≈44.99，故n+1最大取44，对应n=43。
【答案】
43
【知识点】
数列通项公式、不等式求解
【点评】
本题结合数列与不等式，核心是推导数列通项，化简不等式后利用平方数的大小确定n的最大值，属于中等难度的数列应用题型。
【难度系数】
0.5
16.如图,已知$AB// CD$,点$E,F$分别在直线$AB$,$CD$上,点$P$在$AB$,$CD$之间,$EF$的右侧,且$∠ EPF=60°$。若将射线$EA$沿直线$EP$折叠得射线$EA'$,射线$FC$沿直线$FP$折叠得射线$FC'$,$EA'$与$FC'$所在直线交于点$H$,则$∠ EHF$的度数为
$60°$或$120°$
。答案
16. $60°$或$120°$ 【解析】①当点H在EF右侧时,如图1,作射线PM经过点E,作射线PN经过点F,过点P作$PQ// AB$,过点H作$HG// AB$,则$PQ// HG// AB// CD$。所以$∠ AEM=∠ QPE$,$∠ CFN=∠ QPF$,$∠ AEA'=∠ GHE$,$∠ CFC'=∠ GHF$。由折叠可设$∠ AEM=∠ A'EM=α$,$∠ CFN=∠ C'FN=β$,所以$∠ AEA'=2α=∠ GHE$,$∠ CFC'=2β=∠ GHF$。因为$∠ EPF=∠ QPE+∠ QPF=∠ AEM+∠ CFN=α+β=60°$,所以$∠ EHF=∠ GHE+∠ GHF=2α+2β=120°$。②当点H在EF左侧时,如图2,同理可得$∠ LHF=∠ CFC'$,$∠ KHE=∠ AEA'$,所以$∠ LHF+∠ KHE=∠ CFC'+∠ AEA'=2∠ CFN+2∠ AEM=2∠ EPF=120°$,所以$∠ EHF=180°-(∠ LHF+∠ KHE)=60°$。综上所述,$∠ EHF=60°$或$120°$。
解析
【分析】
本题需分两种情况讨论点H的位置（在EF右侧或左侧），核心思路是利用“平行于同一直线的直线互相平行”的性质构造辅助线，结合平行线内错角相等、折叠前后对应角相等的性质，将所求∠EHF转化为已知∠EPF的和或差，进而计算结果。
【解析】
情况1：点H在EF右侧（如图1）
过点P作$PQ// AB$，过点H作$HG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$PQ// HG// AB// CD$。
根据平行线内错角相等：
$∠ QPE=∠ AEP$，$∠ QPF=∠ CFP$，
因此$∠ EPF=∠ QPE+∠ QPF=∠ AEP+∠ CFP=60°$。
由折叠性质：射线$EA$沿$EP$折叠得$EA'$，故$∠ AEP=∠ A'EP$；射线$FC$沿$FP$折叠得$FC'$，故$∠ CFP=∠ C'FP$。
因此$∠ AEA'=2∠ AEP$，$∠ CFC'=2∠ CFP$，
则$∠ AEA'+∠ CFC'=2(∠ AEP+∠ CFP)=2×60°=120°$。
又因为$HG// AB$，所以$∠ GHE=∠ AEA'$，$∠ GHF=∠ CFC'$，
故$∠ EHF=∠ GHE+∠ GHF=∠ AEA'+∠ CFC'=120°$。
情况2：点H在EF左侧（如图2）
同理，过点P、H作平行于$AB$的辅助线，可得：
$∠ AEA'=2∠ AEP$，$∠ CFC'=2∠ CFP$，
因此$∠ AEA'+∠ CFC'=2(∠ AEP+∠ CFP)=120°$。
此时$∠ EHF=180°-(∠ AEA'+∠ CFC')=180°-120°=60°$。
综上，$∠ EHF$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】$60°$或$120°$
【知识点】平行线的性质、折叠的性质、角的和差计算
【点评】本题综合考查平行线与折叠的性质，需通过分类讨论点H的位置，构造辅助线转化角的关系，体现了分类思想和转化思想，是初中几何的典型综合题。
【难度系数】0.5
本题需分两种情况讨论点H的位置（在EF右侧或左侧），核心思路是利用“平行于同一直线的直线互相平行”的性质构造辅助线，结合平行线内错角相等、折叠前后对应角相等的性质，将所求∠EHF转化为已知∠EPF的和或差，进而计算结果。
【解析】
情况1：点H在EF右侧（如图1）
过点P作$PQ// AB$，过点H作$HG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$PQ// HG// AB// CD$。
根据平行线内错角相等：
$∠ QPE=∠ AEP$，$∠ QPF=∠ CFP$，
因此$∠ EPF=∠ QPE+∠ QPF=∠ AEP+∠ CFP=60°$。
由折叠性质：射线$EA$沿$EP$折叠得$EA'$，故$∠ AEP=∠ A'EP$；射线$FC$沿$FP$折叠得$FC'$，故$∠ CFP=∠ C'FP$。
因此$∠ AEA'=2∠ AEP$，$∠ CFC'=2∠ CFP$，
则$∠ AEA'+∠ CFC'=2(∠ AEP+∠ CFP)=2×60°=120°$。
又因为$HG// AB$，所以$∠ GHE=∠ AEA'$，$∠ GHF=∠ CFC'$，
故$∠ EHF=∠ GHE+∠ GHF=∠ AEA'+∠ CFC'=120°$。
情况2：点H在EF左侧（如图2）
同理，过点P、H作平行于$AB$的辅助线，可得：
$∠ AEA'=2∠ AEP$，$∠ CFC'=2∠ CFP$，
因此$∠ AEA'+∠ CFC'=2(∠ AEP+∠ CFP)=120°$。
此时$∠ EHF=180°-(∠ AEA'+∠ CFC')=180°-120°=60°$。
综上，$∠ EHF$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】$60°$或$120°$
【知识点】平行线的性质、折叠的性质、角的和差计算
【点评】本题综合考查平行线与折叠的性质，需通过分类讨论点H的位置，构造辅助线转化角的关系，体现了分类思想和转化思想，是初中几何的典型综合题。
【难度系数】0.5
17.(4分)计算或化简:
(1)$|-3|+(3.14-2025)^0-(-\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$(3x-1)^2-(3x+2)(3x-2)$。
(1)$|-3|+(3.14-2025)^0-(-\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$(3x-1)^2-(3x+2)(3x-2)$。
答案
17. (1)原式$=7$。 (2)原式$=-6x+5$。
解析
【分析】
第(1)题需分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再将结果进行加减运算；第(2)题需利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 分别计算各项：
绝对值：$|-3|=3$；
零指数幂：因为$3.14-2025≠0$，所以$(3.14-2025)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\dfrac{1}{3})^{-1}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=-3$；
则原式$=3 +1 - (-3)=3+1+3=7$。
(2) 利用公式展开化简：
完全平方公式：$(3x-1)^2=(3x)^2 -2×3x×1 +1^2=9x² -6x +1$；
平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 -2^2=9x² -4$；
则原式$=(9x² -6x +1) - (9x² -4)=9x² -6x +1 -9x² +4=-6x +5$。
【答案】
(1) $7$；(2) $-6x+5$
【知识点】
绝对值、零指数幂与负指数幂、整式的乘法公式
【点评】
本题考查实数运算和整式化简的基础内容，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及完全平方公式、平方差公式的应用，属于初中数学常规基础题，只要牢记相关法则和公式，按步骤计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
第(1)题需分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再将结果进行加减运算；第(2)题需利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 分别计算各项：
绝对值：$|-3|=3$；
零指数幂：因为$3.14-2025≠0$，所以$(3.14-2025)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\dfrac{1}{3})^{-1}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=-3$；
则原式$=3 +1 - (-3)=3+1+3=7$。
(2) 利用公式展开化简：
完全平方公式：$(3x-1)^2=(3x)^2 -2×3x×1 +1^2=9x² -6x +1$；
平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 -2^2=9x² -4$；
则原式$=(9x² -6x +1) - (9x² -4)=9x² -6x +1 -9x² +4=-6x +5$。
【答案】
(1) $7$；(2) $-6x+5$
【知识点】
绝对值、零指数幂与负指数幂、整式的乘法公式
【点评】
本题考查实数运算和整式化简的基础内容，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及完全平方公式、平方差公式的应用，属于初中数学常规基础题，只要牢记相关法则和公式，按步骤计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
