21.(6分)如图,已知$AB// CD$,$∠ B=∠ D$,$AE$交$BC$的延长线于点$E$。
(1)求证:$AD// BE$。
(2)若$∠ 1=∠ 2=60°$,$∠ BAC=2∠ EAC$,求$∠ B$的度数。

21. (1)因为$AB// CD$,所以$∠ B=∠ DCE$。因为$∠ B=∠ D$,所以$∠ DCE=∠ D$。所以$AD// BE$。
(2)因为$AB// CD$,$∠ 2=60°$,所以$∠ BAE=∠ 2=60°$,$∠ BAC=∠ ACD$,$∠ B=∠ DCE$。所以$∠ EAC+∠ BAC=60°$。因为$∠ BAC=2∠ EAC$,所以$∠ EAC=20°$。所以$∠ BAC=∠ ACD=40°$。因为$∠ 1+∠ ACD+∠ DCE=180°$,所以$∠ DCE=180°-∠ 1-∠ ACD=180°-60°-40°=80°$。所以$∠ B=∠ DCE=80°$。

【分析】
第(1)问要证明AD//BE，需结合平行线的性质与判定定理：已知AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”得到∠B=∠DCE，再结合已知∠B=∠D，通过等量代换推出∠D=∠DCE，最后依据“内错角相等，两直线平行”完成证明。第(2)问求∠B的度数，先利用AB//CD的性质得到角的等量关系，再结合∠BAC与∠EAC的倍数关系算出∠BAC，最后根据平角的定义求出∠DCE，而∠B=∠DCE，即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠B = ∠D（已知），
∴ ∠DCE = ∠D（等量代换），
∴ AD//BE（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AB//CD，∠2 = 60°（已知），
∴ ∠BAE = ∠2 = 60°（两直线平行，同位角相等），且∠BAC = ∠ACD，∠B = ∠DCE（两直线平行，内错角、同位角相等）。
∵ ∠BAE = ∠EAC + ∠BAC = 60°，且∠BAC = 2∠EAC，
设∠EAC = x，则∠BAC = 2x，代入得x + 2x = 60°，解得x = 20°，即∠BAC = 40°，
∴ ∠ACD = ∠BAC = 40°。
又
∵ ∠1 + ∠ACD + ∠DCE = 180°（平角的定义），∠1 = 60°，
∴ ∠DCE = 180° - 60° - 40° = 80°，
∵ ∠B = ∠DCE，
∴ ∠B = 80°。
【答案】
(1) AD//BE得证；(2) ∠B的度数为80°。
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定，以及角度的和差运算，解题核心是通过平行线实现角的转化，属于几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

22. (6分)两个边长分别为a和b的正方形如图1放置,其未重叠部分(阴影)的面积为$S_1$;若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形(如图2),两个小正方形重叠部分(阴影)的面积为$S_2$;图3中A为BC的中点,阴影部分的面积为$S_3$。

(1)用含a,b的代数式分别表示$S_1,S_2$。
(2)若$a+b=7,ab=11$。
①求$S_1+S_2$的值。
②求$S_3$的值。

22. (1)$S_1=a^2-b^2$,$S_2=b(2b-a)=2b^2-ab$。
(2)①$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=7^2-33=16$。②因为A是BC的中点,所以$AB=AC=\dfrac{a+b}{2}$。所以$S_3=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}×\dfrac{a(a+b)}{2}-\dfrac{1}{2}×\dfrac{b(a+b)}{2}=\dfrac{3a^2+3b^2-2ab}{4}=\dfrac{3(a+b)^2-8ab}{4}=\dfrac{3×49-88}{4}=\dfrac{59}{4}$。

【分析】
本题需根据三个图形的面积关系列出对应代数式，再结合已知条件利用完全平方公式进行整体代入计算。思路如下：
1. 图1阴影面积为大正方形减小正方形面积，直接用面积公式推导；
2. 图2重叠阴影是长方形，需确定其长和宽后计算面积；
3. 计算$S_1+S_2$时，先化简代数式，再用完全平方公式变形后代入数值；
4. 图3阴影面积为两个正方形面积和减去两个空白三角形面积，利用A是中点的条件确定三角形底，再化简计算。
【解析】
(1) 求$S_1$和$S_2$：
边长为$a$的正方形面积为$a^2$，边长为$b$的正方形面积为$b^2$，因此图1未重叠阴影面积$S_1=a^2 - b^2$；
图2中两个边长为$b$的小正方形重叠部分是长方形，其长为$b-(a-b)=2b-a$，宽为$b$，故重叠阴影面积$S_2=b(2b-a)=2b^2 - ab$。
(2) 已知$a+b=7$，$ab=11$，计算：
① $S_1+S_2$：
$S_1+S_2=(a^2 - b^2)+(2b^2 - ab)=a^2 + b^2 - ab$，
由完全平方公式$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，代入得：
$S_1+S_2=(a+b)^2 - 2ab - ab=(a+b)^2 - 3ab=7^2 - 3×11=49 - 33=16$。
② $S_3$：
因为A是BC中点，所以$AB=AC=\frac{a+b}{2}$，
两个正方形面积和为$a^2 + b^2$，空白部分两个三角形面积和为：
$\frac{1}{2}×AB×a + \frac{1}{2}×AC×b=\frac{1}{2}×\frac{a+b}{2}×a + \frac{1}{2}×\frac{a+b}{2}×b=\frac{(a+b)^2}{4}$，
因此$S_3=a^2 + b^2 - \frac{(a+b)^2}{4}$，
代入$a+b=7$，$ab=11$，$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=49 - 22=27$，得：
$S_3=27 - \frac{49}{4}=\frac{59}{4}$。
【答案】
(1) $S_1=a^2 - b^2$，$S_2=2b^2 - ab$；(2) ① $16$；② $\frac{59}{4}$
【知识点】
整式运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题结合图形面积考查整式化简与求值，核心是根据图形特征列代数式，再利用完全平方公式整体代入计算，需掌握数形结合和代数变形能力，属于中等难度代数应用题。
【难度系数】
0.6