23.(8分)小能到某体育用品商店购物,他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类,若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元;若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元。
(1)求每个篮球和每副羽毛球拍各多少元。
(2)“暑假”期间,该体育用品商店举行让利促销活动,篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售,小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5。
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售。
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍,最后扫码支付了281.6元,则他有几种购买方案?请说明理由。

23. (1)设每个篮球需要$x$元,每副羽毛球拍需要$y$元。依题意得$\begin{cases} 3x+8y=416, \\ 6x+y=232, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=32, \\ y=40, \end{cases}$所以每个篮球需要32元,每副羽毛球拍需要40元。
(2)①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行$m$折销售。依题意得$\dfrac{256}{32×0.1m}+5=\dfrac{480}{40×0.1m}$,解得$m=8$,经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意。所以商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售。②他有2种购买方案。理由如下:设小能购买了$a$个篮球,$b$副羽毛球拍。依题意得$32×0.8a+40×0.8b=281.6$,化简得$4a+5b=44$。因为$a,b$均为正整数,所以$\begin{cases} a=1, \\ b=8 \end{cases}$或$\begin{cases} a=6, \\ b=4。 \end{cases}$所以小能有2种购买方案。

【分析】
本题为方程应用综合题，分三小问逐步解决：
1. 第(1)问求篮球和羽毛球拍单价，属于二元一次方程组应用，设两个未知数，根据两种购买总价的条件列方程组求解；
2. 第(2)①问求折扣，设折扣为m折，根据“256元买篮球个数比480元买羽毛球拍副数少5”的数量关系，结合折扣后单价列分式方程，求解并检验；
3. 第(2)②问求购买方案，先算折扣后单价，再根据总支付金额列二元一次方程，结合a、b为正整数的条件，筛选符合的整数解确定方案数。
【解析】
(1)设每个篮球需要$x$元，每副羽毛球拍需要$y$元，依题意得：
$\begin{cases} 3x+8y=416 \\ 6x+y=232 \end{cases}$
由第二个方程得$y=232-6x$，代入第一个方程：
$3x+8(232-6x)=416$
解得$x=32$，则$y=232-6×32=40$。
(2)①设商店本次活动折扣为$m$折，折扣后篮球单价为$32×0.1m$元，羽毛球拍单价为$40×0.1m$元，依题意得：
$\dfrac{256}{32×0.1m}+5=\dfrac{480}{40×0.1m}$
化简得$\dfrac{80}{m}+5=\dfrac{120}{m}$，解得$m=8$，经检验$m=8$是原方程的解且符合题意。
②设购买$a$个篮球，$b$副羽毛球拍，折扣后单价为$32×0.8=25.6$元、$40×0.8=32$元，依题意得：
$25.6a+32b=281.6$，化简得$4a+5b=44$。
因$a、b$为正整数，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=8\end{cases}$或$\begin{cases}a=6 \\ b=4\end{cases}$，共2组解。
【答案】
(1)每个篮球32元，每副羽毛球拍40元；(2)①八折；②2种购买方案。
【知识点】
二元一次方程组应用、分式方程应用、二元一次方程整数解
【点评】
本题分层考察方程应用，需注意分式方程的检验、整数解的筛选，整体侧重实际问题的转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.6