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24.(12分)【创设情境】在七年级数学活动课上,老师带领学生用一副三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动。老师让同学们将两把三角尺EFG和HMN(∠GEF=∠MHN=90°,∠MNH=60°,∠HMN=30°,∠EGF=∠EFG=45°)按要求摆放并旋转。已知AB//CD,如图1,把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上,把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上,HM经过点E。
(1)若∠GEM=120°,∠DEF=20°,求∠AHN的度数。
【操作探究】
(2)如图2,绕点H按逆时针方向旋转三角尺HMN,恰好可以使得点G与点N重合,此时测得∠FGM=20°,请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系。
【深度探究】
(3)在(1)的条件下,将三角尺GEF绕点E以每秒3°的速度按逆时针方向旋转,同时将三角尺HMN绕点H以每秒2°的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为t s(0≤t≤60)。请直接写出当HN与三角形EGF的一边平行时t的值。
(1)若∠GEM=120°,∠DEF=20°,求∠AHN的度数。
【操作探究】
(2)如图2,绕点H按逆时针方向旋转三角尺HMN,恰好可以使得点G与点N重合,此时测得∠FGM=20°,请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系。
【深度探究】
(3)在(1)的条件下,将三角尺GEF绕点E以每秒3°的速度按逆时针方向旋转,同时将三角尺HMN绕点H以每秒2°的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为t s(0≤t≤60)。请直接写出当HN与三角形EGF的一边平行时t的值。
答案
24. (1)因为$∠ GEM=120°$,所以$∠ GEH=180°-120°=60°$。因为$∠ GEF=90°$,所以$∠ FEH=90°-60°=30°$。因为$∠ DEF=20°$,所以$∠ DEH=∠ DEF+∠ FEH=20°+30°=50°$。因为$AB// CD$,所以$∠ AHM=∠ DEH=50°$。因为$∠ MHN=90°$,所以$∠ AHN=90°-50°=40°$。
(2)设$∠ DEF=x$。因为$∠ FEG=90°$,所以$∠ CEG=90°-x$。因为$∠ FGM=20°$,$∠ MGH=60°$,所以$∠ FGH=60°-20°=40°$。因为$∠ EGF=45°$,所以$∠ EGH=∠ EGF+∠ FGH=85°$。由$AB// CD$,易得$∠ AHG+∠ CEG=∠ EGH$。所以$∠ AHG=85°-(90°-x)=x-5°$。所以$∠ AHG=∠ DEF-5°$。
(3)如图,过点F作$FK// ED$。由(1)可得,$∠ AHN=40°$,$∠ DEF=20°$,根据条件可得,$∠ NHB=140°-2t°$,$∠ GED=110°+3t°$,$∠ DEF=20°+3t°$,$∠ GFK=155°+3t°$。①当$NH// GF$时,$|140-2t-155-3t|=0$或$|140-2t-155-3t|=180$,解得$t=33$;②当$NH// EF$时,$|140-2t-20-3t|=0$或$|140-2t-20-3t|=180$,解得$t=24$或60;③当$NH// EG$时,$|140-2t-110-3t|=0$或180,解得$t=6$或42。综上所述,当HN与三角形EGF的一边平行时$t$的值为6或24或33或42或60。
解析
【分析】
本题为几何探究题，分三小问逐步解决：
(1) 先利用平角定义求出∠GEH，结合三角尺直角∠GEF=90°得到∠FEH，再结合已知∠DEF算出∠DEH，利用AB//CD的同位角相等得∠AHM，最后由∠MHN=90°计算∠AHN；
(2) 设∠DEF=x，利用直角∠FEG=90°得∠CEG=90°-x，再根据三角尺角度算出∠EGH，利用AB//CD时的角的关系得到∠AHG与∠CEG、∠EGH的关系，代入化简得数量关系；
(3) 先确定旋转后各角的表达式，再分HN分别平行于GF、EF、EG三种情况，利用平行线的角度关系列方程，结合t的范围求解，注意分类讨论。
【解析】
(1) 因为∠GEM=120°，所以∠GEH=180°-∠GEM=180°-120°=60°。
又∠GEF=90°，所以∠FEH=∠GEF - ∠GEH=90°-60°=30°。
已知∠DEF=20°，所以∠DEH=∠DEF + ∠FEH=20°+30°=50°。
因为AB//CD，所以∠AHM=∠DEH=50°（两直线平行，同位角相等）。
又∠MHN=90°，所以∠AHN=∠MHN - ∠AHM=90°-50°=40°。
(2) 设∠DEF=x。
因为∠FEG=90°，所以∠CEG=180°-∠DEF - ∠FEG=180°-x-90°=90°-x。
由三角尺角度，∠MGH=60°，已知∠FGM=20°，所以∠FGH=60°-20°=40°，则∠EGH=∠EGF + ∠FGH=45°+40°=85°。
因为AB//CD，所以∠AHG + ∠CEG=∠EGH，代入得∠AHG=85°-(90°-x)=x-5°，即∠AHG=∠DEF -5°。
(3) 旋转后各角表达式：∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠DEF=20°+3t°，∠GFK=155°+3t°。
分三种情况：
① 当HN//GF时，|140-2t -155-3t|=0或180，解得t=33；
② 当HN//EF时，|140-2t - (20+3t)|=0或180，解得t=24或60；
③ 当HN//EG时，|140-2t - (110+3t)|=0或180，解得t=6或42；
结合0≤t≤60，得t的值为6、24、33、42、60。
【答案】
(1) ∠AHN的度数为40°；
(2) ∠AHG=∠DEF -5°；
(3) t的值为6或24或33或42或60。
【知识点】
平行线的性质、旋转的性质、角度计算
【点评】
本题是几何动态探究题，结合平行线性质与旋转的动态变化，考查学生的角度计算能力和分类讨论思想，需理清旋转过程中各角的变化关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题为几何探究题，分三小问逐步解决：
(1) 先利用平角定义求出∠GEH，结合三角尺直角∠GEF=90°得到∠FEH，再结合已知∠DEF算出∠DEH，利用AB//CD的同位角相等得∠AHM，最后由∠MHN=90°计算∠AHN；
(2) 设∠DEF=x，利用直角∠FEG=90°得∠CEG=90°-x，再根据三角尺角度算出∠EGH，利用AB//CD时的角的关系得到∠AHG与∠CEG、∠EGH的关系，代入化简得数量关系；
(3) 先确定旋转后各角的表达式，再分HN分别平行于GF、EF、EG三种情况，利用平行线的角度关系列方程，结合t的范围求解，注意分类讨论。
【解析】
(1) 因为∠GEM=120°，所以∠GEH=180°-∠GEM=180°-120°=60°。
又∠GEF=90°，所以∠FEH=∠GEF - ∠GEH=90°-60°=30°。
已知∠DEF=20°，所以∠DEH=∠DEF + ∠FEH=20°+30°=50°。
因为AB//CD，所以∠AHM=∠DEH=50°（两直线平行，同位角相等）。
又∠MHN=90°，所以∠AHN=∠MHN - ∠AHM=90°-50°=40°。
(2) 设∠DEF=x。
因为∠FEG=90°，所以∠CEG=180°-∠DEF - ∠FEG=180°-x-90°=90°-x。
由三角尺角度，∠MGH=60°，已知∠FGM=20°，所以∠FGH=60°-20°=40°，则∠EGH=∠EGF + ∠FGH=45°+40°=85°。
因为AB//CD，所以∠AHG + ∠CEG=∠EGH，代入得∠AHG=85°-(90°-x)=x-5°，即∠AHG=∠DEF -5°。
(3) 旋转后各角表达式：∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠DEF=20°+3t°，∠GFK=155°+3t°。
分三种情况：
① 当HN//GF时，|140-2t -155-3t|=0或180，解得t=33；
② 当HN//EF时，|140-2t - (20+3t)|=0或180，解得t=24或60；
③ 当HN//EG时，|140-2t - (110+3t)|=0或180，解得t=6或42；
结合0≤t≤60，得t的值为6、24、33、42、60。
【答案】
(1) ∠AHN的度数为40°；
(2) ∠AHG=∠DEF -5°；
(3) t的值为6或24或33或42或60。
【知识点】
平行线的性质、旋转的性质、角度计算
【点评】
本题是几何动态探究题，结合平行线性质与旋转的动态变化，考查学生的角度计算能力和分类讨论思想，需理清旋转过程中各角的变化关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
