8. 下表是当$x$取不同值时对应的整式$ax+3b$的值,小明不小心打翻了墨水在纸上,导致表格部分数据看不见,则$a,b$的值分别为 ()


A.$a=-2,b=-1$
B.$a=2,b=-1$
C.$a=-2,b=1$
D.$a=2,b=1$

8.C

【分析】要确定a、b的值，需利用表格中x与整式ax+3b的对应值，将其代入整式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
【解析】根据表格，当x=1时，ax+3b=1，代入得：$a + 3b = 1$ ①；当x=2时，ax+3b=-1，代入得：$2a + 3b = -1$ ②；用②减去①，得：$(2a + 3b) - (a + 3b) = -1 - 1$，化简得$a = -2$；把$a=-2$代入①式，得：$-2 + 3b = 1$，解得$b=1$；因此$a=-2$，$b=1$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组应用，整式代入求值
【点评】本题通过表格提供变量与整式的对应关系，考查二元一次方程组的解法，属于基础题，关键是准确选取两组对应值建立方程组求解。
【难度系数】0.7

9. 如图,已知直线$AB// CD$,E,F分别是AB,CD上的点,点H在直线AB的上方,$∠CFG:∠CFH=1:3$,EB平分$∠HEG$,当$∠G-∠H=80°$时,$∠CFG$的度数为（）

A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$

9.D 【解析】如图,过点H作HQ//AB,过点G作GK//CD,设∠CFG=α,∠HEB=β。因为∠CFG:∠CFH=1:3,AB//CD,所以∠CFH=3α,∠HEB=∠BEG=β,QH//AB//GK//CD。所以∠QHF=180°-3α,∠QHE=∠HEB=β,∠KGF=∠CFG=α,∠EGK=180°-β。所以∠EGF=180°-β+α,∠EHF=180°-3α-β。因为∠EGF-∠EHF=80°,所以180°-β+α-180°+3α+β=80°。所以α=∠CFG=20°。故选D。

【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质构造辅助线，将分散的角度转化为与平行线相关的角，结合角平分线的定义和已知的角度差条件，通过设未知数建立方程求解。核心思路是：过H、G作与AB、CD平行的辅助线，把∠G和∠H用未知数表示，再根据∠G - ∠H=80°列方程计算。
【解析】
如图，过点H作HQ//AB，过点G作GK//CD。设∠CFG=α，∠HEB=β。
1. 由∠CFG:∠CFH=1:3，得∠CFH=3α；
2. 因EB平分∠HEG，故∠HEB=∠BEG=β；
3. 已知AB//CD，根据平行线的传递性，得HQ//AB//GK//CD；
4. 根据平行线的性质：
同旁内角互补：∠QHF=180°-∠CFH=180°-3α，∠EGK=180°-∠BEG=180°-β；
内错角相等：∠QHE=∠HEB=β，∠KGF=∠CFG=α；
5. 推导∠EGF和∠EHF：
∠EGF=∠EGK + ∠KGF=(180°-β)+α，
∠EHF=∠QHF - ∠QHE=(180°-3α)-β；
6. 根据∠EGF - ∠EHF=80°，代入得：
(180°-β+α)-(180°-3α-β)=80°，
化简得4α=80°，解得α=20°，即∠CFG=20°。
【答案】D
【知识点】平行线的性质、角平分线的定义
【点评】本题通过构造辅助线转化角度关系，结合方程思想求解，考查了平行线性质和角平分线的应用，需要学生掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】0.3

10.一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式$2x^2+px+c$,$-x^2+qx+c$(其中$p,q,c$均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如表所示:

(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c=2b$时,$p-q=3$;②当$\frac{p}{q}=3$时,$5a=4b$;③当$a^2+b^2=2$时,$p^2=8+4c$;④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,$p^2=8+4c$。以上结论中,正确的是 ()

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

10.A 【解析】因为$2x^2+px+c=2(x+a)(x+b)=2x^2+2(a+b)x+2ab$,所以$p=2a+2b$,$c=2ab$。又$-x^2+qx+c=(x+a)(-x+2b)=-x^2+(2b-a)x+2ab$,所以$q=2b-a$,$c=2ab$。①当$c=2b$时,代入代数式得$a=1$,此时$p=2+2b$,$q=2b-1$,则$p-q=3$,故①正确。②当$\frac{p}{q}=3$时,由$p=2a+2b$和$q=2b-a$,得$5a=4b$,故②正确。③当$a^2+b^2=2$时,$p^2=(2a+2b)^2=4a^2+8ab+4b^2$,得$p^2=8+4c$,故③正确。④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,$a=\frac{b}{2}$,则$p=3b$,$c=b^2$,得$p^2=9b^2=9c$,故④错误。综上所述,正确的是①②③。故选A。

【分析】
要解决本题，需先利用整式乘法将因式分解后的式子展开，与原二次多项式对应系数相等，得到p、q、c与a、b的关系；再将各结论的条件代入关系式，逐一验证结论的正确性，最终选出正确选项。
【解析】
1. 展开因式分解式，对应系数得关系：
对$2(x+a)(x+b)$展开：$2(x+a)(x+b)=2x^2+2(a+b)x+2ab$，与$2x^2+px+c$对比，得$p=2(a+b)$，$c=2ab$；
对$(x+a)(-x+2b)$展开：$(x+a)(-x+2b)=-x^2+(2b-a)x+2ab$，与$-x^2+qx+c$对比，得$q=2b-a$，$c=2ab$。
2. 逐一验证结论：
①当$c=2b$时，由$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，故$a=1$；此时$p=2(1+b)=2+2b$，$q=2b-1$，则$p-q=(2+2b)-(2b-1)=3$，结论①正确；
②当$\frac{p}{q}=3$时，代入$p=2(a+b)$、$q=2b-a$，得$\frac{2(a+b)}{2b-a}=3$，交叉相乘整理得$5a=4b$，结论②正确；
③当$a^2+b^2=2$时，$p^2=(2a+2b)^2=4(a^2+2ab+b^2)=4[(a^2+b^2)+2ab]$，因$c=2ab$，故$p^2=4(2+c)=8+4c$，结论③正确；
④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时，$a=\frac{1}{2}b$，则$c=2ab=b^2$，$p=2(a+b)=3b$，故$p^2=9b^2=9c≠8+4c$，结论④错误。
综上，正确结论为①②③，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解与整式乘法、多项式系数对应
【点评】
本题通过二次多项式的因式分解与整式乘法的恒等关系建立参数联系，考查代数变形与逻辑推理能力，需准确对应系数并逐一验证结论。
【难度系数】
0.5

11. 因式分解：$a - a^2 =$。

11.$a(1-a)$

【分析】观察多项式$a - a^2$，两项都含有公因式$a$，因式分解的常用方法之一是提公因式法，因此先确定公因式，再将多项式各项除以公因式得到剩余部分，组合后即可完成因式分解。
【解析】对$a - a^2$提取公因式$a$，计算得：$a - a^2 = a(1 - a)$。
【答案】$a(1 - a)$
【知识点】因式分解、提公因式法
【点评】本题是基础因式分解题，考查提公因式法的应用，属于因式分解的入门题型，主要考察学生对基本因式分解方法的掌握情况。
【难度系数】0.9

12. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为。

12.4

【分析】首先明确频数的定义：频数是指某个对象出现的次数。解题时先写出“DeepSeek”的所有字母，再逐一统计字母“e”出现的次数即可。
【解析】先写出单词“DeepSeek”的所有字母：D、e、e、p、S、e、e、k，逐一数出字母“e”出现的次数，共4次，因此字母“e”出现的频数为4。
【答案】4
【知识点】频数的概念、统计初步
【点评】本题属于基础题，主要考察对频数概念的理解和简单的计数能力，只要仔细数出指定字母的出现次数即可，难度较低。
【难度系数】0.9

13. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-2}{3-x}=2$有增根，则增根是________。

13.$x=3$

【分析】
要解决分式方程的增根问题，首先需明确增根的定义：增根是分式方程去分母转化为整式方程后，得到的使原分式方程分母为0的根。解题步骤为：①确定原分式方程的分母，令分母为0，得到可能的增根候选值；②将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程；③判断整式方程的解是否使原分母为0，若是则该解为增根。
【解析】
原方程$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-2}{3-x}=2$，先将第二个分式变形：$\dfrac{x-2}{3-x}=-\dfrac{x-2}{x-3}$，则原方程可化为：
$\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{x-2}{x-3}=2$
两边同乘最简公分母$(x-3)$（注意$x≠3$），去分母得：
$1 - (x - 2) = 2(x - 3)$
化简左边：$1 - x + 2 = 3 - x$，右边：$2x - 6$，则：
$3 - x = 2x - 6$
移项合并同类项：$3x = 9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入原分式方程的分母$x-3$，得$x-3=0$，分母为0，因此$x=3$是原方程的增根。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的增根、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程增根的概念及解法，核心是理解增根的产生原因（去分母后整式方程的根使原分式分母为0），解题过程需注意分式变形时分母的符号处理，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

14.一个长、宽分别为$a,b$的长方形的周长为20,面积为24,则$a^2b+ab^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

14.240

【分析】
要解决这个问题，首先根据长方形的周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值，再对所求代数式因式分解，利用整体代入的思想计算结果。具体思路：1. 由周长公式推导$a+b$的值；2. 由面积公式直接得到$ab$的值；3. 将所求式子变形为含$a+b$和$ab$的形式，代入已知值计算。
【解析】
解：根据长方形周长公式，$2(a+b)=20$，解得$a+b=10$；
根据长方形面积公式，$ab=24$；
对$a^2b+ab^2$提取公因式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$；
将$a+b=10$、$ab=24$代入上式：
原式$=24×10=240$。
【答案】
240
【知识点】
因式分解的应用；代数式求值；长方形周长与面积
【点评】
本题属于基础题型，主要考查提公因式法因式分解、整体代入思想以及长方形的周长和面积公式，解题关键是对所求代数式合理变形，利用已知整体值简化计算，难度较低。
【难度系数】
0.7

15.如图,两面镜子AB,BC的夹角为α,一束与AB平行的光经过两次镜面反射后,与原光的夹角为β。若β=32°,则α的度数为°。

15.74 【解析】如图,与AB平行的光GD经过第一次镜面反射后得到线段DF,经过第二次镜面反射后得到射线FH,交GD于点E。因为经过两次镜面反射后,与原光的夹角为β=32°,所以β=∠GEH=32°。因为AB与光GD平行,所以β=∠GEH=∠AFH=32°,∠B=∠GDC=α,∠DFB=∠GDF。由镜面反射可得∠DFB=∠AFH=β=32°,∠FDB=∠GDC=α,因为∠GDF+∠FDB+∠GDC=180°,所以32°+α+α=180°,解得α=74°。

【分析】本题是结合镜面反射的几何计算题，解题思路：首先利用镜面反射“反射角等于入射角”的性质，得到相关角的等量关系；再结合平行线的同位角、内错角相等的性质，找到与已知角β关联的角；最后利用平角为180°的性质，列出关于α的方程，求解得到α的度数。
【解析】根据题意，入射光线与AB平行，两次反射后出射光线与入射光线的夹角β=32°。由镜面反射性质（反射角等于入射角），得∠DFB=∠AFH=β=32°，∠FDB=∠GDC=α。因为AB//入射光线GD，所以∠GDF=∠DFB=32°（两直线平行，内错角相等）。又因为点D在BC上，∠GDF + ∠FDB + ∠GDC =180°，代入得：32°+α+α=180°，解得2α=148°，即α=74°。
【答案】74
【知识点】镜面反射性质、平行线性质、平角性质
【点评】本题将镜面反射规律与几何角计算结合，需灵活运用平行线性质和反射规律，通过角的等量关系建立方程求解，考查几何知识的综合应用能力，难度中等。
【难度系数】0.5

16.为了激发学生的数学兴趣,某学校七年级举办了(第15题)
“数学挑战”大赛,现有小吴、小兴、小奕三名同学进入了最后冠军的角逐,决赛共分为六轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(没有并列),对应名次的得分都分别为$a,b,c(a＞b＞c$且$a,b,c$均为正整数)。选手的最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况(单位为分,$m$为正整数)。根据题中所给信息,$m=$,小奕同学第六轮的得分为分。

16.2 2 【解析】根据题意得,$6(a+b+c)=30+m+12+12-m$,所以$a+b+c=9$。若$a=5$,则$6a=30＜30+m$,所以$a＞5$。由条件可知$b+c$的最小值为3,所以$a=6$,$b=2$,$c=1$。由条件可知小兴同学剩下4轮的总分数为$12-6-2=4$(分),所以4次第三。因为小吴同学最后得分为$30+m$,所以小吴同学得5次第一,1次第二,即第三轮得第二。所以$30+m=5×6+2$,解得$m=2$。所以小奕同学第六轮的得分为2分。

【分析】首先，根据六轮比赛的总得分等于三位选手得分之和，结合每轮得分和为$a+b+c$，可求出$a+b+c$的值；再根据$a＞b＞c$且均为正整数的条件，确定$a$、$b$、$c$的具体值；接着结合各选手的得分分布，利用总得分、各轮得分的关系，求出$m$的值，最后推导小奕第六轮的得分。
【解析】
1. 计算六轮总得分：小吴得分$30+m$，小兴得分$12$，小奕得分$12−m$，总得分$=(30+m)+12+(12−m)=54$。因为每轮得分和为$a+b+c$，共6轮，所以$6(a+b+c)=54$，解得$a+b+c=9$。
2. 确定$a$、$b$、$c$的值：$a＞b＞c$且均为正整数，若$a=5$，则$b+c=4$，此时小吴最多得$6×5=30$，无法满足$30+m＞30$（$m$为正整数），故$a＞5$；又$b+c$最小为$1+2=3$，因此$a=6$，$b+c=3$，即$b=2$，$c=1$（满足$b＞c$）。
3. 求$m$的值：小兴得分$12$，含1个$a=6$、1个$b=2$，剩余4轮得分$=12−6−2=4$，刚好为4个$c=1$，符合条件；小吴得分$30+m$，结合第三轮得分：小兴得$a=6$、小奕得$c=1$，故小吴第三轮得$b=2$，且小吴需得5个$a=6$（$5×6=30$），剩余1轮得分$m$；结合总$c$的数量为6，小兴有4个$c$，故小吴和小奕的$c$共2个，推导得$m=2$。
4. 确定小奕第六轮得分：小奕得分$12−m=10$，结合各轮得分分布，最终得第六轮得分为2分。
【答案】2；2
【知识点】整式加减应用、逻辑推理、正整数性质
【点评】本题通过比赛得分的数量关系，结合正整数的限制条件逐步推导，重点考查对复杂数据的分析与逻辑推理能力。
【难度系数】0.5