20. 明明在数学课外阅读中认识了“史密斯数”，如：$27=3×3×3$，$3+3+3=2+7$，即27是“史密斯数”，$51=3×17$，$3+1+7=11$，$5+1=6≠11$，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有()个。

A.1
B.2
C.3
D.4

20. B
【解析】根据“史密斯数”的定义对数进行分析。
| 数 | 分析 | 是否是“史密斯数” |
| ---- | ---- | ---- |
| 4 | $4=2×2,2+2=4$。 | 是 |
| 15 | $15=3×5,3+5=8$,$1+5=6≠8$。 | 否 |
| 22 | $22=2×11$,$2+1+1=2+2$。 | 是 |
| 56 | $56=2×2×2×7$,$2+2+2+7=13$,$5+6=11≠13$。 | 否 |
所以在4、15、22、56这四个数中,符合“史密斯数”特征的有2个。

【分析】首先明确“史密斯数”的定义：将自然数分解质因数后，所有质因数每个数位上的数字之和，等于原数每个数位上的数字之和，这样的数即为史密斯数。解题时，需对题目给出的4、15、22、56四个数，分别分解质因数，计算质因数的数字和与原数的数字和，再对比判断是否符合定义，最后统计符合的个数即可。
【解析】根据史密斯数的定义，逐个分析如下：
1. 数4：分解质因数得$4=2×2$，质因数的数字和为$2+2=4$；原数4的数字和为4，两者相等，故4是史密斯数。
2. 数15：分解质因数得$15=3×5$，质因数的数字和为$3+5=8$；原数15的数字和为$1+5=6$，$8≠6$，故15不是史密斯数。
3. 数22：分解质因数得$22=2×11$，质因数的数字和为$2+1+1=4$；原数22的数字和为$2+2=4$，两者相等，故22是史密斯数。
4. 数56：分解质因数得$56=2×2×2×7$，质因数的数字和为$2+2+2+7=13$；原数56的数字和为$5+6=11$，$13≠11$，故56不是史密斯数。
综上，符合史密斯数特征的有2个。
【答案】B
【知识点】分解质因数、数字和
【点评】本题为定义新运算类题目，核心是准确理解“史密斯数”的定义，通过分解质因数、计算数字和的方法逐一验证，只要细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】0.6

21. 一个等腰三角形的两条边分别长$\frac{1}{3}\mathrm{m}$和$\frac{5}{6}\mathrm{m}$，这个等腰三角形的周长是( )$\mathrm{m}$。

A.$\frac{7}{6}$
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.2或$\frac{3}{2}$

21. C

【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形的性质和三角形三边关系分析：等腰三角形两腰相等，因此需分两种情况确定腰和底；再根据“三角形任意两边之和大于第三边”判断哪种情况成立，最后计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若腰长为$\frac{1}{3}\mathrm{m}$，底边长为$\frac{5}{6}\mathrm{m}$，则两腰之和为$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\mathrm{m}$，比较得$\frac{1}{3}\mathrm{m}＜\frac{5}{6}\mathrm{m}$，不满足三角形三边关系，此情况不成立；
2. 若腰长为$\frac{5}{6}\mathrm{m}$，底边长为$\frac{1}{3}\mathrm{m}$，则两腰之和为$\frac{5}{6}+\frac{5}{6}=\frac{5}{3}\mathrm{m}$，比较得$\frac{5}{3}\mathrm{m}＞\frac{1}{3}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系，此时周长为$\frac{5}{6}+\frac{5}{6}+\frac{1}{3}=2\mathrm{m}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分数加法计算
【点评】
本题易因忽略三角形三边关系，误选D选项，需牢记等腰三角形需同时满足三边关系，是基础易错题。
【难度系数】
0.5

四、实践操作。（9分）
22. (1)画出平行四边形ABCD向左平移6格后的图形平行四边形$A'B'C'D'$。（2分）
(2)画出平行四边形$A'B'C'D'$绕$A'$点逆时针旋转$90°$后的图形平行四边形$A'B''C''D''$。（2分）

22.
(1)画图见
(2)画图见

【分析】
要解决这道题，分两步完成作图：第一步是平移操作，需将平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别向左平移6格，找到每个顶点平移后的对应点，再按原顺序连接对应点得到平移后的图形；第二步是旋转操作，以平移后得到的A'为旋转中心，将A'B'、A'D'分别逆时针旋转90°，结合平行四边形对边的性质确定其余顶点，连接后得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 平移作图：分别标记平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D，将每个顶点沿水平方向向左数6格，得到对应点A'、B'、C'、D'，按照原平行四边形的连接顺序，依次连接A'→B'→C'→D'→A'，即得到向左平移6格后的平行四边形A'B'C'D'。
(2) 旋转作图：以A'为旋转中心，将线段A'B'绕A'点逆时针旋转90°得到线段A'B''，将线段A'D'绕A'点逆时针旋转90°得到线段A'D''；根据平行四边形对边平行且相等的性质，确定点C''的位置，最后顺次连接A'→B''→C''→D''→A'，即得到绕A'点逆时针旋转90°后的平行四边形A'B''C''D''。
【答案】
22. (1)画图见；(2)画图见
【知识点】
图形的平移、图形的旋转
【点评】
本题考查图形平移和旋转的基本作图，核心是找准平移、旋转后的对应点，属于基础操作类题目，需熟练掌握作图的基本方法。
【难度系数】
0.5

23. 请根据下面的图表信息回答问题。


(1)请补全折线统计图。(2分)
(2)A、B两景区()月份门票收入一致,()月份门票收入相差最大。(2分)
(3)A景区1~5月总门票收入是B景区1~5月总门票收入的$\frac{ }{ }$。(用分数表示)(1分)

23.
(1)补全折线统计图见
(2)3 5
(3)$\frac{23}{24}$

【分析】
首先，问题（1）需依据图表中A、B景区各月的门票收入数据，将对应点用折线连接完成统计图；问题（2）通过对比各月A、B景区的收入数值，找出收入相等的月份，再计算各月收入差确定差值最大的月份；问题（3）先分别计算A、B景区1~5月的总门票收入，再用A景区总收入除以B景区总收入，化简分数得到结果。
【解析】
（1）补全折线统计图：根据图表中已标注的A、B景区1~5月各月门票收入数据，将同一景区相邻月份的点用折线依次连接，即可完成折线统计图（具体补全见对应图示）。
（2）对比各月收入：1月A景区收入30万元、B景区10万元；2月A景区40万元、B景区20万元；3月A景区50万元、B景区50万元；4月A景区55万元、B景区75万元；5月A景区55万元、B景区85万元。因此3月份两景区门票收入一致；计算各月收入差：1月差20万元，2月差20万元，3月差0，4月差20万元，5月差30万元，故5月份门票收入相差最大。
（3）计算总收入：A景区1~5月总门票收入=30+40+50+55+55=230（万元）；B景区1~5月总门票收入=10+20+50+75+85=240（万元）；则A景区总收入是B景区的230÷240=$\frac{23}{24}$。
【答案】
23.
(1)补全折线统计图见
(2)3；5
(3)$\frac{23}{24}$
【知识点】
折线统计图、数据计算、分数化简
【点评】
本题考查对折线统计图的理解与应用，需准确读取数据，通过对比、计算解决问题，注重基础统计能力的考查，难度适中。
【难度系数】
0.5

24. 同学们去春游，如果把30袋果冻和42瓶矿泉水平均分给各个小组，正好分完，同学们最多可以分成几个小组？这时每个小组分得多少袋果冻和多少瓶矿泉水？（3分）

24. 30和42的最大公因数是6,即同学们最多可以分成6个小组。
$30÷6=5$(袋) $42÷6=7$(瓶)
答:同学们最多可以分成6个小组,这时每个小组分得5袋果冻和7瓶矿泉水。

【分析】首先明确题目要求：将30袋果冻和42瓶矿泉水平均分给各个小组且正好分完，求最多的小组数，本质是求30和42的最大公因数（最大公因数是能同时整除两个数的最大数，对应最多的小组数量）；求出小组数后，用果冻总数除以小组数得到每组分得的果冻数，用矿泉水总数除以小组数得到每组分得的矿泉水数。
【解析】1. 求30和42的最大公因数：分别列出两个数的因数，30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30；42的因数为1、2、3、6、7、14、21、42；两者的最大公因数是6，即最多可分成6个小组。2. 计算每组分得的物品数量：果冻：$30÷6=5$（袋）；矿泉水：$42÷6=7$（瓶）。
【答案】同学们最多可以分成6个小组，这时每个小组分得5袋果冻和7瓶矿泉水。
【知识点】最大公因数、整数除法
【点评】本题是最大公因数在实际分配问题中的典型应用，核心是将“正好分完且小组数最多”的条件转化为求两个数的最大公因数，考查学生对最大公因数概念的理解与实际应用能力。
【难度系数】0.7