6. (2025·宁波市江北区期末)如图,在一个对边平行的纸条上有A,B两点及线段AB的中点O,以下操作和判断不正确的是 ()

A.过点O作任意直线(除直线AB)交纸条两边于点C,D,得到平行四边形ACBD
B.过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C,D,得到菱形ACBD
C.分别过点A,B作对边的垂线,交对边于点D,C,得到矩形ACBD
D.在点A,B所在边的对边分别取C,D两点,使得$AC=BD$,得到平行四边形ACBD

6.D 【解析】如图1,过点O作任意直线(除直线AB)交纸条两边于点C,D。因为AC//BD,所以∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB。又因为OA=OB,所以△OAC≌△OBD(AAS),所以OC=OD,所以四边形ACBD是平行四边形,故选项A正确,不符合题意;如图2,过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C,D。同理可证,四边形ACBD是平行四边形。因为AB⊥CD,所以四边形ACBD是菱形,故选项B正确,不符合题意;如图3,分别过点A,B作对边的垂线,交对边于点D,C。因为AC//BD,AD⊥BD,BC⊥AC,所以∠ADB=∠BCA=∠DAC=90°,所以四边形ACBD是矩形,故选项C正确,不符合题意;如图4,在点A,B所在边的对边分别取C,D两点,使得AC=BD,根据AC=BD,AD//BC,不能判定四边形ACBD是平行四边形,故选项D错误,符合题意。

【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，需结合纸条对边平行的性质，利用全等三角形和特殊四边形的判定定理逐一分析每个选项，判断其正确性。
【解析】
选项A：因为纸条对边平行，故$AC// BD$，可得$∠ OAC=∠ OBD$，$∠ OCA=∠ ODB$。又O是AB中点，即$OA=OB$，所以$△ OAC≌△ OBD$（AAS），得$OC=OD$。对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此四边形ACBD是平行四边形，A正确。
选项B：过点O作AB的垂线$l$交纸条两边于C、D，同理可证$△ OAC≌△ OBD$，得$OC=OD$，故四边形ACBD是平行四边形。又$AB⊥ CD$，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此四边形ACBD是菱形，B正确。
选项C：分别过点A、B作对边的垂线，交对边于D、C，可得$AD⊥ BD$，$BC⊥ AC$。结合$AC// BD$，可知$∠ DAC=∠ ADB=∠ BCA=90°$，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形ACBD是矩形，C正确。
选项D：在对边取C、D使$AC=BD$，虽然$AC// BD$，但仅一组对边平行且相等才是平行四边形，仅$AC=BD$无法判定，可能为等腰梯形，因此四边形ACBD不一定是平行四边形，D错误。
【答案】6.D
【知识点】平行四边形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】本题结合实际图形（纸条对边平行）考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各类四边形的判定定理，逐一分析选项，难度适中。
【难度系数】0.5

7. (2025·宁波市慈溪市期末)如图,在$□ ABCD$中,过点$A,C$分别作$AF ⊥ CD,CE ⊥ AB$,交$CD,AB$的延长线于点$F,E$。
(1)求证:四边形$AECF$是矩形。
(2)联结$AC,BD$交于点$O$,若$AC ⊥ BD,AC=\sqrt{30},BE=2$,求矩形$AECF$的周长。

(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD//AB。因为AF⊥CD,所以AF⊥AB。又因为CE⊥AB,所以∠F=∠FAE=∠E=90°,所以四边形AECF是矩形。
(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,所以平行四边形ABCD是菱形,所以AB=BC。设AB=BC=x,则AE=AB+BE=x+2。因为CE²=AC²−AE²=BC²−BE²,所以(√30)²−(x+2)²=x²−2²,解得x₁=3,x₂=−5(舍去)。所以AB=BC=3,所以AE=AB+BE=3+2=5,CE=√BC²−BE²=√3²−2²=√5,所以矩形AECF的周长为2(AE+CE)=2(5+√5)=10+2√5。

【分析】
第(1)问要证明四边形AECF是矩形，需利用矩形“三个角为直角的四边形是矩形”的判定，结合平行四边形对边平行的性质，由已知垂直关系推出三个直角即可；第(2)问，平行四边形对角线垂直则为菱形，得AB=BC，再设AB为未知数，利用勾股定理表示CE的长度，建立方程求解，最后计算矩形周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，
∵ AF⊥CD，
∴ AF⊥AB，
又
∵ CE⊥AB，
∴ ∠F = ∠FAE = ∠E = 90°，
∴ 四边形AECF是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，
设AB = BC = x，则AE = AB + BE = x + 2，
在Rt△ACE中，CE² = AC² - AE² = (√30)² - (x + 2)²，
在Rt△BCE中，CE² = BC² - BE² = x² - 2²，
∴ (√30)² - (x + 2)² = x² - 2²，
整理得：x² + 2x - 15 = 0，
解得x₁=3，x₂=-5（舍去），
∴ AB=BC=3，AE=3+2=5，
CE=√(BC² - BE²)=√(3² - 2²)=√5，
∴ 矩形AECF的周长=2×(AE + CE)=2×(5 + √5)=10 + 2√5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 矩形AECF的周长为10 + 2√5。
【知识点】
矩形判定、菱形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质，需结合勾股定理建立方程求解，关键是利用菱形性质得到边的等量关系，对学生的知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$中三个顶点的坐标分别为$A(-6,0),B(6,0),C(0,6)$,动点$E$在$BC$上,联结$OE$,过点$O$作$OF ⊥ OE$交$AC$于点$F$。联结$EF$,取$EF$的中点$M$,联结$OM$并延长至点$G$,使$MG=MO$,联结$EG,FG$。
(1)求证:$△ OBE ≌ △ OCF$。
(2)判断四边形$OEGF$的形状并证明。
(3)当点$G$到$BC$的距离等于$\sqrt{2}$时,直接写出此时点$F$的坐标。

(1)证明:因为A(−6,0),B(6,0),C(0,6),所以OA=OB=OC=6,所以∠ACB=90°。因为OC⊥AB,所以CA=CB,所以∠ACO=∠ABC=45°。因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°,所以∠BOC=∠EOF=90°,所以∠BOE=∠COF,所以△OBE≌△OCF(ASA)。
(2)解:四边形OEGF是正方形。证明:因为△OBE≌△OCF,所以OE=OF。因为ME=MF,所以OG⊥EF。因为OM=MG,ME=MF,所以四边形OEGF是平行四边形。因为OG⊥EF,所以平行四边形OEGF是菱形。因为OE⊥OF,所以菱形OEGF是正方形。
(3)解:点F的坐标为(−2,4)或(−4,2)。【解析】如图1,当点G在直线BC的上方时,过点G分别作GH⊥BC于点H,GR⊥AC交AC的延长线于点R。因为∠GHC=∠RCH=∠R=90°,所以四边形GHCR是矩形,所以∠RGH=∠EGF=90°,所以∠FGR=∠EGH。又因为∠R=∠GHE=90°,GF=GE,所以△GRF≌△GHE(AAS),所以GR=GH,FR=EH,所以矩形GHCR是正方形,所以GH=CH=CR=GR=√2。因为△OBE≌△OCF,所以BE=CF。设BE=CF=x。因为FR=EH,所以x+√2=6√2−√2−x,解得x=2√2。所以CF=2√2,所以F(−2,4);如图2,当点G在直线BC的下方时,过点G分别作GR⊥AC于点R,GH⊥BC交BC的延长线于点H。同理可证,四边形CHGR是正方形。设CF=BE=x。由FR=EH,得x−√2=7√2−x,解得x=4√2。所以CF=4√2,所以F(−4,2)。综上所述,点F的坐标为(−2,4)或(−4,2)。

【分析】
要解决本题，先根据坐标确定△ABC为等腰直角三角形，得到OB=OC及相关角度，为全等证明铺垫；第(1)问通过找边、角相等用ASA证全等；第(2)问利用中点性质得平行四边形，结合全等得邻边相等、对角线垂直，判定为正方形；第(3)问分G在BC上下两侧，利用正方形性质和距离条件计算CF长度，进而得到F坐标。
【解析】
(1) 证明：由A(-6,0)、B(6,0)、C(0,6)，得OA=OB=OC=6，故△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠OBE=∠OCF=45°。因为OF⊥OE，所以∠EOF=90°，又∠BOC=90°，则∠BOE=∠BOC - ∠EOC=90°-∠EOC，∠COF=∠EOF - ∠EOC=90°-∠EOC，故∠BOE=∠COF。在△OBE和△OCF中，$\{\begin{array}{l}∠BOE=∠COF\\OB=OC\\∠OBE=∠OCF\end{array} $，所以△OBE≌△OCF(ASA)。
(2) 解：四边形OEGF是正方形，证明：因为M是EF中点，所以ME=MF，又MG=MO，故四边形OEGF是平行四边形。由△OBE≌△OCF得OE=OF，所以平行四边形OEGF是菱形。又∠EOF=90°，所以菱形OEGF是正方形。
(3) 解：当点G到BC的距离为$\sqrt{2}$时，分两种情况：
① 点G在BC上方时，过G作GH⊥BC、GR⊥AC，易证四边形GHCR是正方形，GH=√2，得CF=BE=2√2，故F(-2,4)；
② 点G在BC下方时，同理可得CF=4√2，故F(-4,2)。
综上，F的坐标为(-2,4)或(-4,2)。
【答案】(-2,4)或(-4,2)
【知识点】全等三角形判定、正方形判定、坐标与图形性质
【点评】本题结合平面直角坐标系，综合考查全等三角形、正方形的判定与性质，需分情况讨论G的位置，对几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】0.5