5. (2025·绍兴市嵊州市期末)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点。
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形。
②若$AC=BD$,则四边形EFGH是菱形。
③若$AC⊥BD$,则四边形EFGH是矩形。
④若$AC=BD,AC⊥BD$,则四边形EFGH是正方形。
上述四个结论中正确的是 ()

A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

5.D 【解析】因为在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点,所以HG//AC,HG=1/2 AC,EF//AC,EF=1/2 AC,EH//BD,EH=1/2 BD,所以HG//EF,HG=EF,所以四边形EFGH是平行四边形,故结论①正确;当AC=BD时,则HG=EH,所以四边形EFGH是菱形,故结论②正确;当AC⊥BD时,则HG⊥EH,所以∠GHE=90°,所以四边形EFGH是矩形,故结论③正确;当AC=BD,AC⊥BD,则HG=EH,HG⊥HE,所以四边形EFGH是正方形,故结论④正确。

【分析】
本题考查中点四边形的判定，核心是利用三角形中位线定理推导四边形EFGH的边与AC、BD的关系，再结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定条件逐一验证四个结论。首先根据三角形中位线定理得到各边与AC、BD的数量和位置关系，再根据AC、BD的数量、垂直关系判断中点四边形的形状。
【解析】
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
∴在△ADC中，HG是中位线，故HG//AC，HG=$\frac{1}{2}$AC；
在△ABC中，EF是中位线，故EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC；
因此HG//EF且HG=EF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形EFGH是平行四边形，故结论①正确。
当AC=BD时，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，
结合HG=$\frac{1}{2}$AC，可得HG=EH，
又
∵四边形EFGH是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故结论②正确。
当AC⊥BD时，
∵HG//AC，EH//BD，
∴HG⊥EH，即∠GHE=90°，
又
∵四边形EFGH是平行四边形，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，故结论③正确。
当AC=BD且AC⊥BD时，
由上述推导可知，四边形EFGH是平行四边形，且邻边相等（HG=EH）、有一个角是直角（∠GHE=90°），
根据“既是菱形又是矩形的四边形是正方形”，故四边形EFGH是正方形，结论④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；特殊四边形的判定
【点评】
本题围绕中点四边形的形状判定展开，核心是运用三角形中位线定理建立中点四边形与原四边形对角线的联系，再结合特殊四边形的判定条件分析，属于几何基础题型，需熟练掌握中位线性质和特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.5