9. 如图,点O为坐标原点,四边形ABCD是菱形,A(-8,8),点B在第一象限,AB=10,AB与y轴交于点F,对角线AC交y轴于点E。
(1)直接写出B,C两点的坐标。
(2)动点P从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿折线C-D-A运动,设运动时间为t秒,请用含t的代数式表示$△ EDP$的面积。
(3)在(2)的条件下,是否存在一点P,使$△ APE$沿其一边翻折构成的四边形是菱形?若存在,请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P;若不存在,请说明理由。

备用图

(1)解:点B的坐标为(2,8),点C的坐标为(8,0)。【解析】如图1,过点A作AH⊥CD于点H。因为四边形ABCD是菱形,所以CD=AB=BC=10,CD//AB。因为A(−8,8),所以AH=OH=8,DH=√AD²−AH²=6,所以OD=2,OC=8,所以点B的坐标为(2,8),点C的坐标为(8,0)。
(2)解:如图2,联结DE,过点E作EK⊥AD于点K。设直线AC的表达式为y=kx+b。因为A(−8,8),C(8,0),所以{-8k+b=8, 8k+b=0,解得{k=−1/2, b=4,所以直线AC的表达式为y=−1/2 x+4,所以E(0,4),所以EF=OE=4。因为四边形ABCD是菱形,所以∠EAF=∠EAK。因为AE=AE,∠AFE=∠AKE=90°,所以△AEF≌△AEK(AAS),所以EF=EK=4。当0≤t＜5时,S△EDP=1/2×4(10−2t)=−4t+20;当5＜t≤10时,S△EDP=1/2×4(2t−10)=4t−20。综上所述,△EDP的面积为S△EDP={−4t+20,0≤t＜5, 4t−20,5＜t≤10}。
(3)解:存在。当t为(10−2√5)或15/2秒时存在符合条件的点P。【解析】①如图3,当点P在AD上,AP=AE时,沿PE翻折,可得四边形PAEA'是菱形。在Rt△AEF中,AE=√AF²+EF²=√8²+4²=4√5,所以AP=AE=4√5,所以t=1/2×(20−4√5)=10−2√5;②如图4,当点P在AD上,PA=PE时,沿AE翻折,可得四边形PAP'E是菱形。设PA=PE=EP'=AP'=x。在Rt△EFP'中,由勾股定理,得x²=(8−x)²+4²,解得x=5。所以PA=5,所以t=1/2×(20−5)=15/2。综上所述,当t为(10−2√5)或15/2秒时存在符合条件的点P。

【分析】
本题是菱形与动点、翻折结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用菱形对边平行且相等的性质，结合勾股定理求出D、C点坐标，进而得到B点坐标；
2. 第(2)问：先确定动点P的运动分段（C→D和D→A，时间分界为t=5），再求出直线AC的解析式得到E点坐标，分两段计算△EDP的面积（对应不同的底和高）；
3. 第(3)问：根据翻折后构成菱形的条件，分P在AD上的两种情况（AP=AE、PA=PE），利用勾股定理或方程求解t的值，需注意动点的位置范围。
【解析】
(1) 如图1，过点A作AH⊥CD于H。
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=10，CD//AB。
∵A(-8,8)，
∴AH=8，AD=10，在Rt△AHD中，DH=√(AD² - AH²)=√(10²-8²)=6，
∴D点坐标为(-8+6,0)=(-2,0)，则C点坐标为(-2+10,0)=(8,0)；
∵AB//CD，AB=10，A(-8,8)，
∴B点横坐标为-8+10=2，纵坐标与A相同为8，即B(2,8)。
(2) 设直线AC的表达式为y=kx+b，代入A(-8,8)、C(8,0)：
$\begin{cases}-8k + b=8 \\8k + b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2} \\b=4\end{cases}$，
∴直线AC：$y=-\frac{1}{2}x+4$，得E(0,4)。
动点P沿C-D-A运动，CD=10，速度2单位/秒，故C→D时间为$10÷2=5$秒，分两段：
①当$0≤t＜5$时，P在CD上，DP=CD - CP=10-2t，E到CD的高为OE=4，
∴$S_{△EDP}=\frac{1}{2}×DP×4=\frac{1}{2}×(10-2t)×4=-4t+20$；
②当$5＜t≤10$时，P在DA上，过E作EK⊥AD于K，由△AEF≌△AEK得EK=4，DP=2t-10，
∴$S_{△EDP}=\frac{1}{2}×DP×4=\frac{1}{2}×(2t-10)×4=4t-20$；
综上，$S_{△EDP}=\begin{cases}-4t+20 & (0≤t＜5) \\4t-20 & (5＜t≤10)\end{cases}$。
(3) 存在，分两种情况：
①如图3，当P在AD上，AP=AE时，翻折后得菱形。
在Rt△AEF中，AF=8，EF=8-4=4，
∴AE=√(8²+4²)=4√5，AP=AE=4√5，
P从C到D用5秒，D到P的时间为$\frac{AD - AP}{2}=\frac{10-4√5}{2}=5-2√5$，
∴总时间$t=5 + (5-2√5)=10-2√5$；
②如图4，当P在AD上，PA=PE时，翻折后得菱形。设PA=PE=x，
在Rt△EFP'中，由勾股定理得$x²=(8-x)²+4²$，解得x=5，
P从D到P的时间为$\frac{10-5}{2}=2.5$，总时间$t=5+2.5=\frac{15}{2}$；
故t的值为$10-2√5$或$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) B(2,8)，C(8,0)；
(2) $S_{△EDP}=\begin{cases}-4t+20 & (0≤t＜5) \\4t-20 & (5＜t≤10)\end{cases}$；
(3) $t=10-2√5$或$\frac{15}{2}$；

【知识点】
菱形性质、动点问题、翻折变换
【点评】
本题以菱形为载体，结合坐标、动点、翻折等知识点，综合性较强，需熟练运用菱形性质、勾股定理、一次函数解析式，解题时要注意动点的分段讨论和翻折后菱形的条件分析，对学生的逻辑思维和分类讨论能力要求较高。
【难度系数】
0.4