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20.(6分)如图,在$5×5$正方形网格中,每个小正方形顶点称为格点,例如线段$AB$的端点在格点上,已知每个小正方形边长均为1,利用无刻度直尺作图,请回答下列各小题。
(1)在图1中,以$AB$为边作一个菱形$ABCD$(不是正方形),其中点$C,D$为格点。
(2)在图2中,以$AB$为边作正方形$ABEF$,其中点$E,F$为格点。
(1)在图1中,以$AB$为边作一个菱形$ABCD$(不是正方形),其中点$C,D$为格点。
(2)在图2中,以$AB$为边作正方形$ABEF$,其中点$E,F$为格点。
答案
20.第一小题答案不唯一(第一题只需要画出一种情况即可)
解析
【分析】
要在网格中完成特殊四边形的作图，需结合菱形和正方形的核心性质：菱形四边相等且对边平行，正方形四边相等、邻边垂直且对边平行。首先计算线段AB的长度，再利用网格的格点坐标特征，寻找满足条件的格点，确保所作图形符合要求。
(1) 作菱形ABCD时，需保证AB=BC=CD=DA，且AB与AD不垂直（避免为正方形），通过平移向量确定格点C、D；
(2) 作正方形ABEF时，需保证AB=BE=EF=FA，且AB与BE垂直，利用垂直且等长的格点线段确定E、F点。
【解析】
(1) 图1中，AB的长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。从点A出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点D；从点B出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点C，依次连接AB、BC、CD、DA，此时四边均为$\sqrt{5}$，且AB与AD不垂直，四边形ABCD即为所求菱形（答案不唯一）。
(2) 图2中，AB的向量为$(1,-2)$，其垂直且等长的向量为$(2,1)$。从点A出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点F；从点B出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点E，依次连接AB、BE、EF、FA，此时四边均为$\sqrt{5}$，且AB与BE垂直，四边形ABEF即为所求正方形。
【答案】
(1) 菱形ABCD（作图符合要求即可）；(2) 正方形ABEF（作图符合要求即可）
【知识点】
菱形的判定，正方形的判定，网格作图
【点评】
本题考查网格背景下特殊四边形的作图，需掌握菱形、正方形的边与角的性质，结合网格的坐标特点确定格点，是基础几何作图题，能锻炼学生的性质应用与空间想象能力。
【难度系数】
0.5
要在网格中完成特殊四边形的作图，需结合菱形和正方形的核心性质：菱形四边相等且对边平行，正方形四边相等、邻边垂直且对边平行。首先计算线段AB的长度，再利用网格的格点坐标特征，寻找满足条件的格点，确保所作图形符合要求。
(1) 作菱形ABCD时，需保证AB=BC=CD=DA，且AB与AD不垂直（避免为正方形），通过平移向量确定格点C、D；
(2) 作正方形ABEF时，需保证AB=BE=EF=FA，且AB与BE垂直，利用垂直且等长的格点线段确定E、F点。
【解析】
(1) 图1中，AB的长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。从点A出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点D；从点B出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点C，依次连接AB、BC、CD、DA，此时四边均为$\sqrt{5}$，且AB与AD不垂直，四边形ABCD即为所求菱形（答案不唯一）。
(2) 图2中，AB的向量为$(1,-2)$，其垂直且等长的向量为$(2,1)$。从点A出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点F；从点B出发，向右平移2格、向上平移1格找到格点E，依次连接AB、BE、EF、FA，此时四边均为$\sqrt{5}$，且AB与BE垂直，四边形ABEF即为所求正方形。
【答案】
(1) 菱形ABCD（作图符合要求即可）；(2) 正方形ABEF（作图符合要求即可）
【知识点】
菱形的判定，正方形的判定，网格作图
【点评】
本题考查网格背景下特殊四边形的作图，需掌握菱形、正方形的边与角的性质，结合网格的坐标特点确定格点，是基础几何作图题，能锻炼学生的性质应用与空间想象能力。
【难度系数】
0.5
21.(6分)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC,已知AB=5,DE=1,BD=8。
(1)请问点C在什么位置时,AC+CE的值最小?最小值为多少?
(2)设BC=x,则AC+CE可表示为$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(x-8)^2+1}$,请直接写出$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(x-8)^2+1}$的最小值:________。
(1)请问点C在什么位置时,AC+CE的值最小?最小值为多少?
(2)设BC=x,则AC+CE可表示为$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(x-8)^2+1}$,请直接写出$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(x-8)^2+1}$的最小值:________。
答案
21.解:(1)如图,过点A作ED延长线的垂线AH,H为垂足,并连结AE,交BD于点$C_1$,易知当C在$C_1$处时,AC+CE有最小值,且最小值为AE的长,由AB⊥BD,ED⊥BD,AH⊥DE,得四边形ABDH为矩形,所以AH=BD=8,DH=AB=5,故EH=DH+DE=5+1=6,所以$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,即最小值为10。
(2)10
解析
【分析】
本题属于几何最值中的“将军饮马”问题，目标是在直线BD上找一点C，使AC+CE的和最小。解题核心是利用“两点之间线段最短”，通过构造辅助线将分散的线段AC、CE转化为连接A、E的直线段，此时线段AE的长度即为AC+CE的最小值。具体步骤为：先确定使AC+CE最小的点C是AE与BD的交点，再通过构造矩形将AB、DE的长度转化到同一竖直线段，结合BD的长度，用勾股定理计算AE的长度。
【解析】
(1) 根据“两点之间线段最短”，连接AE，AE与BD的交点即为使AC+CE最小的点C（记为C₁），此时AC+CE的最小值为AE的长度。
过点A作AH⊥ED，交ED的延长线于点H。
因为AB⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED，所以AB//ED，四边形ABDH是矩形，因此AH=BD=8，DH=AB=5。
又DE=1，所以EH=DH+DE=5+1=6。
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
AE = √(AH² + EH²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
即当C为AE与BD的交点时，AC+CE的值最小，最小值为10。
(2) 由(1)的结论可知，√(x²+25)+√((x-8)²+1)的最小值即为AC+CE的最小值，故最小值为10。
【答案】
(1) 当C为AE与BD的交点时，AC+CE的值最小，最小值为10；(2) 10
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题考查几何最值问题，核心是将军饮马模型的应用，通过构造辅助线转化线段，结合勾股定理求解，是初中几何的常见题型，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
本题属于几何最值中的“将军饮马”问题，目标是在直线BD上找一点C，使AC+CE的和最小。解题核心是利用“两点之间线段最短”，通过构造辅助线将分散的线段AC、CE转化为连接A、E的直线段，此时线段AE的长度即为AC+CE的最小值。具体步骤为：先确定使AC+CE最小的点C是AE与BD的交点，再通过构造矩形将AB、DE的长度转化到同一竖直线段，结合BD的长度，用勾股定理计算AE的长度。
【解析】
(1) 根据“两点之间线段最短”，连接AE，AE与BD的交点即为使AC+CE最小的点C（记为C₁），此时AC+CE的最小值为AE的长度。
过点A作AH⊥ED，交ED的延长线于点H。
因为AB⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED，所以AB//ED，四边形ABDH是矩形，因此AH=BD=8，DH=AB=5。
又DE=1，所以EH=DH+DE=5+1=6。
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
AE = √(AH² + EH²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
即当C为AE与BD的交点时，AC+CE的值最小，最小值为10。
(2) 由(1)的结论可知，√(x²+25)+√((x-8)²+1)的最小值即为AC+CE的最小值，故最小值为10。
【答案】
(1) 当C为AE与BD的交点时，AC+CE的值最小，最小值为10；(2) 10
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题考查几何最值问题，核心是将军饮马模型的应用，通过构造辅助线转化线段，结合勾股定理求解，是初中几何的常见题型，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
