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16. 如图,在平行四边形 ABCD 中,$AB=BD$,
$∠BAD=45^{\circ },AD=4$,过点 B 作$BE⊥AD$
于点 E,F 为 BC 上一动点,连结 EF,取 EF
的中点 G,连结 AG,BG,DG,若$△BDG$面积
为$△ABG$面积的$\frac {1}{4}$,则 BF 的长度是
$∠BAD=45^{\circ },AD=4$,过点 B 作$BE⊥AD$
于点 E,F 为 BC 上一动点,连结 EF,取 EF
的中点 G,连结 AG,BG,DG,若$△BDG$面积
为$△ABG$面积的$\frac {1}{4}$,则 BF 的长度是
$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{10}{3}$
。答案
16.$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{10}{3}$ 解析:
如图1,当点G在线段LP上时,分别取BD,BE,AB的中点P,L,Q,连结GL,GP,QL,因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC//AD,因为BE⊥AD于点E,F为BC上的点,G是EF中点,所以GL//BC//AD,GP//AD,QL//AD,所以P,G,L,Q四点在同一条直线上,因为AB=BD,∠BAD=45°,AD=4,所以∠BDA=∠BAD=45°,所以∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD=90°,所以AE=DE=$\dfrac{1}{2}$AD=2,所以QL=$\dfrac{1}{2}$AE=1,PL=$\dfrac{1}{2}$DE=1,因为PQ//AD,所以∠QLE=∠BED=90°,所以EL⊥PQ,因为$S_{△ AGQ}=S_{△ BGQ}$,$S_{△ DGP}=S_{△ BGP}$,所以$S_{△ ABG}=2S_{△ AGQ}$,$S_{△ BDG}=2S_{△ DGP}$,因为$S_{△ BDG}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABG}$,所以$2S_{△ DGP}=\dfrac{1}{4}×2S_{△ AGQ}$,所以$S_{△ DGP}=\dfrac{1}{4}S_{△ AGQ}$,即可得$\dfrac{1}{2}PG· EL=\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{2}QG· EL$,所以PG=$\dfrac{1}{4}$QG,所以1-LG=$\dfrac{1}{4}$(1+LG),解得LG=$\dfrac{3}{5}$,所以BF=2LG=$\dfrac{6}{5}$;当点G在LP延长线上时,如图2,同理,得QG=4PG,所以此时有1+LG=4(LG-1),解得LG=$\dfrac{5}{3}$,所以BF=2LG=$\dfrac{10}{3}$。综上所述,BF=$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{10}{3}$。解析
【分析】
要解决本题，先根据已知条件判断△ABD的形状，利用平行四边形性质和等腰直角三角形的性质确定各线段长度；再结合G是EF中点的条件，通过取中点构造平行线，将两个三角形的面积比转化为线段的比例关系，分G在线段上和延长线上两种情况讨论，进而求出BF的长度。
【解析】
1. 由AB=BD，∠BAD=45°，可知△ABD为等腰直角三角形，因BE⊥AD，故E为AD中点，AE=DE=½AD=2，且BE=AE=2（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半）。
2. 取BD、BE、AB的中点P、L、Q，连接GL、GP、QL。因ABCD是平行四边形，故BC//AD，结合BE⊥AD、G是EF中点，得GL//BC//AD，GP//AD，QL//AD，因此P、G、L、Q四点共线。
3. 由中点性质，QL=½AE=1，PL=½DE=1，且EL⊥PQ。根据三角形面积与底的关系，S△ABG=2S△AGQ，S△BDG=2S△DGP，结合S△BDG=¼S△ABG，得S△DGP=¼S△AGQ，即$\frac{1}{2}PG·EL=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}QG·EL$，化简得PG=$\frac{1}{4}QG$。
4. 分两种情况：
当G在线段LP上时，QG=1+LG，PG=1-LG，代入PG=$\frac{1}{4}QG$，得$1-LG=\frac{1}{4}(1+LG)$，解得LG=$\frac{3}{5}$，故BF=2LG=$\frac{6}{5}$；
当G在LP延长线上时，QG=1+LG，PG=LG-1，代入PG=$\frac{1}{4}QG$，得$LG-1=\frac{1}{4}(1+LG)$，解得LG=$\frac{5}{3}$，故BF=2LG=$\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形性质，等腰直角三角形，三角形面积
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰直角三角形的性质，需通过构造辅助线转化面积关系，分情况讨论是关键，对学生的几何思维要求较高。
【难度系数】
0.3
要解决本题，先根据已知条件判断△ABD的形状，利用平行四边形性质和等腰直角三角形的性质确定各线段长度；再结合G是EF中点的条件，通过取中点构造平行线，将两个三角形的面积比转化为线段的比例关系，分G在线段上和延长线上两种情况讨论，进而求出BF的长度。
【解析】
1. 由AB=BD，∠BAD=45°，可知△ABD为等腰直角三角形，因BE⊥AD，故E为AD中点，AE=DE=½AD=2，且BE=AE=2（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半）。
2. 取BD、BE、AB的中点P、L、Q，连接GL、GP、QL。因ABCD是平行四边形，故BC//AD，结合BE⊥AD、G是EF中点，得GL//BC//AD，GP//AD，QL//AD，因此P、G、L、Q四点共线。
3. 由中点性质，QL=½AE=1，PL=½DE=1，且EL⊥PQ。根据三角形面积与底的关系，S△ABG=2S△AGQ，S△BDG=2S△DGP，结合S△BDG=¼S△ABG，得S△DGP=¼S△AGQ，即$\frac{1}{2}PG·EL=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}QG·EL$，化简得PG=$\frac{1}{4}QG$。
4. 分两种情况：
当G在线段LP上时，QG=1+LG，PG=1-LG，代入PG=$\frac{1}{4}QG$，得$1-LG=\frac{1}{4}(1+LG)$，解得LG=$\frac{3}{5}$，故BF=2LG=$\frac{6}{5}$；
当G在LP延长线上时，QG=1+LG，PG=LG-1，代入PG=$\frac{1}{4}QG$，得$LG-1=\frac{1}{4}(1+LG)$，解得LG=$\frac{5}{3}$，故BF=2LG=$\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形性质，等腰直角三角形，三角形面积
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰直角三角形的性质，需通过构造辅助线转化面积关系，分情况讨论是关键，对学生的几何思维要求较高。
【难度系数】
0.3
三、解答题(本题有8小题,共52分)
17.(6分)计算:
(1)$2\sqrt{5}-\sqrt{5}+3\sqrt{5}$。
(2)$(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{4}$。
17.(6分)计算:
(1)$2\sqrt{5}-\sqrt{5}+3\sqrt{5}$。
(2)$(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{4}$。
答案
17.解:(1)原式=$(2-1+3)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。(2)原式=$2+2=4$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的基本运算，解题思路如下：
(1) 观察式子中各项都是同类二次根式（被开方数均为5），同类二次根式加减时，只需将系数相加减，被开方数不变，因此先提取公因式√5，计算系数的和即可；
(2) 分别计算两个部分：根据二次根式的性质(√a)²=a（a≥0），可得(√2)²=2；√4是4的算术平方根，结果为2，再将两部分结果相加。
【解析】
(1) 原式=(2-1+3)√5=4√5；
(2) 原式=(√2)²+√4=2+2=4。
【答案】
(1) 4√5；(2) 4
【知识点】
同类二次根式的合并、二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，主要考察同类二次根式的加减法则和二次根式的基本性质，属于初中数学的基础知识点，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的基本运算，解题思路如下：
(1) 观察式子中各项都是同类二次根式（被开方数均为5），同类二次根式加减时，只需将系数相加减，被开方数不变，因此先提取公因式√5，计算系数的和即可；
(2) 分别计算两个部分：根据二次根式的性质(√a)²=a（a≥0），可得(√2)²=2；√4是4的算术平方根，结果为2，再将两部分结果相加。
【解析】
(1) 原式=(2-1+3)√5=4√5；
(2) 原式=(√2)²+√4=2+2=4。
【答案】
(1) 4√5；(2) 4
【知识点】
同类二次根式的合并、二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，主要考察同类二次根式的加减法则和二次根式的基本性质，属于初中数学的基础知识点，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
18.(6分)解方程：
(1)$x^2 + 2x = 0$。
(2)$x^2 - 4x + 4 = 0$。
(1)$x^2 + 2x = 0$。
(2)$x^2 - 4x + 4 = 0$。
答案
18.解:(1)$x^2+2x=0$,$x(x+2)=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$。(2)$x^2-4x+4=0$,$(x-2)^2=0$,所以$x_1=x_2=2$。
解析
【分析】
这两道是一元二次方程的求解问题，第(1)题可采用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再利用“乘积为0则至少一个因式为0”的性质求解；第(2)题的左边是完全平方式，用完全平方公式因式分解后，即可直接求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$提取公因式得：$x(x + 2) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$；
(2) 对$x^2 - 4x + 4 = 0$，左边符合完全平方公式，因式分解得：$(x - 2)^2 = 0$，
解得：$x_1 = x_2 = 2$。
【答案】
18.解:(1)$x^2+2x=0$,$x(x+2)=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$。(2)$x^2-4x+4=0$,$(x-2)^2=0$,所以$x_1=x_2=2$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，通过因式分解法（提取公因式、完全平方公式）求解，是一元二次方程解法的典型基础题型，侧重考查学生对因式分解方法的掌握和一元二次方程求解的基本运算能力。
【难度系数】
0.7
这两道是一元二次方程的求解问题，第(1)题可采用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再利用“乘积为0则至少一个因式为0”的性质求解；第(2)题的左边是完全平方式，用完全平方公式因式分解后，即可直接求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$提取公因式得：$x(x + 2) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$；
(2) 对$x^2 - 4x + 4 = 0$，左边符合完全平方公式，因式分解得：$(x - 2)^2 = 0$，
解得：$x_1 = x_2 = 2$。
【答案】
18.解:(1)$x^2+2x=0$,$x(x+2)=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$。(2)$x^2-4x+4=0$,$(x-2)^2=0$,所以$x_1=x_2=2$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，通过因式分解法（提取公因式、完全平方公式）求解，是一元二次方程解法的典型基础题型，侧重考查学生对因式分解方法的掌握和一元二次方程求解的基本运算能力。
【难度系数】
0.7
19.(6分)某中学对八年级的语文、数学、英语、科学、社会、信息六门学科在课堂中使用AI辅助教学的情况进行了调研,统计了各学科每周使用AI的次数,数据如下表:
为了分析不同学科在AI应用上的差异,将这六门学科按AI使用频率分成两组,你会怎么分?
为了分析不同学科在AI应用上的差异,将这六门学科按AI使用频率分成两组,你会怎么分?
答案
19.解:将各学科每周使用AI的次数从小到大排列为4,5,6,8,12,15,将这些数据分成两组,有以下5种情况,分别计算各种情况的组内离差平方和,得到下表:
|组序|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- |
| |第1组|第2组|
|1|4|5,6,8,12,15|70.8|
|2|4,5|6,8,12,15|49.25|
|3|4,5,6|8,12,15|26.67|
|4|4,5,6,8|12,15|13.25|
|5|4,5,6,8,12|15|40|
计算结果表明,将数据分成{4,5,6,8}和{12,15}两组时,组内离差平方和最小,即AI使用数据波动最小,两组间数据差异最大。所以将社会、语文、英语、数学分在一组,其余科目分在另一组比较合理。
|组序|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- |
| |第1组|第2组|
|1|4|5,6,8,12,15|70.8|
|2|4,5|6,8,12,15|49.25|
|3|4,5,6|8,12,15|26.67|
|4|4,5,6,8|12,15|13.25|
|5|4,5,6,8,12|15|40|
计算结果表明,将数据分成{4,5,6,8}和{12,15}两组时,组内离差平方和最小,即AI使用数据波动最小,两组间数据差异最大。所以将社会、语文、英语、数学分在一组,其余科目分在另一组比较合理。
解析
【分析】
要合理分组，需遵循“组内数据波动最小、组间差异最大”的原则，核心是通过计算组内离差平方和判断分组合理性。首先将各学科使用AI的次数从小到大排序，再尝试不同分组方式，计算每组的组内离差平方和，选择离差平方和最小的分组即可。
【解析】
1. 先将六门学科使用AI的次数从小到大排序：4（社会）、5（语文）、6（英语）、8（数学）、12（科学）、15（信息）。
2. 对不同分组计算总组内离差平方和：
分组{4}和{5,6,8,12,15}：总离差平方和为70.8；
分组{4,5}和{6,8,12,15}：总离差平方和为49.25；
分组{4,5,6}和{8,12,15}：总离差平方和约为26.67；
分组{4,5,6,8}和{12,15}：总离差平方和为13.25；
分组{4,5,6,8,12}和{15}：总离差平方和为40。
3. 比较得，分组{4,5,6,8}和{12,15}的总组内离差平方和最小，对应学科分组为：社会、语文、英语、数学为一组，科学、信息为另一组。
【答案】将社会、语文、英语、数学分在一组，科学、信息分在另一组。
【知识点】数据分组、离差平方和
【点评】本题通过计算组内离差平方和确定合理分组，体现了数据分析中“组内同质、组间异质”的分组思路，是统计分组的典型应用。
【难度系数】0.5
要合理分组，需遵循“组内数据波动最小、组间差异最大”的原则，核心是通过计算组内离差平方和判断分组合理性。首先将各学科使用AI的次数从小到大排序，再尝试不同分组方式，计算每组的组内离差平方和，选择离差平方和最小的分组即可。
【解析】
1. 先将六门学科使用AI的次数从小到大排序：4（社会）、5（语文）、6（英语）、8（数学）、12（科学）、15（信息）。
2. 对不同分组计算总组内离差平方和：
分组{4}和{5,6,8,12,15}：总离差平方和为70.8；
分组{4,5}和{6,8,12,15}：总离差平方和为49.25；
分组{4,5,6}和{8,12,15}：总离差平方和约为26.67；
分组{4,5,6,8}和{12,15}：总离差平方和为13.25；
分组{4,5,6,8,12}和{15}：总离差平方和为40。
3. 比较得，分组{4,5,6,8}和{12,15}的总组内离差平方和最小，对应学科分组为：社会、语文、英语、数学为一组，科学、信息为另一组。
【答案】将社会、语文、英语、数学分在一组，科学、信息分在另一组。
【知识点】数据分组、离差平方和
【点评】本题通过计算组内离差平方和确定合理分组，体现了数据分析中“组内同质、组间异质”的分组思路，是统计分组的典型应用。
【难度系数】0.5
