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22.(6分)如图 1,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AB,CD$上,满足$DE// BF$。
(1)求证:四边形$BFDE$是平行四边形。
(2)如图 2,连结$EF$,若$AD=13,AE=14,DE=DF=15$,求$EF$的长。
(1)求证:四边形$BFDE$是平行四边形。
(2)如图 2,连结$EF$,若$AD=13,AE=14,DE=DF=15$,求$EF$的长。
答案
22.(1)证明:在$□ABCD$中,$DC//AB$,即DF//BE,又因为DE//BF,所以四边形BFDE是平行四边形。(2)解:如图,过点D,点E分别作DG⊥AB,EH⊥CD,在$△ DAG$和$△ DGE$中,由$DG^2=AD^2-AG^2=DE^2-GE^2$,得$169-AG^2=225-(14-AG)^2$,解得AG=5,所以易得DG=12,GE=9。因为DG,HE都为AB上的高,所以HE=DG=12,所以在$\mathrm{Rt}△ DEH$中,$DH=\sqrt{DE^2-HE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,$HF=DF-DH=6$,所以$EF=\sqrt{HF^2+HE^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的定义，利用平行四边形ABCD的对边平行性质，结合已知DE//BF即可证得；第(2)问求EF的长，需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出相关线段长度，再结合平行四边形的性质转化线段关系，最终在直角三角形中计算EF。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，即DF//BE。
又
∵DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥CD于H。
设AG = x，则GE = AE - AG = 14 - x。
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG² = AD² - AG² = 13² - x²；
在Rt△EDG中，由勾股定理得：DG² = DE² - GE² = 15² - (14 - x)²；
因此有：13² - x² = 15² - (14 - x)²，
展开计算：169 - x² = 225 - (196 - 28x + x²)，
化简得：169 = 29 + 28x，
解得x = 5，即AG = 5，
所以DG = √(AD² - AG²) = √(13² - 5²) = 12。
∵DG⊥AB，EH⊥CD，AB//CD，
∴四边形DGEH是矩形，故EH = DG = 12，DH = GE = 14 - 5 = 9。
已知DF = 15，所以HF = DF - DH = 15 - 9 = 6。
在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF = √(EH² + HF²) = √(12² + 6²) = 6√5。
【答案】
6√5
【知识点】
平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、性质及勾股定理的应用，解题关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解线段长度，再结合平行四边形的性质转化线段关系，难度适中，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的定义，利用平行四边形ABCD的对边平行性质，结合已知DE//BF即可证得；第(2)问求EF的长，需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出相关线段长度，再结合平行四边形的性质转化线段关系，最终在直角三角形中计算EF。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，即DF//BE。
又
∵DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥CD于H。
设AG = x，则GE = AE - AG = 14 - x。
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG² = AD² - AG² = 13² - x²；
在Rt△EDG中，由勾股定理得：DG² = DE² - GE² = 15² - (14 - x)²；
因此有：13² - x² = 15² - (14 - x)²，
展开计算：169 - x² = 225 - (196 - 28x + x²)，
化简得：169 = 29 + 28x，
解得x = 5，即AG = 5，
所以DG = √(AD² - AG²) = √(13² - 5²) = 12。
∵DG⊥AB，EH⊥CD，AB//CD，
∴四边形DGEH是矩形，故EH = DG = 12，DH = GE = 14 - 5 = 9。
已知DF = 15，所以HF = DF - DH = 15 - 9 = 6。
在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF = √(EH² + HF²) = √(12² + 6²) = 6√5。
【答案】
6√5
【知识点】
平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、性质及勾股定理的应用，解题关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解线段长度，再结合平行四边形的性质转化线段关系，难度适中，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5
23.(8分)2025年初,中国神话电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球,于是某书店开始销售《哪吒之魔童闹海》绘本。已知现在每套售价定为30元时,平均每天可售出60套;根据以往同类绘本销售规律:在每套涨价小于10元时,如果每套书每涨价1元,那么少售出4套/天;在每套降价小于10元时,如果每套书每降价1元,那么多售出1套/天。
(1)若该书店计划每套书涨价5元,根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少元。
(2)能否通过每套书降价$ x $元($ x $为整数,$ 0＜x＜10 $),根据以往同类绘本销售规律估计,使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等?若能,求出$ x $的值;若不能,请说明理由。
(3)根据以往同类绘本销售规律,书店设计了两种销售方案:
方案一:每套书涨价$ m $元($ m $为整数,$ 0＜m＜10 $);
方案二:每套书降价$ n $元($ n $为整数,$ 0＜n＜10 $)。
是否存在这样的$ m,n $数值,使得两种方案总销售额相等?若存在,求$ m:n $的比值;若不存在,请说明理由。
(1)若该书店计划每套书涨价5元,根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少元。
(2)能否通过每套书降价$ x $元($ x $为整数,$ 0＜x＜10 $),根据以往同类绘本销售规律估计,使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等?若能,求出$ x $的值;若不能,请说明理由。
(3)根据以往同类绘本销售规律,书店设计了两种销售方案:
方案一:每套书涨价$ m $元($ m $为整数,$ 0＜m＜10 $);
方案二:每套书降价$ n $元($ n $为整数,$ 0＜n＜10 $)。
是否存在这样的$ m,n $数值,使得两种方案总销售额相等?若存在,求$ m:n $的比值;若不存在,请说明理由。
答案
23.解:(1)$(30+5)(60-20)=1400$,所以每天的总销售额是1400元。(2)由题意可得$(30-x)(60+x)=1400$,解得$x=-40$(舍)或$x_2=10$,因为每套涨价小于10元,所以也不满足题意,也舍去,所以每天获得的销售额不能与题(1)中的总额相等。(3)由题意可得$(30+m)(60-4m)=(30-n)·(60+n)$,整理得$(2m-n)(30+2m+n)=0$,得$m:n=\dfrac{1}{2}$。因此存在这样的m,n的值,使两种方案的销售额相等,$m:n$的比值为$\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕销售中的总销售额问题展开，分三小问逐步解决：第(1)问需先计算涨价后的售价与对应销量，再求总销售额；第(2)问需根据降价后的售价、销量表示总销售额，结合第(1)问的销售额列方程，再根据x的取值范围判断解的合理性；第(3)问需分别写出两种方案的总销售额，令其相等列方程，通过因式分解化简方程，结合m、n的取值范围确定两者的关系，进而求出比值。
【解析】
(1) 每套涨价5元后，售价为 $30 + 5 = 35$ 元；每涨价1元少售4套，涨价5元少售 $5×4 = 20$ 套，此时销量为 $60 - 20 = 40$ 套；总销售额为 $35×40 = 1400$ 元。
(2) 每套降价 $x$ 元（$0 ＜ x ＜ 10$）时，售价为 $30 - x$ 元，销量为 $60 + x$ 套，总销售额为 $(30 - x)(60 + x)$ 元；令总销售额等于1400元，列方程：
$(30 - x)(60 + x) = 1400$
展开整理得 $x^2 + 30x - 400 = 0$，解得 $x_1 = -40$，$x_2 = 10$；因为 $0 ＜ x ＜ 10$，两个解均不满足该范围，故不能使总销售额与题(1)相等。
(3) 方案一（涨价 $m$ 元，$0 ＜ m ＜ 10$）：售价为 $30 + m$ 元，销量为 $60 - 4m$ 套，总销售额为 $(30 + m)(60 - 4m)$；方案二（降价 $n$ 元，$0 ＜ n ＜ 10$）：售价为 $30 - n$ 元，销量为 $60 + n$ 套，总销售额为 $(30 - n)(60 + n)$；令两者总销售额相等，列方程：
$(30 + m)(60 - 4m) = (30 - n)(60 + n)$
展开整理得 $4m^2 + 60m - n^2 - 30n = 0$，因式分解得 $(2m - n)(30 + 2m + n) = 0$；因为 $0 ＜ m ＜ 10$，$0 ＜ n ＜ 10$，所以 $30 + 2m + n ＞ 0$，故 $2m - n = 0$，即 $n = 2m$；因此 $m:n = \frac{1}{2}$，存在这样的 $m,n$。
【答案】
(1) 1400元；(2) 不能，理由见解析；(3) 存在，$m:n = \frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是销售类一元二次方程的实际应用问题，核心是理清售价、销量与销售额的数量关系，需注意自变量取值范围对解的限制，考查学生的方程建模能力与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕销售中的总销售额问题展开，分三小问逐步解决：第(1)问需先计算涨价后的售价与对应销量，再求总销售额；第(2)问需根据降价后的售价、销量表示总销售额，结合第(1)问的销售额列方程，再根据x的取值范围判断解的合理性；第(3)问需分别写出两种方案的总销售额，令其相等列方程，通过因式分解化简方程，结合m、n的取值范围确定两者的关系，进而求出比值。
【解析】
(1) 每套涨价5元后，售价为 $30 + 5 = 35$ 元；每涨价1元少售4套，涨价5元少售 $5×4 = 20$ 套，此时销量为 $60 - 20 = 40$ 套；总销售额为 $35×40 = 1400$ 元。
(2) 每套降价 $x$ 元（$0 ＜ x ＜ 10$）时，售价为 $30 - x$ 元，销量为 $60 + x$ 套，总销售额为 $(30 - x)(60 + x)$ 元；令总销售额等于1400元，列方程：
$(30 - x)(60 + x) = 1400$
展开整理得 $x^2 + 30x - 400 = 0$，解得 $x_1 = -40$，$x_2 = 10$；因为 $0 ＜ x ＜ 10$，两个解均不满足该范围，故不能使总销售额与题(1)相等。
(3) 方案一（涨价 $m$ 元，$0 ＜ m ＜ 10$）：售价为 $30 + m$ 元，销量为 $60 - 4m$ 套，总销售额为 $(30 + m)(60 - 4m)$；方案二（降价 $n$ 元，$0 ＜ n ＜ 10$）：售价为 $30 - n$ 元，销量为 $60 + n$ 套，总销售额为 $(30 - n)(60 + n)$；令两者总销售额相等，列方程：
$(30 + m)(60 - 4m) = (30 - n)(60 + n)$
展开整理得 $4m^2 + 60m - n^2 - 30n = 0$，因式分解得 $(2m - n)(30 + 2m + n) = 0$；因为 $0 ＜ m ＜ 10$，$0 ＜ n ＜ 10$，所以 $30 + 2m + n ＞ 0$，故 $2m - n = 0$，即 $n = 2m$；因此 $m:n = \frac{1}{2}$，存在这样的 $m,n$。
【答案】
(1) 1400元；(2) 不能，理由见解析；(3) 存在，$m:n = \frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是销售类一元二次方程的实际应用问题，核心是理清售价、销量与销售额的数量关系，需注意自变量取值范围对解的限制，考查学生的方程建模能力与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
