24.(8分)在正方形ABCD中,点E为BC上一动点(不与端点重合),连结AE,过点B作$BF ⊥ AE$于点F,过点D作$DG ⊥ AE$于点G。
(1)如图1,若$BF=3$,$FG=5$,求DG的长度。
(2)如图2,连结DF,CG,判断DF和CG的数量关系,并说明理由。
(3)如图3,点H,I分别为GF,CD中点,连结HI。判断$∠ AHI$和$∠ GDF$的数量关系,并说明理由。

24.解:(1)易证$△ AGD≌△ BFA$,即得DG=AF,BF=AG,由AF=AG+GF=BF+GF=3+5=8。(2)方法不唯一,判断:DF=CG,理由如下:方法一,易得DG=AF;∠GAD=∠GDC;AD=DC,则$△ AFD≌△ DGC$(SAS),所以DF=CG。方法二:辅助线,作CM⊥DG于点M,如图1,结合(1)易证:CM=DG=AF,DM=AG,则DG-DM=AF-AG即GM=FG,易证$△ CMG≌△ DGF$(SAS),得DF=GC。(3)$∠ AHI+∠ GDF=135°$。理由如下:记HI和DF的交点为点O,取GD中点N,连结NH,NI,如图2。步骤如下:步骤一:由(2)易得GC⊥DF,步骤二:利用中位线性质以及结合(2)结论证得NH=NI,步骤三:因为GC⊥DF,NI//GC,所以NI⊥DF;又因为NH//DF,所以NI⊥NH,结合步骤二结论,所以$△ NHI$为等腰直角三角形,步骤四:$∠ DOH=180°-∠ NHI=135°$,步骤五:在四边形DGHO中,$∠ AHI+∠ GDF=360°-90°-135°=135°$。

【分析】
本题为正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：第(1)问利用正方形的直角性质和垂直关系，证明三角形全等得到对应边相等，进而计算DG长度；第(2)问通过SAS判定全等三角形，证明DF与CG相等；第(3)问结合中位线性质、垂直关系及等腰直角三角形的角度特征，推导两个角的和为135°。
【解析】
(1) 在正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=90°，故∠DAG + ∠BAF=90°。
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB=∠DGA=90°，则∠ABF + ∠BAF=90°，
∴∠DAG=∠ABF。
在△AGD和△BFA中：
$\{\begin{array}{l}∠DGA=∠AFB \\∠DAG=∠ABF \\AD=BA\end{array} $
∴△AGD≌△BFA（AAS），
∴DG=AF，AG=BF=3。
又AF=AG + GF=3 + 5=8，
∴DG=8。
(2) DF=CG，理由如下：
由(1)中△AGD≌△BFA，得DG=AF。
在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADG + ∠GDC=90°，
又∠ADG + ∠DAG=90°（∠AGD=90°），
∴∠DAG=∠GDC。
在△AFD和△DGC中：
$\{\begin{array}{l}AF=DG \\∠FAD=∠GDC \\AD=DC\end{array} $
∴△AFD≌△DGC（SAS），
∴DF=CG。
(3) ∠AHI + ∠GDF=135°，理由如下：
取GD中点N，连接NH、NI。
∵H是GF中点，N是GD中点，
∴NH是△GFD的中位线，故NH//DF，且NH=$\frac{1}{2}$DF；
∵I是CD中点，N是GD中点，
∴NI是△GDC的中位线，故NI//GC，且NI=$\frac{1}{2}$GC。
由(2)知DF=CG，故NH=NI；又由△AFD≌△DGC得∠ADF=∠DCG，结合∠ADF + ∠FDC=90°，得∠DCG + ∠FDC=90°，即GC⊥DF，
∴NI⊥DF，结合NH//DF，得NI⊥NH，即∠HNI=90°，
∴△NHI是等腰直角三角形，∠NHI=45°。
设HI与DF交于点O，
∵NH//DF，
∴∠DOH=180° - ∠NHI=135°。
在四边形DGOH中，∠DGO=90°，∠DOH=135°，
∴∠AHI + ∠GDF=360° - ∠DGO - ∠DOH=360° - 90° -135°=135°。
【答案】
(1) DG=8；(2) DF=CG；(3) ∠AHI + ∠GDF=135°。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、三角形中位线
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、中位线及等腰直角三角形的性质，需逐步推导边与角的关系，逻辑要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4