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21.(8分)如图1,AB,BC被直线AC所截,点D是线段AC上的点,过点D作$DE // AB$,联结AE,$∠ B = ∠ E$。
(1)试说明$AE // BC$。
(2)如图2,将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,联结DQ,若$∠ E = 75°$,当$DE ⊥ DQ$时,求$∠ Q$的度数。
(1)试说明$AE // BC$。
(2)如图2,将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,联结DQ,若$∠ E = 75°$,当$DE ⊥ DQ$时,求$∠ Q$的度数。
答案
21.(1)解:因为DE//AB,所以∠BAE+∠E=180°。因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180°,所以AE//BC。
(2)解:如图,过点D作DF//AE。因为AE//PQ,所以AE//DF//PQ,所以∠EDF=∠E,∠Q=∠FDQ。因为∠E=75°,所以∠EDF=∠E=75°。因为DE⊥DQ,所以∠EDQ=90°,即∠EDF+∠FDQ=90°,所以∠FDQ=90°−∠EDF=15°,所以∠Q=∠FDQ=15°。
解析
【分析】
(1) 要证明AE//BC，已知DE//AB，根据平行线的性质可得同旁内角互补，结合∠B=∠E，通过等量代换得到∠BAE与∠B互补，进而依据平行线的判定定理得出结论；
(2) 求∠Q的度数，利用平移的性质得AE//PQ，通过作辅助线DF//AE，根据平行公理的推论得到AE//DF//PQ，再结合平行线的性质和DE⊥DQ的条件，计算出∠Q的度数。
【解析】
(1) 因为DE//AB（已知），根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BAE + ∠E = 180°。
又因为∠B = ∠E（已知），通过等量代换得∠BAE + ∠B = 180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，所以AE//BC。
(2) 如图，过点D作DF//AE。
因为线段AE平移得到PQ，所以AE//PQ（平移后对应线段平行），因此AE//DF//PQ（平行于同一直线的多条直线互相平行）。
根据平行线的性质，∠EDF = ∠E，∠Q = ∠FDQ。
已知∠E = 75°，所以∠EDF = 75°。
因为DE⊥DQ，所以∠EDQ = 90°，即∠EDF + ∠FDQ = 90°，因此∠FDQ = 90°−75°=15°，所以∠Q = ∠FDQ=15°。
【答案】
(1) AE//BC；(2) ∠Q=15°；
【知识点】
平行线的性质与判定、平移的性质
【点评】
本题考查平行线的性质与判定、平移的性质，通过作辅助线构造平行线是解决第二问的关键，属于几何基础题型，侧重考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AE//BC，已知DE//AB，根据平行线的性质可得同旁内角互补，结合∠B=∠E，通过等量代换得到∠BAE与∠B互补，进而依据平行线的判定定理得出结论；
(2) 求∠Q的度数，利用平移的性质得AE//PQ，通过作辅助线DF//AE，根据平行公理的推论得到AE//DF//PQ，再结合平行线的性质和DE⊥DQ的条件，计算出∠Q的度数。
【解析】
(1) 因为DE//AB（已知），根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BAE + ∠E = 180°。
又因为∠B = ∠E（已知），通过等量代换得∠BAE + ∠B = 180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，所以AE//BC。
(2) 如图，过点D作DF//AE。
因为线段AE平移得到PQ，所以AE//PQ（平移后对应线段平行），因此AE//DF//PQ（平行于同一直线的多条直线互相平行）。
根据平行线的性质，∠EDF = ∠E，∠Q = ∠FDQ。
已知∠E = 75°，所以∠EDF = 75°。
因为DE⊥DQ，所以∠EDQ = 90°，即∠EDF + ∠FDQ = 90°，因此∠FDQ = 90°−75°=15°，所以∠Q = ∠FDQ=15°。
【答案】
(1) AE//BC；(2) ∠Q=15°；
【知识点】
平行线的性质与判定、平移的性质
【点评】
本题考查平行线的性质与判定、平移的性质，通过作辅助线构造平行线是解决第二问的关键，属于几何基础题型，侧重考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
22. (10分)(2025·金华市金东区期末)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,联结AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°。
(1)EH与AD平行吗？为什么？
(2)若∠DGC=58°,且∠H=∠4+10°,求∠H的度数。
(1)EH与AD平行吗？为什么？
(2)若∠DGC=58°,且∠H=∠4+10°,求∠H的度数。
答案
22.(1)解:EH//AD。理由如下:因为∠1=∠B,所以AB//GD,所以∠2=∠BAD。又因为∠2+∠3=180°,所以∠BAD+∠3=180°,所以EH//AD。
(2)解:由(1)可知,AB//GD,所以∠2=∠BAD,∠DGC=∠BAC=58°。因为EH//AD,所以∠2=∠H,所以∠H=∠BAD,所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°。又因为∠H=∠4+10°,所以∠4+10°+∠4=58°,所以∠4=24°,所以∠H=34°。
(2)解:由(1)可知,AB//GD,所以∠2=∠BAD,∠DGC=∠BAC=58°。因为EH//AD,所以∠2=∠H,所以∠H=∠BAD,所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°。又因为∠H=∠4+10°,所以∠4+10°+∠4=58°,所以∠4=24°,所以∠H=34°。
解析
【分析】
第(1)问需通过已知角的关系推导平行线，先利用∠1=∠B推出AB//GD，得到∠2与∠BAD相等，再结合∠2+∠3=180°，通过等量代换得到同旁内角互补，从而证明EH//AD；第(2)问利用(1)中的平行线性质，先由AB//GD得到∠DGC=∠BAC，再结合EH//AD得到∠2=∠H，将∠BAC转化为∠H+∠4，结合已知∠H=∠4+10°和∠DGC=58°，通过方程计算∠H的度数。
【解析】
(1) EH//AD，理由如下：
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ AB//GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠BAD+∠3=180°（等量代换），
∴ EH//AD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)知AB//GD，
∴ ∠DGC=∠BAC=58°（两直线平行，同位角相等），且∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又由(1)知EH//AD，
∴ ∠2=∠H（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠H=∠BAD，
而∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4，
∴ ∠H+∠4=58°。
已知∠H=∠4+10°，代入得：
∠4+10°+∠4=58°，
解得∠4=24°，
∴ ∠H=24°+10°=34°。
【答案】
(1) EH与AD平行；(2) ∠H的度数为34°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，需熟练运用平行线的相关定理，通过角的等量代换推导平行关系，再结合已知条件求解角度，是几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
第(1)问需通过已知角的关系推导平行线，先利用∠1=∠B推出AB//GD，得到∠2与∠BAD相等，再结合∠2+∠3=180°，通过等量代换得到同旁内角互补，从而证明EH//AD；第(2)问利用(1)中的平行线性质，先由AB//GD得到∠DGC=∠BAC，再结合EH//AD得到∠2=∠H，将∠BAC转化为∠H+∠4，结合已知∠H=∠4+10°和∠DGC=58°，通过方程计算∠H的度数。
【解析】
(1) EH//AD，理由如下：
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ AB//GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠BAD+∠3=180°（等量代换），
∴ EH//AD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)知AB//GD，
∴ ∠DGC=∠BAC=58°（两直线平行，同位角相等），且∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又由(1)知EH//AD，
∴ ∠2=∠H（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠H=∠BAD，
而∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4，
∴ ∠H+∠4=58°。
已知∠H=∠4+10°，代入得：
∠4+10°+∠4=58°，
解得∠4=24°，
∴ ∠H=24°+10°=34°。
【答案】
(1) EH与AD平行；(2) ∠H的度数为34°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，需熟练运用平行线的相关定理，通过角的等量代换推导平行关系，再结合已知条件求解角度，是几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
