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18.(8分)(2025·金华市永康市期末)如图,在$6×6$的网格中,每个小正方形的边长为1。点D和三角形ABC的顶点都在格点上,平移三角形ABC,使点A落在点D,点C的对应点是点F。
(1)画出平移后的三角形DEF。
(2)联结AD,CF,求四边形ACFD的面积。
(1)画出平移后的三角形DEF。
(2)联结AD,CF,求四边形ACFD的面积。
答案
18.(1)解:如图1,三角形DEF即为所求作。
(2)解:如图2,$S_{四边形ACFD}=S_{三角形ACF}+S_{三角形ADF}=6×2×\frac{1}{2}×2=12$。
解析
【分析】
本题包含平移作图和面积计算两部分：第一问需利用平移的性质（平移后对应点的连线平行且相等），先确定点A到点D的平移方向与距离，再将点B、C按相同规则平移得到对应点，进而画出平移后的三角形DEF；第二问由平移性质可知四边形ACFD是平行四边形，可通过分割为两个三角形或利用平行四边形面积公式，结合网格边长为1计算面积。
【解析】
(1) 平移作图：根据点A到点D的平移方向（向右3格、向上1格），将点B、C分别按此平移规则得到对应点E、F，连接DE、EF，△DEF即为所求，如图1所示。
(2) 计算四边形ACFD的面积：由平移性质得AD//CF且AD=CF，故四边形ACFD是平行四边形。将其分割为△ACF和△ADF，两个三角形的底均为6，高均为2，因此面积和为$\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×2 = 12$。
【答案】
(1) 如图1，△DEF即为所求；(2) 12
【知识点】
平移的性质、平行四边形面积、网格图形作图
【点评】
本题考查网格中的平移作图与面积计算，核心是利用平移性质确定对应点，面积计算方法常规，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题包含平移作图和面积计算两部分：第一问需利用平移的性质（平移后对应点的连线平行且相等），先确定点A到点D的平移方向与距离，再将点B、C按相同规则平移得到对应点，进而画出平移后的三角形DEF；第二问由平移性质可知四边形ACFD是平行四边形，可通过分割为两个三角形或利用平行四边形面积公式，结合网格边长为1计算面积。
【解析】
(1) 平移作图：根据点A到点D的平移方向（向右3格、向上1格），将点B、C分别按此平移规则得到对应点E、F，连接DE、EF，△DEF即为所求，如图1所示。
(2) 计算四边形ACFD的面积：由平移性质得AD//CF且AD=CF，故四边形ACFD是平行四边形。将其分割为△ACF和△ADF，两个三角形的底均为6，高均为2，因此面积和为$\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×2 = 12$。
【答案】
(1) 如图1，△DEF即为所求；(2) 12
【知识点】
平移的性质、平行四边形面积、网格图形作图
【点评】
本题考查网格中的平移作图与面积计算，核心是利用平移性质确定对应点，面积计算方法常规，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
19. (8分)(2025·台州市路桥区期末)如图,已知$CD ⊥ AB,GF ⊥ AB$, $∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,则$DE // BC$。完成下面的说理过程。
解:已知$CD ⊥ AB,GF ⊥ AB$,
根据“垂直的定义”,得$∠ CDF = ∠ GFB = 90°$。
根据“同位角相等,两直线平行”,得$CD //$
根据“
又因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,
根据“同角的补角相等”,得$∠ 1 =$
又根据“
解:已知$CD ⊥ AB,GF ⊥ AB$,
根据“垂直的定义”,得$∠ CDF = ∠ GFB = 90°$。
根据“同位角相等,两直线平行”,得$CD //$
GF
。根据“
两直线平行,同旁内角互补
”,得$∠ 2 + ∠ BCD = 180°$。又因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,
根据“同角的补角相等”,得$∠ 1 =$
∠BCD
。又根据“
内错角相等,两直线平行
”,得$DE // BC$。答案
19.GF 两直线平行,同旁内角互补 ∠BCD 内错角相等,两直线平行
解析
【分析】
本题是利用平行线的判定与性质完成几何说理填空，解题思路为：先由垂直关系推出CD与GF平行，再根据平行线性质得到同旁内角互补，结合已知条件推出角相等，最后依据角的关系判定DE与BC平行，逐步推导每个空的内容。
【解析】
已知$CD ⊥ AB,GF ⊥ AB$，根据“垂直的定义”，得$∠ CDF = ∠ GFB = 90°$。根据“同位角相等，两直线平行”，得$CD //$ GF。根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ 2 + ∠ BCD = 180°$。又因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据“同角的补角相等”，得$∠ 1 =$ ∠BCD。又根据“内错角相等，两直线平行”，得$DE // BC$。
【答案】
GF；两直线平行，同旁内角互补；∠BCD；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，属于基础几何说理题，需熟练掌握平行线的相关定理，理清角与线的关系即可完成填空。
【难度系数】
0.5
本题是利用平行线的判定与性质完成几何说理填空，解题思路为：先由垂直关系推出CD与GF平行，再根据平行线性质得到同旁内角互补，结合已知条件推出角相等，最后依据角的关系判定DE与BC平行，逐步推导每个空的内容。
【解析】
已知$CD ⊥ AB,GF ⊥ AB$，根据“垂直的定义”，得$∠ CDF = ∠ GFB = 90°$。根据“同位角相等，两直线平行”，得$CD //$ GF。根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ 2 + ∠ BCD = 180°$。又因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据“同角的补角相等”，得$∠ 1 =$ ∠BCD。又根据“内错角相等，两直线平行”，得$DE // BC$。
【答案】
GF；两直线平行，同旁内角互补；∠BCD；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，属于基础几何说理题，需熟练掌握平行线的相关定理，理清角与线的关系即可完成填空。
【难度系数】
0.5
20.(8分)(2025·杭州市八县区期末)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是边CD,AB上的点,联结EF,过点E作NE⊥DA,垂足为N。已知∠A=∠C,∠1=∠2。
(1)说明AD//BC的理由。
(2)说明NE⊥BC的理由。
(1)说明AD//BC的理由。
(2)说明NE⊥BC的理由。
答案
20.(1)证明:因为∠1=∠2,所以AB//CD,所以∠A+∠D=180°。因为∠A=∠C,所以∠C+∠D=180°,所以AD//BC。
(2)证明:如图,延长NE交BC的延长线于点M。因为AD//BC,所以∠END=∠EMC。因为NE⊥DA,所以∠END=90°,所以∠EMC=90°,所以NE⊥BC。
解析
【分析】
第(1)问：要证明AD//BC，先由∠1=∠2根据内错角相等推出AB//CD，再利用平行线性质得∠A与∠D互补，结合已知∠A=∠C，通过等量代换得到∠C与∠D互补，进而依据同旁内角互补推出AD//BC；第(2)问：延长NE交BC延长线于M，利用AD//BC得同位角相等，结合NE⊥DA的条件，推出∠EMC=90°，从而证明NE⊥BC。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠A = ∠C（已知），
∴ ∠C + ∠D = 180°（等量代换），
∴ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 证明：
如图，延长NE交BC的延长线于点M。
∵ AD//BC（已证），
∴ ∠END = ∠EMC（两直线平行，同位角相等），
∵ NE⊥DA（已知），
∴ ∠END = 90°（垂直的定义），
∴ ∠EMC = 90°（等量代换），
∴ NE⊥BC（垂直的定义）。
【答案】
(1) AD//BC，理由见解析；
(2) NE⊥BC，理由见解析；
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是利用角的关系推导直线平行，再结合平行关系证明垂直，需熟练掌握平行线相关定理，逻辑推理清晰即可完成解答。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证明AD//BC，先由∠1=∠2根据内错角相等推出AB//CD，再利用平行线性质得∠A与∠D互补，结合已知∠A=∠C，通过等量代换得到∠C与∠D互补，进而依据同旁内角互补推出AD//BC；第(2)问：延长NE交BC延长线于M，利用AD//BC得同位角相等，结合NE⊥DA的条件，推出∠EMC=90°，从而证明NE⊥BC。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠A = ∠C（已知），
∴ ∠C + ∠D = 180°（等量代换），
∴ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 证明：
如图，延长NE交BC的延长线于点M。
∵ AD//BC（已证），
∴ ∠END = ∠EMC（两直线平行，同位角相等），
∵ NE⊥DA（已知），
∴ ∠END = 90°（垂直的定义），
∴ ∠EMC = 90°（等量代换），
∴ NE⊥BC（垂直的定义）。
【答案】
(1) AD//BC，理由见解析；
(2) NE⊥BC，理由见解析；
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是利用角的关系推导直线平行，再结合平行关系证明垂直，需熟练掌握平行线相关定理，逻辑推理清晰即可完成解答。
【难度系数】
0.5
