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13. 如图,将三角形ABC沿BC方向平移8 cm得到三角形DEF,若$BF=7CE$,则BC的长为
6
cm。答案
13.6
解析
【分析】首先回忆平移的核心性质：图形平移后，对应线段相等，对应点所连线段的长度等于平移距离。本题中△ABC沿BC方向平移得到△DEF，因此BC=EF，平移距离为8cm，即BE=CF=8cm。观察线段BF的组成，BF由BC、CE、EF三段构成，结合已知条件BF=7CE，通过设未知数建立方程即可求解BC的长度。
【解析】根据平移的性质，△ABC平移后对应线段相等，故BC=EF；平移距离为8cm，因此CF=CE + EF=CE + BC=8cm。设BC的长为$x$ cm，CE的长为$y$ cm，根据题意列方程：
1. 由CF=8cm得：$x + y = 8$；
2. BF是线段BC+CE+EF，即$BF = x + y + x = 2x + y$，结合BF=7CE得：$2x + y = 7y$，化简得$2x = 6y$，即$x = 3y$。
将$x=3y$代入$x + y =8$，得$3y + y=8$，解得$y=2$，则$x=3×2=6$，即BC的长为6cm。
【答案】6
【知识点】图形的平移性质、一元一次方程的应用
【点评】本题结合平移性质与线段和差关系建立方程求解，关键是明确平移后对应线段相等，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据平移的性质，△ABC平移后对应线段相等，故BC=EF；平移距离为8cm，因此CF=CE + EF=CE + BC=8cm。设BC的长为$x$ cm，CE的长为$y$ cm，根据题意列方程：
1. 由CF=8cm得：$x + y = 8$；
2. BF是线段BC+CE+EF，即$BF = x + y + x = 2x + y$，结合BF=7CE得：$2x + y = 7y$，化简得$2x = 6y$，即$x = 3y$。
将$x=3y$代入$x + y =8$，得$3y + y=8$，解得$y=2$，则$x=3×2=6$，即BC的长为6cm。
【答案】6
【知识点】图形的平移性质、一元一次方程的应用
【点评】本题结合平移性质与线段和差关系建立方程求解，关键是明确平移后对应线段相等，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
14.若$∠ A$的一边与$∠ B$的一边互相平行，$∠ A$的另一边与$∠ B$的另一边互相垂直，且$∠ A = 30°$，则$∠ B$的度数是________。
答案
14.60°或120° 【解析】由题意,得AC//BF,AD⊥BE。如图1,因为AC//BF,所以∠1=∠A=30°。因为AD⊥BE,所以∠EBD=90°,所以∠EBF=∠EBD−∠1=90°−30°=60°;如图2,同理可得,∠1=30°,∠EBD=90°,所以∠EBF=∠EBD+∠1=90°+30°=120°。综上所述,∠B的度数是60°或120°。
解析
【分析】
题目中“∠A的一边与∠B的一边互相平行，另一边互相垂直”存在两种不同的位置关系，需分情况讨论：①对应图1的位置关系；②对应图2的位置关系。解题思路为：先利用平行线的同位角相等得到∠1与∠A的关系，再结合垂直的定义得到直角，最后通过角的和差计算∠B的度数，需全面考虑两种情况避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 如图1，因为AC//BF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠1=∠A=30°。
又因为AD⊥BE，根据垂直的定义，∠EBD=90°，
所以∠EBF=∠EBD - ∠1=90° - 30°=60°，即∠B=60°。
2. 如图2，同理，AC//BF得∠1=∠A=30°；AD⊥BE得∠EBD=90°，
此时∠EBF=∠EBD + ∠1=90° + 30°=120°，即∠B=120°。
综上，∠B的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
平行线性质、垂直定义、角的和差
【点评】
本题考查平行线性质与垂直的应用，核心是分情况讨论，需考虑两种不同的图形位置，避免漏解，属于几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
题目中“∠A的一边与∠B的一边互相平行，另一边互相垂直”存在两种不同的位置关系，需分情况讨论：①对应图1的位置关系；②对应图2的位置关系。解题思路为：先利用平行线的同位角相等得到∠1与∠A的关系，再结合垂直的定义得到直角，最后通过角的和差计算∠B的度数，需全面考虑两种情况避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 如图1，因为AC//BF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠1=∠A=30°。
又因为AD⊥BE，根据垂直的定义，∠EBD=90°，
所以∠EBF=∠EBD - ∠1=90° - 30°=60°，即∠B=60°。
2. 如图2，同理，AC//BF得∠1=∠A=30°；AD⊥BE得∠EBD=90°，
此时∠EBF=∠EBD + ∠1=90° + 30°=120°，即∠B=120°。
综上，∠B的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
平行线性质、垂直定义、角的和差
【点评】
本题考查平行线性质与垂直的应用，核心是分情况讨论，需考虑两种不同的图形位置，避免漏解，属于几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
15.(2025·绍兴市越城区元培中学期末)如图,已知$AB// CD$,点Q为射线CD外一点,AH平分$∠QAB$,CH交AH于点H。若$∠QCH:∠HCD=2:3,∠HCD=30°,∠AHC=25°$,则$∠AQC=$
60
°。答案
15.60 【解析】如图,过点H作PH//CD,设CD与AQ的交点为F。因为AB//CD,所以AB//PH,所以∠PHC=∠HCD=30°,∠PHA=∠HAB,所以∠PHA=∠HAB=∠PHC+∠AHC=30°+25°=55°。又因为AH平分∠QAB,所以∠QAH=∠HAB=55°,所以∠AFD=∠CFQ=180°−55°−55°=70°。因为∠QCH:∠HCD=2:3,∠HCD=30°,所以∠QCH=20°,所以∠AQC=180°−70°−30°−20°=60°。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理。首先利用已知的角度比例求出∠QCH，再通过过拐点作平行线的辅助线方法，结合平行线性质求出∠HAB，利用角平分线得到∠QAH，最后在相关三角形中结合内角和计算出∠AQC。
【解析】
1. 计算∠QCH：已知∠QCH:∠HCD=2:3，∠HCD=30°，则∠QCH = (2/3)×30° = 20°。
2. 作辅助线：过点H作PH//CD，因为AB//CD，所以AB//PH。根据平行线内错角相等，得∠PHC=∠HCD=30°，因此∠PHA=∠PHC + ∠AHC=30°+25°=55°；又因为AB//PH，所以∠HAB=∠PHA=55°。
3. 利用角平分线：AH平分∠QAB，故∠QAH=∠HAB=55°，则∠QAB=∠QAH+∠HAB=110°。
4. 求∠CFQ：因为AB//CD，同旁内角互补，所以∠AFD=180°-∠QAB=180°-110°=70°，由对顶角相等得∠CFQ=∠AFD=70°。
5. 计算∠AQC：在△CFQ中，根据三角形内角和为180°，得∠AQC=180°-∠CFQ-∠QCH=180°-70°-20°=60°。
【答案】
60
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线与三角形内角和的应用，关键是通过作辅助线转化角度关系，将未知角与已知角联系起来，难度中等，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理。首先利用已知的角度比例求出∠QCH，再通过过拐点作平行线的辅助线方法，结合平行线性质求出∠HAB，利用角平分线得到∠QAH，最后在相关三角形中结合内角和计算出∠AQC。
【解析】
1. 计算∠QCH：已知∠QCH:∠HCD=2:3，∠HCD=30°，则∠QCH = (2/3)×30° = 20°。
2. 作辅助线：过点H作PH//CD，因为AB//CD，所以AB//PH。根据平行线内错角相等，得∠PHC=∠HCD=30°，因此∠PHA=∠PHC + ∠AHC=30°+25°=55°；又因为AB//PH，所以∠HAB=∠PHA=55°。
3. 利用角平分线：AH平分∠QAB，故∠QAH=∠HAB=55°，则∠QAB=∠QAH+∠HAB=110°。
4. 求∠CFQ：因为AB//CD，同旁内角互补，所以∠AFD=180°-∠QAB=180°-110°=70°，由对顶角相等得∠CFQ=∠AFD=70°。
5. 计算∠AQC：在△CFQ中，根据三角形内角和为180°，得∠AQC=180°-∠CFQ-∠QCH=180°-70°-20°=60°。
【答案】
60
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线与三角形内角和的应用，关键是通过作辅助线转化角度关系，将未知角与已知角联系起来，难度中等，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
16.(2025·湖州市德清县期末)如图,小盟利用几何图形画出螳螂简笔画,CF,BG交于点A,FG//DE//BC,∠FAG=40°,AC平分∠BAD,若∠ADE=100°,则∠G的度数为
20°
。答案
16.20° 【解析】如图,过点A作AM//DE。因为FG//DE,所以AM//FG//DE,所以∠MAD+∠ADE=180°。因为∠ADE=100°,所以∠MAD=180°−∠ADE=80°。因为AM//FG,所以∠GAM=∠G。因为∠FAG=40°,所以∠BAC=∠FAG=40°。因为AC平分∠BAD,所以∠BAD=2∠BAC=80°,所以∠GAM=180°−∠BAD−∠MAD=180°−80°−80°=20°,所以∠G=∠GAM=20°。
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质、角平分线的定义推导角度关系。首先通过作辅助线构造平行关系，将已知角转化为与点A相关的角，再结合对顶角相等、角平分线性质求出目标角，最终利用平行线的性质得到∠G的度数。
【解析】
1. 过点A作AM//DE，因为FG//DE，根据平行公理的推论，可得AM//FG//DE。
2. 由AM//DE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠MAD + ∠ADE = 180°。已知∠ADE=100°，所以∠MAD=180°−100°=80°。
3. 因为∠BAC与∠FAG是对顶角，所以∠BAC=∠FAG=40°。又因为AC平分∠BAD，根据角平分线的定义，得∠BAD=2∠BAC=2×40°=80°。
4. 根据平角的定义，∠BAD + ∠MAD + ∠GAM = 180°，因此∠GAM=180°−80°−80°=20°。
5. 由AM//FG，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠G=∠GAM=20°。
【答案】20°
【知识点】平行线的性质、角平分线的定义、平行公理的推论
【点评】本题是平行线性质与角平分线的综合应用，作辅助线构造平行线是解题关键，考查几何基本定理的掌握和角度转化能力，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
要解决本题，需利用平行线的性质、角平分线的定义推导角度关系。首先通过作辅助线构造平行关系，将已知角转化为与点A相关的角，再结合对顶角相等、角平分线性质求出目标角，最终利用平行线的性质得到∠G的度数。
【解析】
1. 过点A作AM//DE，因为FG//DE，根据平行公理的推论，可得AM//FG//DE。
2. 由AM//DE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠MAD + ∠ADE = 180°。已知∠ADE=100°，所以∠MAD=180°−100°=80°。
3. 因为∠BAC与∠FAG是对顶角，所以∠BAC=∠FAG=40°。又因为AC平分∠BAD，根据角平分线的定义，得∠BAD=2∠BAC=2×40°=80°。
4. 根据平角的定义，∠BAD + ∠MAD + ∠GAM = 180°，因此∠GAM=180°−80°−80°=20°。
5. 由AM//FG，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠G=∠GAM=20°。
【答案】20°
【知识点】平行线的性质、角平分线的定义、平行公理的推论
【点评】本题是平行线性质与角平分线的综合应用，作辅助线构造平行线是解题关键，考查几何基本定理的掌握和角度转化能力，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)已知:如图,$AB ⊥ CD$,垂足为$O$,$EF$经过点$O$,$∠ 1=25°$,求$∠ 2,∠ 3$的度数。
17.(8分)已知:如图,$AB ⊥ CD$,垂足为$O$,$EF$经过点$O$,$∠ 1=25°$,求$∠ 2,∠ 3$的度数。
答案
17.解:因为AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠1=25°,所以∠2=90°−∠1=90°−25°=65°,∠1=∠3=25°,所以∠2=65°,∠3=25°。
解析
【分析】先根据AB⊥CD得出∠COB为直角，结合∠1的度数，利用直角的和差关系计算∠2；再根据对顶角相等的性质，由∠1的度数得到∠3的度数，即可完成求解。
【解析】因为AB⊥CD，垂足为O，所以∠COB=90°（垂直的定义）。已知∠1=25°，且∠1+∠2=∠COB，所以∠2=90°−∠1=90°−25°=65°。又因为∠3与∠1是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠3=∠1=25°。
【答案】∠2=65°，∠3=25°
【知识点】垂直的性质，对顶角相等
【点评】本题考查基础几何角度计算，核心是运用垂直的定义和对顶角的性质，属于基础题型，解题思路清晰直接。
【难度系数】0.7
【解析】因为AB⊥CD，垂足为O，所以∠COB=90°（垂直的定义）。已知∠1=25°，且∠1+∠2=∠COB，所以∠2=90°−∠1=90°−25°=65°。又因为∠3与∠1是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠3=∠1=25°。
【答案】∠2=65°，∠3=25°
【知识点】垂直的性质，对顶角相等
【点评】本题考查基础几何角度计算，核心是运用垂直的定义和对顶角的性质，属于基础题型，解题思路清晰直接。
【难度系数】0.7
