23.(10分)(2024·绍兴市新昌县期末)学科融合 如图,一束光线AB射到平面镜a上,经平面镜a反射到平面镜b上,又经平面镜b反射得到光线CD,反射过程中,∠1=∠2,∠3=∠4。
(1)若AB//CD,且∠1=40°,求∠4的度数。
(2)探究∠2与∠3有什么关系时,光线AB与光线CD平行。

23.(1)解:因为∠1=∠2,∠1=40°,所以∠2=∠1=40°。因为∠1+∠2+∠ABC=180°,所以∠ABC=180°−∠1−∠2=100°。因为AB//CD,所以∠ABC+∠BCD=180°,所以∠BCD=180°−∠ABC=80°。因为∠3+∠4+∠BCD=180°,所以∠3+∠4=180°−∠BCD=100°。因为∠3=∠4,所以∠4=50°。
(2)解:当∠2+∠3=90°时,光线AB与光线CD平行。因为∠1=∠2,∠1+∠2+∠ABC=180°,所以∠ABC=180°−∠1−∠2=180°−2∠2。同理可得,∠BCD=180°−∠3−∠4=180°−2∠3。所以∠ABC+∠BCD=180°−2∠2+180°−2∠3=360°−2(∠2+∠3)=360°−180°=180°,所以AB//CD。

【分析】
本题结合光线反射场景，利用反射角相等、平角定义、平行线的性质与判定解题。第(1)问先由反射角相等得∠2=∠1，再用平角算∠ABC，结合AB//CD得∠BCD，最后由平角和反射角相等求∠4；第(2)问先分别用∠2、∠3表示∠ABC、∠BCD，再根据AB//CD时同旁内角互补，推导∠2与∠3的关系。
【解析】
(1) 解：
∵∠1=∠2，∠1=40°，
∴∠2=40°。
∵点B在直线a上，
∴∠1+∠2+∠ABC=180°（平角的定义），
∴∠ABC=180°−40°−40°=100°。
又
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BCD=180°−100°=80°。
∵点C在直线b上，
∴∠3+∠4+∠BCD=180°（平角的定义），
∴∠3+∠4=180°−80°=100°。
∵∠3=∠4，
∴∠4=100°÷2=50°。
(2) 解：当∠2+∠3=90°时，AB//CD，理由如下：
∵∠1=∠2，且∠1+∠2+∠ABC=180°（平角定义），
∴∠ABC=180°−∠1−∠2=180°−2∠2。
同理，∠BCD=180°−∠3−∠4=180°−2∠3。
若AB//CD，则∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入得：180°−2∠2 + 180°−2∠3 = 180°，
化简得：360°−2(∠2+∠3)=180°，即∠2+∠3=90°。
【答案】(1)∠4的度数为50°；(2)当∠2+∠3=90°时，光线AB与光线CD平行。
【知识点】平行线的性质、平行线的判定、平角的定义
【点评】本题以光线反射为载体，综合考查平行线的性质与判定，需结合反射角相等的条件进行角度推导，逻辑连贯，是几何基础应用题型。
【难度系数】0.5

24.(12分)(2025·湖州市期末)如图,AB,CD和EF被BD所截,已知∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G。
(1)如图 1,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由。
(2)如图 2,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数。
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。

24.(1)解:EF//CD。理由如下:因为∠1=∠2,所以AB//EF,所以∠AEF+∠BAE=180°。因为∠BAE=140°,所以∠AEF=40°。因为∠FEG=15°,所以∠AEG=55°。因为EG平分∠AEC,所以∠CEG=∠AEG=55°,所以∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°。又因为∠DCE=110°,所以∠DCE+∠CEF=180°,所以EF//CD。
(2)解:① 因为∠1=∠2,所以AB//EF,所以∠FEA=∠BAE=35°。因为∠FEG=30°,所以∠AEG=65°。因为EG平分∠AEC,所以∠CEG=∠AEG=65°,所以∠FEC=95°。因为AB//CD,AB//EF,所以EF//CD,所以∠C+∠FEC=180°,所以∠C=85°。
②因为∠1=∠2,所以AB//EF,所以∠BAE=∠FEA。因为EG平分∠AEC,所以∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG,所以∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG。因为AB//CD,AB//EF,所以EF//CD,所以∠FEC+∠C=180°,所以∠BAE+2∠FEG+∠C=180°。

【分析】
本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的应用。解题时，先根据∠1=∠2判定AB与EF平行，再结合平行线的性质求出相关角的度数，利用角平分线的定义得到相等的角，最后通过同旁内角互补或平行线的传递性判断EF与CD的位置关系，推导角之间的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠BAE=140°，
∴ ∠AEF = 180° - 140° = 40°。
∵ ∠FEG=15°，
∴ ∠AEG = ∠AEF + ∠FEG = 40° + 15° = 55°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG = ∠AEG = 55°，
∴ ∠CEF = ∠CEG + ∠FEG = 55° + 15° = 70°。
又
∵ ∠DCE=110°，
∴ ∠DCE + ∠CEF = 110° + 70° = 180°，
∴ EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ① 求∠C的度数：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF，
∴ ∠FEA = ∠BAE = 35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠FEG=30°，
∴ ∠AEG = ∠FEA + ∠FEG = 35° + 30° = 65°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG = ∠AEG = 65°，
∴ ∠FEC = ∠CEG + ∠FEG = 65° + 30° = 95°。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠C + ∠FEC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠C = 180° - 95° = 85°。
② 探索数量关系：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF，
∴ ∠BAE = ∠FEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠GEC = ∠AEG = ∠FEA + ∠FEG，
∴ ∠FEC = ∠GEC + ∠FEG = ∠FEA + 2∠FEG = ∠BAE + 2∠FEG。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD，
∴ ∠FEC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAE + 2∠FEG + ∠C = 180°。
【答案】
(1) EF//CD，理由见解析；
(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C = 180°。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，需熟练运用相关定理理清角的关系，逐步推导结论，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5