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8. 新考向 探究题 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和一把刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径. 小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 A，B，C，D 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 3.5 cm，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$. 经计算，纸杯杯底的直径为
5
cm.答案
如图, 设纸杯杯底圆的圆心为点 $O$, 过点 $O$ 作 $MN ⊥ AB$, 分别交 $CD,AB$ 于点 $M,N$, 连接 $OD,OB$, 则易得 $MN=3.5\ \mathrm{cm}$. $\because CD // AB$, 纸条的宽为 $3.5\ \mathrm{cm}$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$CD=3\ \mathrm{cm}$, $\therefore MN ⊥ CD$. $\therefore DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 3=1.5(\mathrm{cm})$,$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4=2(\mathrm{cm})$. 设 $OM=x\ \mathrm{cm}$, $\therefore ON=MN-OM=(3.5-x)\ \mathrm{cm}$. $\because OM^2+MD^2=OD^2$,$ON^2+BN^2=OB^2$,$OB=OD$, $\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$. $\therefore x^2+1.5^2=(3.5-x)^2+2^2$, 解得 $x=2$. $\therefore OM=2\ \mathrm{cm}$. $\therefore OD=\sqrt{OM^2+MD^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5(\mathrm{cm})$. $\therefore$ 纸杯杯底的直径为 $2.5 × 2=5(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
这道题的核心是把测量杯底直径的实际问题转化为圆中平行弦的计算问题，解题思路如下：
1. 首先明确杯底是圆形，纸条的上下边沿对应的AB、CD是这个圆的两条平行弦，两条弦之间的距离就是纸条的宽度3.5cm。
2. 遇到圆中已知弦长求半径的问题，常规方法是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长：因为垂直于弦的直径平分弦，所以CD的一半是1.5cm，AB的一半是2cm。
3. 设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用圆的半径都相等，分别对两条弦用勾股定理列出表示半径平方的等式，建立一元一次方程求解出圆心到弦的距离，进而算出半径，最终乘2得到直径。
【解析】
解：设纸杯杯底对应的圆的圆心为点O，过点O作MN⊥AB，分别交CD、AB于点M、N，连接OD、OB。
由题意可知MN的长度等于纸条的宽度，即$MN=3.5\ \mathrm{cm}$。
因为$CD// AB$，$MN⊥ AB$，所以$MN⊥ CD$。
根据垂径定理，可得：
$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 3 = 1.5\ \mathrm{cm}$，
$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(3.5-x)\ \mathrm{cm}$。
因为OD和OB都是圆的半径，即$OD=OB$，结合勾股定理可得：
$OM^2 + DM^2 = OD^2$，$ON^2 + BN^2 = OB^2$，
因此列方程：
$x^2 + 1.5^2 = (3.5-x)^2 + 2^2$
展开化简：
$x^2 + 2.25 = x^2 -7x +12.25 +4$
消去$x^2$后解得$x=2$。
即$OM=2\ \mathrm{cm}$，代入勾股定理计算半径OD：
$OD=\sqrt{OM^2 + DM^2}=\sqrt{2^2 +1.5^2}=2.5\ \mathrm{cm}$
因此杯底的直径为$2× OD=2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是结合生活实际的探究类几何题，将测量纸杯直径的场景转化为圆内平行弦的计算问题，重点考察垂径定理和勾股定理的综合运用，解题的关键是通过设圆心到弦的距离为未知数，利用半径相等建立等量关系列方程，避免直接硬算距离的误区，能很好锻炼学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.4
这道题的核心是把测量杯底直径的实际问题转化为圆中平行弦的计算问题，解题思路如下：
1. 首先明确杯底是圆形，纸条的上下边沿对应的AB、CD是这个圆的两条平行弦，两条弦之间的距离就是纸条的宽度3.5cm。
2. 遇到圆中已知弦长求半径的问题，常规方法是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长：因为垂直于弦的直径平分弦，所以CD的一半是1.5cm，AB的一半是2cm。
3. 设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用圆的半径都相等，分别对两条弦用勾股定理列出表示半径平方的等式，建立一元一次方程求解出圆心到弦的距离，进而算出半径，最终乘2得到直径。
【解析】
解：设纸杯杯底对应的圆的圆心为点O，过点O作MN⊥AB，分别交CD、AB于点M、N，连接OD、OB。
由题意可知MN的长度等于纸条的宽度，即$MN=3.5\ \mathrm{cm}$。
因为$CD// AB$，$MN⊥ AB$，所以$MN⊥ CD$。
根据垂径定理，可得：
$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 3 = 1.5\ \mathrm{cm}$，
$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(3.5-x)\ \mathrm{cm}$。
因为OD和OB都是圆的半径，即$OD=OB$，结合勾股定理可得：
$OM^2 + DM^2 = OD^2$，$ON^2 + BN^2 = OB^2$，
因此列方程：
$x^2 + 1.5^2 = (3.5-x)^2 + 2^2$
展开化简：
$x^2 + 2.25 = x^2 -7x +12.25 +4$
消去$x^2$后解得$x=2$。
即$OM=2\ \mathrm{cm}$，代入勾股定理计算半径OD：
$OD=\sqrt{OM^2 + DM^2}=\sqrt{2^2 +1.5^2}=2.5\ \mathrm{cm}$
因此杯底的直径为$2× OD=2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是结合生活实际的探究类几何题，将测量纸杯直径的场景转化为圆内平行弦的计算问题，重点考察垂径定理和勾股定理的综合运用，解题的关键是通过设圆心到弦的距离为未知数，利用半径相等建立等量关系列方程，避免直接硬算距离的误区，能很好锻炼学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.4
9. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$AE$为$\odot O$的弦,$C$为$\overset{\frown}{ABE}$的中点,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.若$AE=8$,$DB=2$,则$\odot O$的半径为
5
答案
如图, 连接 $CO$ 并延长, 交 $AE$ 于点 $T$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$. $\because C$ 为 $\overgroup{ABE}$ 的中点, $\therefore \overgroup{AC}=\overgroup{CE}$. $\therefore CT ⊥ AE$. $\therefore AT=TE=\frac{1}{2}AE=4$,$∠ ATO=90°$. $\because CD ⊥ AB$, $\therefore ∠ ATO=∠ CDO=90°$. 又 $\because ∠ AOT=∠ COD$,$AO=CO$, $\therefore △ AOT ≌ △ COD(\mathrm{AAS})$. $\therefore AT=CD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中, $OC^2=CD^2+OD^2$, $\therefore r^2=4^2+(r-2)^2$, 解得 $r=5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 $5$.
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：1. 看到C是弧ABE的中点，优先回忆弧中点的性质：等弧所对的圆心角相等，过弧中点的半径会垂直平分该弧对应的弦，因此我们连接CO并延长交AE于点T，就能直接得到CT⊥AE，利用垂径定理把AE=8拆分为AT=TE=4。2. 观察图形，CD⊥AB，可得∠ATO和∠CDO都是直角，加上对顶角∠AOT=∠COD，以及AO=CO都是圆的半径，就可以证明△AOT和△COD全等，把AT=4转化为CD=4。3. 设圆的半径为r，已知DB=2，那么OD的长度就是r-2，在Rt△COD中直接用勾股定理列出关于r的方程，解方程就能求出半径。
【解析】
解：连接CO并延长，交AE于点T，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because C$为$\overset{\frown}{ABE}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，根据垂径定理的推论可得$CT⊥ AE$。
$\therefore AT=TE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×8=4$，即$∠ ATO=90°$。
又$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ATO=∠ CDO=90°$。
在$△ AOT$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ ATO=∠ CDO \\∠ AOT=∠ COD \\AO=CO\end{cases}$
$\therefore △ AOT ≌ △ COD(\mathrm{AAS})$，因此$AT=CD=4$。
已知$DB=2$，$OB=r$，则$OD=OB-DB=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得：
$OC^2=CD^2+OD^2$
代入对应边长得：$r^2=4^2+(r-2)^2$
展开计算：$r^2=16 + r^2 -4r +4$，消去$r^2$后解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题属于圆章节的中档常规题，核心考点是垂径定理的推论应用，解题的关键是通过延长半径构造垂径定理的标准图形，借助全等三角形完成线段长度的转化，最终利用勾股定理建立方程求解，能有效考察学生对圆基础性质的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路逐步推导：1. 看到C是弧ABE的中点，优先回忆弧中点的性质：等弧所对的圆心角相等，过弧中点的半径会垂直平分该弧对应的弦，因此我们连接CO并延长交AE于点T，就能直接得到CT⊥AE，利用垂径定理把AE=8拆分为AT=TE=4。2. 观察图形，CD⊥AB，可得∠ATO和∠CDO都是直角，加上对顶角∠AOT=∠COD，以及AO=CO都是圆的半径，就可以证明△AOT和△COD全等，把AT=4转化为CD=4。3. 设圆的半径为r，已知DB=2，那么OD的长度就是r-2，在Rt△COD中直接用勾股定理列出关于r的方程，解方程就能求出半径。
【解析】
解：连接CO并延长，交AE于点T，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because C$为$\overset{\frown}{ABE}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，根据垂径定理的推论可得$CT⊥ AE$。
$\therefore AT=TE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×8=4$，即$∠ ATO=90°$。
又$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ATO=∠ CDO=90°$。
在$△ AOT$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ ATO=∠ CDO \\∠ AOT=∠ COD \\AO=CO\end{cases}$
$\therefore △ AOT ≌ △ COD(\mathrm{AAS})$，因此$AT=CD=4$。
已知$DB=2$，$OB=r$，则$OD=OB-DB=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得：
$OC^2=CD^2+OD^2$
代入对应边长得：$r^2=4^2+(r-2)^2$
展开计算：$r^2=16 + r^2 -4r +4$，消去$r^2$后解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题属于圆章节的中档常规题，核心考点是垂径定理的推论应用，解题的关键是通过延长半径构造垂径定理的标准图形，借助全等三角形完成线段长度的转化，最终利用勾股定理建立方程求解，能有效考察学生对圆基础性质的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$\odot O$中,$AB$,$AC$为弦,$CD$为直径,$AB ⊥ CD$于点$E$,$BF ⊥ AC$于点$F$,$BF$与$CD$相交于点$G$,连接$BD$,$∠ C= ∠ DBE$.
(1) 求证:$EG=ED$.
(2) 若$AB=8$,$OG=1$,求$\odot O$的半径.
(1) 求证:$EG=ED$.
(2) 若$AB=8$,$OG=1$,求$\odot O$的半径.
答案
(1) $\because AB ⊥ CD$,$BF ⊥ AC$, $\therefore ∠ CFG=∠ GEB=90°$.
$\because ∠ CGF=∠ BGE$, $\therefore$ 易得 $∠ C=∠ GBE$. $\because ∠ C=∠ DBE$, $\therefore ∠ GBE=∠ DBE$. $\because AB ⊥ CD$, $\therefore ∠ GEB=∠ DEB=90°$. 在 $△ BGE$ 和 $△ BDE$ 中,
$\begin{cases}∠ GEB=∠ DEB, \\BE=BE, \\∠ GBE=∠ DBE,\end{cases}$
$\therefore △ BGE ≌ △ BDE(\mathrm{ASA})$. $\therefore EG=ED$.
(2) 连接 $OA$. 设 $OA=r$, 则 $DG=r+1$. 由(1)可知, $EG=ED$. $\therefore EG=\frac{r+1}{2}$. $\because OG=1$, $\therefore OE=EG-OG=\frac{r-1}{2}$. $\because AB ⊥ CD$ 于点 $E$,$AB=8$, $\therefore AE=BE=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAE$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+AE^2=OA^2$, 即 $(\frac{r-1}{2})^2+4^2=r^2$, 解得 $r_1=\frac{13}{3}$,$r_2=-5$(不合题意, 舍去). $\therefore OA=\frac{13}{3}$, 即 $\odot O$ 的半径为 $\frac{13}{3}$.
$\because ∠ CGF=∠ BGE$, $\therefore$ 易得 $∠ C=∠ GBE$. $\because ∠ C=∠ DBE$, $\therefore ∠ GBE=∠ DBE$. $\because AB ⊥ CD$, $\therefore ∠ GEB=∠ DEB=90°$. 在 $△ BGE$ 和 $△ BDE$ 中,
$\begin{cases}∠ GEB=∠ DEB, \\BE=BE, \\∠ GBE=∠ DBE,\end{cases}$
$\therefore △ BGE ≌ △ BDE(\mathrm{ASA})$. $\therefore EG=ED$.
(2) 连接 $OA$. 设 $OA=r$, 则 $DG=r+1$. 由(1)可知, $EG=ED$. $\therefore EG=\frac{r+1}{2}$. $\because OG=1$, $\therefore OE=EG-OG=\frac{r-1}{2}$. $\because AB ⊥ CD$ 于点 $E$,$AB=8$, $\therefore AE=BE=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAE$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+AE^2=OA^2$, 即 $(\frac{r-1}{2})^2+4^2=r^2$, 解得 $r_1=\frac{13}{3}$,$r_2=-5$(不合题意, 舍去). $\therefore OA=\frac{13}{3}$, 即 $\odot O$ 的半径为 $\frac{13}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明EG=ED，优先通过全等三角形证明对应边相等：首先由AB⊥CD、BF⊥AC得到两组直角，结合对顶角相等，利用三角形内角和推导得∠C=∠GBE，结合题设∠C=∠DBE，得到∠GBE=∠DBE，再结合AB⊥CD得到的∠GEB=∠DEB=90°，加上公共边BE，即可通过ASA证明△BGE≌△BDE，直接得到EG=ED。
(2) 求圆的半径，可结合垂径定理和勾股定理求解：连接半径OA，设⊙O半径为r，先利用第一问的EG=ED，将DG的长度用r表示，结合OG=1推导出OE的长度表达式，再由垂径定理得AE=AB/2=4，在Rt△OAE中代入勾股定理列方程，舍去负根即可得到半径的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB ⊥ CD，BF ⊥ AC，
∴ ∠CFG=∠GEB=90°，
又
∵ ∠CGF=∠BGE（对顶角相等），
∴ ∠C=∠GBE，
已知∠C=∠DBE，
∴ ∠GBE=∠DBE，
∵ AB ⊥ CD，
∴ ∠GEB=∠DEB=90°，
在△BGE和△BDE中：
$\begin{cases}∠GEB=∠DEB \\BE=BE \\∠GBE=∠DBE\end{cases}$
∴ △BGE ≌ △BDE(ASA)，
∴ EG=ED。
(2) 解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，
由图可知DG=OD + OG = r + 1，
由(1)得EG=ED，
∴ EG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{r+1}{2}$，
∵ OG=1，
∴ OE=EG - OG = $\frac{r+1}{2} - 1 = \frac{r-1}{2}$，
∵ AB ⊥ CD，AB=8，由垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$OE^2 + AE^2 = OA^2$，
代入得：$(\frac{r-1}{2})^2 + 4^2 = r^2$，
整理得$3r^2 + 2r - 65 = 0$，
解得$r_1=\frac{13}{3}$，$r_2=-5$，半径为正数，舍去r=-5，
∴ ⊙O的半径为$\frac{13}{3}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{3}$
【知识点】
全等三角形判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的中档综合题，第一问需要通过角的等量代换构造全等三角形的判定条件，考察学生的角关系推导能力；第二问通过设半径为未知数，利用垂径定理得到半弦长，再用半径表示出圆心到弦的距离，借助勾股定理建立方程求解，是圆相关计算的经典考法，能有效巩固学生对垂径定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明EG=ED，优先通过全等三角形证明对应边相等：首先由AB⊥CD、BF⊥AC得到两组直角，结合对顶角相等，利用三角形内角和推导得∠C=∠GBE，结合题设∠C=∠DBE，得到∠GBE=∠DBE，再结合AB⊥CD得到的∠GEB=∠DEB=90°，加上公共边BE，即可通过ASA证明△BGE≌△BDE，直接得到EG=ED。
(2) 求圆的半径，可结合垂径定理和勾股定理求解：连接半径OA，设⊙O半径为r，先利用第一问的EG=ED，将DG的长度用r表示，结合OG=1推导出OE的长度表达式，再由垂径定理得AE=AB/2=4，在Rt△OAE中代入勾股定理列方程，舍去负根即可得到半径的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB ⊥ CD，BF ⊥ AC，
∴ ∠CFG=∠GEB=90°，
又
∵ ∠CGF=∠BGE（对顶角相等），
∴ ∠C=∠GBE，
已知∠C=∠DBE，
∴ ∠GBE=∠DBE，
∵ AB ⊥ CD，
∴ ∠GEB=∠DEB=90°，
在△BGE和△BDE中：
$\begin{cases}∠GEB=∠DEB \\BE=BE \\∠GBE=∠DBE\end{cases}$
∴ △BGE ≌ △BDE(ASA)，
∴ EG=ED。
(2) 解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，
由图可知DG=OD + OG = r + 1，
由(1)得EG=ED，
∴ EG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{r+1}{2}$，
∵ OG=1，
∴ OE=EG - OG = $\frac{r+1}{2} - 1 = \frac{r-1}{2}$，
∵ AB ⊥ CD，AB=8，由垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$OE^2 + AE^2 = OA^2$，
代入得：$(\frac{r-1}{2})^2 + 4^2 = r^2$，
整理得$3r^2 + 2r - 65 = 0$，
解得$r_1=\frac{13}{3}$，$r_2=-5$，半径为正数，舍去r=-5，
∴ ⊙O的半径为$\frac{13}{3}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{3}$
【知识点】
全等三角形判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的中档综合题，第一问需要通过角的等量代换构造全等三角形的判定条件，考察学生的角关系推导能力；第二问通过设半径为未知数，利用垂径定理得到半弦长，再用半径表示出圆心到弦的距离，借助勾股定理建立方程求解，是圆相关计算的经典考法，能有效巩固学生对垂径定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在平面直角坐标系中,以原点$O$为圆心的圆过点$A(5,0)$,直线$y=kx-$$2k+3(k ≠ 0)$与$\odot O$交于$B$,$C$两点,则弦$BC$长的最小值为
4√3
.答案
对于直线 $y=kx-2k+3=k(x-2)+3(k ≠ 0)$, 当 $x=2$ 时, $y=3$. $\therefore$ 直线 $y=kx-2k+3(k ≠ 0)$ 恒经过点 $(2,3)$, 记为点 $D$. 如图, 连接 $OD,OB$, 过点 $D$ 作 $DH ⊥ x$ 轴于点 $H$, 则 $OH=2$,$DH=3$. $\therefore OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=\sqrt{13}$. $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(5,0)$, $\therefore OA=5$. $\therefore OB=OA=5$. $\because$ 过 $\odot O$ 内定点 $D$ 的所有弦中, 与 $OD$ 垂直的弦最短, 即当 $BC ⊥ OD$ 时, 弦 $BC$ 的长有最小值, $\therefore$ 易得弦 $BC$ 长的最小值 $=2BD=2\sqrt{OB^2-OD^2}=4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
我们可以按三步梳理解题思路：第一步先处理带参数k的直线方程，将其变形为点斜式$y=k(x-2)+3$，就能发现无论k取何非零值，x=2时y恒为3，说明这条直线恒过定点$D(2,3)$；第二步回忆圆的核心性质：过圆内某一定点的所有弦中，与该定点和圆心连线互相垂直的弦长度最短，因此我们只需要先求出圆的半径、定点D到圆心O的距离OD，再结合垂径定理和勾股定理就能算出最短的弦BC的长度；第三步结合已知圆过点$A(5,0)$，直接得到圆O的半径为5，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定直线恒过的定点
将直线方程$y=kx-2k+3$整理为$y=k(x-2)+3$，可知当$x=2$时，无论k取何非零值，都有$y=3$，因此该直线恒过定点$D(2,3)$。
2. 计算OD的长度
过点D作$DH⊥ x$轴于点H，可得$OH=2$，$DH=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
3. 确定圆O的半径
已知以原点O为圆心的圆过点$A(5,0)$，因此圆O的半径$OB=OA=5$。
4. 计算最短弦BC的长度
根据圆的性质：过圆内定点D的所有弦中，当弦与OD垂直时，弦长最短。此时由垂径定理可知OD垂直平分BC，因此：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{13})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
因此弦BC的最小值为$BC=2BD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
直线过定点，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与圆的经典综合题型，解题的核心突破口是识别出含参数的直线恒过定点的隐含特征，再结合圆内过定点的最短弦性质求解，不少同学会因为无法发现直线过定点的条件导致思路受阻，能很好地考察学生对两类知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
我们可以按三步梳理解题思路：第一步先处理带参数k的直线方程，将其变形为点斜式$y=k(x-2)+3$，就能发现无论k取何非零值，x=2时y恒为3，说明这条直线恒过定点$D(2,3)$；第二步回忆圆的核心性质：过圆内某一定点的所有弦中，与该定点和圆心连线互相垂直的弦长度最短，因此我们只需要先求出圆的半径、定点D到圆心O的距离OD，再结合垂径定理和勾股定理就能算出最短的弦BC的长度；第三步结合已知圆过点$A(5,0)$，直接得到圆O的半径为5，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定直线恒过的定点
将直线方程$y=kx-2k+3$整理为$y=k(x-2)+3$，可知当$x=2$时，无论k取何非零值，都有$y=3$，因此该直线恒过定点$D(2,3)$。
2. 计算OD的长度
过点D作$DH⊥ x$轴于点H，可得$OH=2$，$DH=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
3. 确定圆O的半径
已知以原点O为圆心的圆过点$A(5,0)$，因此圆O的半径$OB=OA=5$。
4. 计算最短弦BC的长度
根据圆的性质：过圆内定点D的所有弦中，当弦与OD垂直时，弦长最短。此时由垂径定理可知OD垂直平分BC，因此：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{13})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
因此弦BC的最小值为$BC=2BD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
直线过定点，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与圆的经典综合题型，解题的核心突破口是识别出含参数的直线恒过定点的隐含特征，再结合圆内过定点的最短弦性质求解，不少同学会因为无法发现直线过定点的条件导致思路受阻，能很好地考察学生对两类知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
12. 如图,有一个圆弧形桥拱,它的跨度 AB 为 30 m,拱高 PM 为 9 m,当水位上升至水面跨度 $A'B'$ 只有 15 m 时,就要采取紧急措施. 在某次洪水中,拱顶离水面只有 2 m, 即 $PN=2\ \mathrm{m}.$
(1) 求桥拱所在圆的半径.
(2) 通过计算说明此时是否需要采取紧急措施.
(1) 求桥拱所在圆的半径.
(2) 通过计算说明此时是否需要采取紧急措施.
答案
(1) 如图, 设桥拱所在圆的圆心为 $O$, 连接 $OA,OA'$,$OM$, 易知点 $P,M,O$ 在同一条直线上. 设圆弧所在圆的半径为 $x\ \mathrm{m}$, 则 $OA=OA'=OP=x\ \mathrm{m}$. 由垂径定理可知, $AM=BM$,$A'N=B'N$. $\because AB=30\ \mathrm{m}$, $\therefore AM=\frac{1}{2}AB=15\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOM$ 中, $OM=OP-PM=(x-9)\mathrm{m}$, 由勾股定理, 得 $AO^2=OM^2+AM^2$, 即 $x^2=(x-9)^2+15^2$, 解得 $x=17$, 即桥拱所在圆的半径为 $17\ \mathrm{m}$.
(2) $\because OP=17\ \mathrm{m}$, $\therefore ON=OP-PN=17-2=15(\mathrm{m})$. 在 $\mathrm{Rt}△ A'ON$ 中, 由勾股定理, 得 $A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$, $\therefore A'B'=2A'N=16\ \mathrm{m}＞15\ \mathrm{m}$. $\therefore$ 此时不需要采取紧急措施.
解析
【分析】
这是圆的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第一问求桥拱所在圆的半径：根据桥拱的对称性可知跨度AB的中点M、拱顶P、圆心三点共线，我们可以设圆的半径为未知数x，将已知跨度AB取半得到直角边AM的长度，再用半径x和已知拱高9m表示出另一条直角边OM的长度，在Rt△AOM中利用勾股定理列方程，即可解出半径。
2. 第二问判断是否需要紧急措施：已知此时拱顶离水面PN=2m，先算出圆心到水面的距离ON，再在Rt△A'ON中用勾股定理求出半弦长A'N，乘2得到当前水面的总跨度A'B'，将这个长度和临界值15m比较，若大于15m则不需要采取紧急措施，反之则需要。
【解析】
(1) 设桥拱所在圆的圆心为O，连接OA、OA'、OM，由桥拱的对称性可知点P、M、O三点在同一条直线上。
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m。
根据垂径定理，M是AB的中点，已知AB=30 m，因此$AM = \frac{1}{2} AB = 15\ \mathrm{m}$。
又因为PM=9 m，所以$OM = OP - PM = (x - 9)\ \mathrm{m}$。
在Rt△AOM中，由勾股定理可得：
$AO^2 = OM^2 + AM^2$
代入对应数值：
$x^2 = (x - 9)^2 + 15^2$
展开化简得$18x = 306$，解得$x=17$。
因此桥拱所在圆的半径为17 m。
(2) 已知圆的半径OP=17 m，PN=2 m，因此圆心O到水面A'B'的距离$ON = OP - PN = 17 - 2 = 15\ \mathrm{m}$。
在Rt△A'ON中，由勾股定理得：
$A'N = \sqrt{OA'^2 - ON^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8\ \mathrm{m}$
根据垂径定理，N是A'B'的中点，因此$A'B' = 2A'N = 2×8 = 16\ \mathrm{m}$。
因为$16\ \mathrm{m} ＞ 15\ \mathrm{m}$，当前水面跨度大于需要采取紧急措施的临界跨度，因此此时不需要采取紧急措施。
【答案】
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题是垂径定理在实际桥拱问题中的典型应用，核心方法是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将圆的弦长、拱高、半径的关系转化为直角三角形的边长关系，结合勾股定理求解，难度适中，需要学生掌握这类实际问题的几何建模思路，避免搞错圆心到弦的距离的表达式。
【难度系数】
0.7
这是圆的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第一问求桥拱所在圆的半径：根据桥拱的对称性可知跨度AB的中点M、拱顶P、圆心三点共线，我们可以设圆的半径为未知数x，将已知跨度AB取半得到直角边AM的长度，再用半径x和已知拱高9m表示出另一条直角边OM的长度，在Rt△AOM中利用勾股定理列方程，即可解出半径。
2. 第二问判断是否需要紧急措施：已知此时拱顶离水面PN=2m，先算出圆心到水面的距离ON，再在Rt△A'ON中用勾股定理求出半弦长A'N，乘2得到当前水面的总跨度A'B'，将这个长度和临界值15m比较，若大于15m则不需要采取紧急措施，反之则需要。
【解析】
(1) 设桥拱所在圆的圆心为O，连接OA、OA'、OM，由桥拱的对称性可知点P、M、O三点在同一条直线上。
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m。
根据垂径定理，M是AB的中点，已知AB=30 m，因此$AM = \frac{1}{2} AB = 15\ \mathrm{m}$。
又因为PM=9 m，所以$OM = OP - PM = (x - 9)\ \mathrm{m}$。
在Rt△AOM中，由勾股定理可得：
$AO^2 = OM^2 + AM^2$
代入对应数值：
$x^2 = (x - 9)^2 + 15^2$
展开化简得$18x = 306$，解得$x=17$。
因此桥拱所在圆的半径为17 m。
(2) 已知圆的半径OP=17 m，PN=2 m，因此圆心O到水面A'B'的距离$ON = OP - PN = 17 - 2 = 15\ \mathrm{m}$。
在Rt△A'ON中，由勾股定理得：
$A'N = \sqrt{OA'^2 - ON^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8\ \mathrm{m}$
根据垂径定理，N是A'B'的中点，因此$A'B' = 2A'N = 2×8 = 16\ \mathrm{m}$。
因为$16\ \mathrm{m} ＞ 15\ \mathrm{m}$，当前水面跨度大于需要采取紧急措施的临界跨度，因此此时不需要采取紧急措施。
【答案】
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题是垂径定理在实际桥拱问题中的典型应用，核心方法是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将圆的弦长、拱高、半径的关系转化为直角三角形的边长关系，结合勾股定理求解，难度适中，需要学生掌握这类实际问题的几何建模思路，避免搞错圆心到弦的距离的表达式。
【难度系数】
0.7
