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1. 已知$P$是$\odot O$内一点,过点$P$的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则$OP$的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
如图,$CD ⊥ AB$ 于点 $P$. 根据题意,得 $AB=10\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径,且 $CD ⊥ AB$, $\therefore OC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$,$CP=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OPC$ 中,由勾股定理,得 $OP=\sqrt{OC^2-CP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步推导：首先回忆圆内弦的核心性质，过圆内任意一点的所有弦中，最长的弦就是圆的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦。第一步，根据题目给出的最长弦长10cm，直接得到圆的直径为10cm，即可算出圆的半径为5cm；第二步，结合最短弦长6cm，利用垂径定理可知这条最短弦会被过P点的直径平分，因此最短弦的一半长度为3cm；第三步，半径、最短弦的一半、线段OP恰好构成直角三角形，直接用勾股定理就能计算出OP的长度，得到最终结果。
【解析】
解：根据圆的弦的性质，过⊙O内点P的最长弦为⊙O的直径，因此可得⊙O的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$，则⊙O的半径$OC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
过点P的最短弦是垂直于直径AB的弦CD，即$CD⊥ AB$于点P，已知最短弦长$CD=6\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，因此$CP=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$∠ OPC=90°$，根据勾股定理：
$OP=\sqrt{OC^2-CP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B.4 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆章节的基础常考题型，核心是考查学生对圆内过定点的最长、最短弦性质的掌握，将圆的相关计算转化为直角三角形的勾股定理计算，难度较低，解题的关键是准确记住最长弦为直径、最短弦垂直于过该点的直径的特点，避免记错性质导致出错。
【难度系数】
0.8
我们可以按照以下思路逐步推导：首先回忆圆内弦的核心性质，过圆内任意一点的所有弦中，最长的弦就是圆的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦。第一步，根据题目给出的最长弦长10cm，直接得到圆的直径为10cm，即可算出圆的半径为5cm；第二步，结合最短弦长6cm，利用垂径定理可知这条最短弦会被过P点的直径平分，因此最短弦的一半长度为3cm；第三步，半径、最短弦的一半、线段OP恰好构成直角三角形，直接用勾股定理就能计算出OP的长度，得到最终结果。
【解析】
解：根据圆的弦的性质，过⊙O内点P的最长弦为⊙O的直径，因此可得⊙O的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$，则⊙O的半径$OC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
过点P的最短弦是垂直于直径AB的弦CD，即$CD⊥ AB$于点P，已知最短弦长$CD=6\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，因此$CP=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$∠ OPC=90°$，根据勾股定理：
$OP=\sqrt{OC^2-CP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B.4 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆章节的基础常考题型，核心是考查学生对圆内过定点的最长、最短弦性质的掌握，将圆的相关计算转化为直角三角形的勾股定理计算，难度较低，解题的关键是准确记住最长弦为直径、最短弦垂直于过该点的直径的特点，避免记错性质导致出错。
【难度系数】
0.8
2. [2024 西安一模]如图,在$\odot O$内,以弦 AB 为边作等边三角形 ABE,AE,BE 的延长线分别交$\odot O$于 C,D 两点,过点 O 作$OF ⊥ BD$于点 F,延长 FO 交 AC 于点 G.若$DE=4,EG=6$,则 AB的长为（
A.8
B.9
C.10
D.12
C
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
$\because △ ABE$ 是等边三角形, $\therefore ∠ AEB=60°$.
$\because OF ⊥ BD$, $\therefore ∠ GFE=90°$. $\therefore ∠ EGF=90°-∠ AEB=30°$. $\therefore EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2} × 6=3$. $\therefore DF=DE+EF=4+3=7$. $\because OF$ 过圆心 $O$, 且 $OF ⊥ BD$, $\therefore BF=DF=7$. $\therefore BE=EF+BF=3+7=10$. $\therefore$ 在等边三角形 $ABE$ 中, $AB=BE=10$.
$\because OF ⊥ BD$, $\therefore ∠ GFE=90°$. $\therefore ∠ EGF=90°-∠ AEB=30°$. $\therefore EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2} × 6=3$. $\therefore DF=DE+EF=4+3=7$. $\because OF$ 过圆心 $O$, 且 $OF ⊥ BD$, $\therefore BF=DF=7$. $\therefore BE=EF+BF=3+7=10$. $\therefore$ 在等边三角形 $ABE$ 中, $AB=BE=10$.
解析
【分析】
解题思路梳理：题目要求等边△ABE的边长AB，根据等边三角形三边相等的性质，只需要求出BE的长度即可得到AB的值。第一步先利用等边三角形内角为60°的性质，得到∠AEB=60°，结合OF⊥BD的直角条件，得到Rt△GEF中存在30°的特殊角，利用30°角直角三角形的性质快速算出EF的长度；第二步结合已知DE=4，算出DF的长度，再根据垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，得到BF=DF，进而求出BE=EF+BF，最后利用等边三角形边相等的性质得到AB的长度，顺着条件逐步推导即可，无需复杂辅助线。
【解析】
解：
1. 由△ABE是等边三角形，可得∠AEB=60°，且AB=BE=AE。
2. 已知OF⊥BD，因此∠GFE=90°，在Rt△GEF中，∠GEF=∠AEB=60°，因此∠EGF=90°-60°=30°。
3. 根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，已知EG=6，因此$EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×6=3$。
4. 已知DE=4，因此$DF=DE+EF=4+3=7$。
5. 因为OF过圆心O，且OF⊥BD，由垂径定理可得F是BD的中点，即$BF=DF=7$。
6. 因此$BE=EF+BF=3+7=10$，结合等边△ABE三边相等，得AB=BE=10。
【答案】
C.10
【知识点】
等边三角形性质；垂径定理；含30°直角三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形性质结合的基础综合题，没有设置复杂的转化陷阱，核心考察学生对垂径定理、特殊直角三角形性质的熟练运用，解题的突破口是从垂直条件和等边三角形的60°内角快速识别出30°特殊直角三角形，后续结合垂径定理即可顺推得到边长，对基础定理的掌握熟练度有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路梳理：题目要求等边△ABE的边长AB，根据等边三角形三边相等的性质，只需要求出BE的长度即可得到AB的值。第一步先利用等边三角形内角为60°的性质，得到∠AEB=60°，结合OF⊥BD的直角条件，得到Rt△GEF中存在30°的特殊角，利用30°角直角三角形的性质快速算出EF的长度；第二步结合已知DE=4，算出DF的长度，再根据垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，得到BF=DF，进而求出BE=EF+BF，最后利用等边三角形边相等的性质得到AB的长度，顺着条件逐步推导即可，无需复杂辅助线。
【解析】
解：
1. 由△ABE是等边三角形，可得∠AEB=60°，且AB=BE=AE。
2. 已知OF⊥BD，因此∠GFE=90°，在Rt△GEF中，∠GEF=∠AEB=60°，因此∠EGF=90°-60°=30°。
3. 根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，已知EG=6，因此$EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×6=3$。
4. 已知DE=4，因此$DF=DE+EF=4+3=7$。
5. 因为OF过圆心O，且OF⊥BD，由垂径定理可得F是BD的中点，即$BF=DF=7$。
6. 因此$BE=EF+BF=3+7=10$，结合等边△ABE三边相等，得AB=BE=10。
【答案】
C.10
【知识点】
等边三角形性质；垂径定理；含30°直角三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形性质结合的基础综合题，没有设置复杂的转化陷阱，核心考察学生对垂径定理、特殊直角三角形性质的熟练运用，解题的突破口是从垂直条件和等边三角形的60°内角快速识别出30°特殊直角三角形，后续结合垂径定理即可顺推得到边长，对基础定理的掌握熟练度有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 一题多解 如图,以点$P$为圆心的圆弧与$x$轴交于$A,B$两点,点$P$的坐标为$(4,2)$,点$A$的坐标为$(2,0)$,则点$B$的坐标为
(6,0)
.答案
解法一:过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 于点 $M$. 则点 $M$ 的坐标是 $(4,0)$. $\therefore OM=4$. 又 $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$, $\therefore OA=2$. $\therefore AM=OM-OA=4-2=2$. $\because PM ⊥ AB$, $\therefore BM=AM=2$. $\therefore OB=OM+BM=4+2=6$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(6,0)$.
解法二:设点 $B$ 的坐标为 $(x,0)$, 则 $x-4=4-2$, 解得 $x=6$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(6,0)$.
解法二:设点 $B$ 的坐标为 $(x,0)$, 则 $x-4=4-2$, 解得 $x=6$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(6,0)$.
解析
【分析】
解题思路：首先由题意可知PA、PB都是圆P的半径，因此PA=PB，AB是圆P的弦。我们可以利用圆的垂径定理解题：第一步，过圆心P作AB的垂线，根据垂径定理，这条垂线必然平分弦AB，即垂足是AB的中点；第二步，因为AB在x轴上，所以垂线是垂直于x轴的直线，垂足的横坐标和点P的横坐标相同，直接得到垂足坐标为(4,0)；第三步，已知点A坐标是(2,0)，可以算出A到中点的距离是2，那么B到中点的距离也等于2，由此就能算出点B的横坐标，又因为B在x轴上纵坐标为0，即可得到B的坐标。也可以直接利用中点坐标的性质，已知AB中点的横坐标是4，直接列等式求B的横坐标，计算更快捷。
【解析】
解法一：过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 于点 $M$。
$\because AB$ 在$x$轴上，$PM⊥ AB$，点$P$的坐标为$(4,2)$，
$\therefore$ 垂足$M$的坐标是 $(4,0)$。
$\therefore OM=4$，又 $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\therefore AM=OM-OA=4-2=2$。
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，因此 $BM=AM=2$。
$\therefore OB=OM+BM=4+2=6$。
又$\because$点$B$在$x$轴上，纵坐标为0，因此点$B$的坐标是 $(6,0)$。
解法二：设点 $B$ 的坐标为 $(x,0)$，由垂径定理可知$AB$的中点横坐标为4，根据中点到两端点距离相等的性质可得：
$x-4=4-2$，
解得 $x=6$。
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(6,0)$。
【答案】$(6,0)$
【知识点】垂径定理，坐标与图形性质
【点评】本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，核心是利用垂径定理快速得到弦AB的中点坐标，无需计算半径的具体长度即可完成求解，两种解法分别从几何性质和坐标运算角度切入，能帮助学生打通几何和代数的解题思路，避免复杂的勾股定理计算，有效提升解题效率。
【难度系数】0.8
解题思路：首先由题意可知PA、PB都是圆P的半径，因此PA=PB，AB是圆P的弦。我们可以利用圆的垂径定理解题：第一步，过圆心P作AB的垂线，根据垂径定理，这条垂线必然平分弦AB，即垂足是AB的中点；第二步，因为AB在x轴上，所以垂线是垂直于x轴的直线，垂足的横坐标和点P的横坐标相同，直接得到垂足坐标为(4,0)；第三步，已知点A坐标是(2,0)，可以算出A到中点的距离是2，那么B到中点的距离也等于2，由此就能算出点B的横坐标，又因为B在x轴上纵坐标为0，即可得到B的坐标。也可以直接利用中点坐标的性质，已知AB中点的横坐标是4，直接列等式求B的横坐标，计算更快捷。
【解析】
解法一：过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 于点 $M$。
$\because AB$ 在$x$轴上，$PM⊥ AB$，点$P$的坐标为$(4,2)$，
$\therefore$ 垂足$M$的坐标是 $(4,0)$。
$\therefore OM=4$，又 $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\therefore AM=OM-OA=4-2=2$。
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，因此 $BM=AM=2$。
$\therefore OB=OM+BM=4+2=6$。
又$\because$点$B$在$x$轴上，纵坐标为0，因此点$B$的坐标是 $(6,0)$。
解法二：设点 $B$ 的坐标为 $(x,0)$，由垂径定理可知$AB$的中点横坐标为4，根据中点到两端点距离相等的性质可得：
$x-4=4-2$，
解得 $x=6$。
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(6,0)$。
【答案】$(6,0)$
【知识点】垂径定理，坐标与图形性质
【点评】本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，核心是利用垂径定理快速得到弦AB的中点坐标，无需计算半径的具体长度即可完成求解，两种解法分别从几何性质和坐标运算角度切入，能帮助学生打通几何和代数的解题思路，避免复杂的勾股定理计算，有效提升解题效率。
【难度系数】0.8
4. 易错题 已知$\odot O$的半径为5 cm,弦$AB// CD$,且$AB=6\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$,则$AB$与$CD$之间的距离为
1 cm或7 cm
.答案
过点 $O$ 作直线 $OE ⊥ AB$ 于点 $E$, 交 $CD$ 于点 $F$. $\because AB // CD$, $\therefore OF ⊥ CD$. $\because OE$ 过圆心, $OE ⊥ AB$, $\therefore BE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$. $\because OB=5\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, $OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$. 同理, 可得 $OF=3\ \mathrm{cm}$. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的同侧时, 如图①, $\therefore EF=OE-OF=4-3=1(\mathrm{cm})$. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的两旁时, 如图②, $\therefore EF=OE+OF=4+3=7(\mathrm{cm})$. 综上所述, $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $1\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
拿到这道题，已知圆的半径和两条平行弦的长度，求两弦之间的距离，首先要明确解题思路：首先圆中计算圆心到弦的距离，最常用的方法是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理和勾股定理求解。因为AB和CD平行，所以过圆心作AB的垂线时，根据平行线的性质，这条垂线也必然垂直于CD，由此可以分别算出圆心到AB、圆心到CD的两个弦心距。这里题目没有给出图形，没有说明两条弦相对于圆心的位置，因此存在两种可能：第一种是两条弦都在圆心的同一侧，此时两弦的距离等于两个弦心距的差；第二种是两条弦分别在圆心的两侧，此时两弦的距离等于两个弦心距的和，最后汇总两种情况的结果即可，要注意不能漏掉任意一种情况。
【解析】
过点 $O$ 作直线 $OE ⊥ AB$ 于点 $E$, 交 $CD$ 于点 $F$.
$\because AB // CD$, $\therefore OF ⊥ CD$.
由垂径定理，$OE$ 过圆心且 $OE ⊥ AB$，可得 $BE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中，已知 $OB=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$.
同理，对弦CD计算可得：$OF=\sqrt{OC^2-(\frac{1}{2}CD)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$.
分两种情况讨论：
1. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的同侧时，两弦间距 $EF=OE-OF=4-3=1\ \mathrm{cm}$；
2. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的两旁时，两弦间距 $EF=OE+OF=4+3=7\ \mathrm{cm}$.
综上所述，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为两种情况的结果。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的经典易错题，大部分学生容易默认两条弦分布在圆心两侧，直接将两个弦心距相加得到7cm，漏掉两弦在圆心同侧时距离为1cm的情况。解题时要注意无配图的几何题需要主动排查多解可能性，先通过垂径定理求出两个弦心距，再根据两弦和圆心的位置关系分别计算间距，避免漏解。
【难度系数】
0.5
拿到这道题，已知圆的半径和两条平行弦的长度，求两弦之间的距离，首先要明确解题思路：首先圆中计算圆心到弦的距离，最常用的方法是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理和勾股定理求解。因为AB和CD平行，所以过圆心作AB的垂线时，根据平行线的性质，这条垂线也必然垂直于CD，由此可以分别算出圆心到AB、圆心到CD的两个弦心距。这里题目没有给出图形，没有说明两条弦相对于圆心的位置，因此存在两种可能：第一种是两条弦都在圆心的同一侧，此时两弦的距离等于两个弦心距的差；第二种是两条弦分别在圆心的两侧，此时两弦的距离等于两个弦心距的和，最后汇总两种情况的结果即可，要注意不能漏掉任意一种情况。
【解析】
过点 $O$ 作直线 $OE ⊥ AB$ 于点 $E$, 交 $CD$ 于点 $F$.
$\because AB // CD$, $\therefore OF ⊥ CD$.
由垂径定理，$OE$ 过圆心且 $OE ⊥ AB$，可得 $BE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中，已知 $OB=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$.
同理，对弦CD计算可得：$OF=\sqrt{OC^2-(\frac{1}{2}CD)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$.
分两种情况讨论：
1. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的同侧时，两弦间距 $EF=OE-OF=4-3=1\ \mathrm{cm}$；
2. 当 $AB,CD$ 位于圆心 $O$ 的两旁时，两弦间距 $EF=OE+OF=4+3=7\ \mathrm{cm}$.
综上所述，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为两种情况的结果。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的经典易错题，大部分学生容易默认两条弦分布在圆心两侧，直接将两个弦心距相加得到7cm，漏掉两弦在圆心同侧时距离为1cm的情况。解题时要注意无配图的几何题需要主动排查多解可能性，先通过垂径定理求出两个弦心距，再根据两弦和圆心的位置关系分别计算间距，避免漏解。
【难度系数】
0.5
5. 如图,在$\odot O$中,$\overgroup{AB}=2\overgroup{AC}$,$AD ⊥ OC$于点$D$.
(1) 求证:$AB=2AD$.
(2) 若$AB=8$,$CD=2$,求$\odot O$的半径及$OD$的长.
(1) 求证:$AB=2AD$.
(2) 若$AB=8$,$CD=2$,求$\odot O$的半径及$OD$的长.
答案
(1) 如图, 延长 $AD$ 交 $\odot O$ 于点 $E$. $\because OC ⊥ AD$, $\therefore \overgroup{AE}=2\overgroup{AC}$,$AE=2AD$. $\because \overgroup{AB}=2\overgroup{AC}$, $\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{AB}$. $\therefore AB=AE$. $\therefore AB=2AD$.
(2) 如图, 连接 $OA$, 设 $\odot O$ 的半径为 $x$, 则 $OA=x$,$OD=x-2$. $\because AB=2AD$,$AB=8$, $\therefore AD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAD$ 中, 根据勾股定理, 得 $OA^2=OD^2+AD^2$, 即 $x^2=(x-2)^2+4^2$, 解得 $x=5$. $\therefore OD=5-2=3$. $\therefore \odot O$ 的半径及 $OD$ 的长分别为 $5$ 和 $3$.
(2) 如图, 连接 $OA$, 设 $\odot O$ 的半径为 $x$, 则 $OA=x$,$OD=x-2$. $\because AB=2AD$,$AB=8$, $\therefore AD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAD$ 中, 根据勾股定理, 得 $OA^2=OD^2+AD^2$, 即 $x^2=(x-2)^2+4^2$, 解得 $x=5$. $\therefore OD=5-2=3$. $\therefore \odot O$ 的半径及 $OD$ 的长分别为 $5$ 和 $3$.
解析
【分析】
第一问要证明AB=2AD，属于线段倍分关系的证明，已知AD⊥OC和弧AB=2弧AC的条件，我们可以联想垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，同时平分弦对应的弧。因此可以延长AD交⊙O于点E，由OC⊥AE直接得到AE=2AD，且弧AE=2弧AC，结合题目给出的弧AB=2弧AC，就能推出弧AB和弧AE相等，再根据同圆中等弧对等弦得到AB=AE，等量代换即可证出结论。
第二问利用第一问得到的AB=2AD，先算出AD的长度，连接半径OA，设圆的半径为未知数，用半径表示出OD的长度，在直角三角形OAD中通过勾股定理列方程，就能求解得到半径和OD的长。
【解析】
(1) 证明：
延长AD交⊙O于点E，
∵ OC⊥AD，OC是⊙O的半径，由垂径定理可得：
$AE=2AD$，且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=AE$，
∴ $AB=2AD$，得证。
(2) 解：
连接OA，设⊙O的半径为$x$，
则$OA=x$，$OD=OC-CD=x-2$，
由(1)的结论$AB=2AD$，已知$AB=8$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入对应边长得：$x^2=(x-2)^2+4^2$，
展开化简：$x^2=x^2-4x+4+16$，
解得$x=5$，
即⊙O的半径为5，$OD=5-2=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为5，OD的长为3
【知识点】
垂径定理，等弧对等弦，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问的核心是构造辅助线，利用垂径定理将线段的倍分关系和弧的倍分关系进行转化，是垂径定理的典型应用场景；第二问用方程思想结合勾股定理求解圆的半径，是圆相关计算的经典考法，整体难度适中，能帮助学生巩固垂径定理的使用逻辑。
【难度系数】
0.6
第一问要证明AB=2AD，属于线段倍分关系的证明，已知AD⊥OC和弧AB=2弧AC的条件，我们可以联想垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，同时平分弦对应的弧。因此可以延长AD交⊙O于点E，由OC⊥AE直接得到AE=2AD，且弧AE=2弧AC，结合题目给出的弧AB=2弧AC，就能推出弧AB和弧AE相等，再根据同圆中等弧对等弦得到AB=AE，等量代换即可证出结论。
第二问利用第一问得到的AB=2AD，先算出AD的长度，连接半径OA，设圆的半径为未知数，用半径表示出OD的长度，在直角三角形OAD中通过勾股定理列方程，就能求解得到半径和OD的长。
【解析】
(1) 证明：
延长AD交⊙O于点E，
∵ OC⊥AD，OC是⊙O的半径，由垂径定理可得：
$AE=2AD$，且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=AE$，
∴ $AB=2AD$，得证。
(2) 解：
连接OA，设⊙O的半径为$x$，
则$OA=x$，$OD=OC-CD=x-2$，
由(1)的结论$AB=2AD$，已知$AB=8$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入对应边长得：$x^2=(x-2)^2+4^2$，
展开化简：$x^2=x^2-4x+4+16$，
解得$x=5$，
即⊙O的半径为5，$OD=5-2=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为5，OD的长为3
【知识点】
垂径定理，等弧对等弦，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问的核心是构造辅助线，利用垂径定理将线段的倍分关系和弧的倍分关系进行转化，是垂径定理的典型应用场景；第二问用方程思想结合勾股定理求解圆的半径，是圆相关计算的经典考法，整体难度适中，能帮助学生巩固垂径定理的使用逻辑。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot A$的直径在$x$轴上,且直径的右端与原点$O$重合,平行于$x$轴的直线交$\odot A$于$M,N$两点.若点$M$的坐标是$(-4,-2)$,则点$N$的坐标为（
A.$(1,-2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-1.5,-2)$
D.$(1.5,-2)$
B
）A.$(1,-2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-1.5,-2)$
D.$(1.5,-2)$
答案
如图, 设直线 $MN$ 交 $y$ 轴于点 $C$, 分别过点 $M,N$ 作 $x$ 轴的垂线, 过点 $A$ 作 $AB ⊥ MN$ 于点 $B$, 连接 $AN$, 则 $BM=BN$. 设 $\odot A$ 的半径为 $r$, 则 $AN=r$. $\because M(-4,-2)$,$MN // x$ 轴, $\therefore AB=2$,$MC=4$,$BM=BN=4-r$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABN$ 中, 根据勾股定理, 得 $AB^2+BN^2=AN^2$, 即 $2^2+(4-r)^2=r^2$, 解得 $r=2.5$. $\therefore BN=4-2.5=1.5$. $\therefore NC=BC-BN=2.5-1.5=1$. 又点 $N$ 在第三象限, $\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(-1,-2)$.
解析
【分析】
我们可以按如下思路逐步推导解题：1. 先观察图形特征：⊙A的直径在x轴上，右端点和原点O重合，说明圆心A在x轴上，线段AO的长度就是圆的半径。2. 已知MN平行于x轴，M点坐标为(-4,-2)，说明MN上所有点的纵坐标都是-2，只需要求出N点的横坐标就能得到N的完整坐标。3. 遇到圆的弦相关计算，优先使用垂径定理：过圆心A作弦MN的垂线，垂足就是MN的中点，这样就能构造出包含半径的直角三角形，结合勾股定理设半径为未知数列方程，先解出半径，再反向推导得到N点的横坐标，最终得到N的坐标。
【解析】
解：过点A作AB⊥MN于点B，连接AN，设MN与y轴交于点C。
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得BM=BN。
2. 设⊙A的半径为r，由于圆的右端点与原点O重合，圆心A在x轴上，因此点A的坐标为(-r, 0)。
3. 已知M(-4,-2)，且MN//x轴，因此弦MN到x轴的距离为2，即弦心距AB=2；同时点M到y轴的水平距离为4，点A的横坐标为-r，因此MB的长度为4 - r，即BN=BM=4 - r。
4. 在Rt△ABN中，AN是圆的半径等于r，由勾股定理可得：
$AB^2 + BN^2 = AN^2$
代入对应数值：
$2^2 + (4-r)^2 = r^2$
展开化简：
$4 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$20 - 8r = 0$
解得r=2.5。
5. 因此BN=4 - 2.5=1.5，点B的横坐标与点A相同为-2.5，纵坐标为-2，N点在B点右侧，因此N点的横坐标为-2.5 + 1.5 = -1，纵坐标为-2，即N点坐标为(-1,-2)。
【答案】B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆和平面直角坐标系结合的典型基础题型，核心是垂径定理的常规应用，通过作圆心到弦的垂线这条通用辅助线，将弦心距、半弦长、圆的半径三个量整合到同一个直角三角形中，再用勾股定理建立方程求解，是圆的弦长计算类问题的标准思路，需要学生熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
我们可以按如下思路逐步推导解题：1. 先观察图形特征：⊙A的直径在x轴上，右端点和原点O重合，说明圆心A在x轴上，线段AO的长度就是圆的半径。2. 已知MN平行于x轴，M点坐标为(-4,-2)，说明MN上所有点的纵坐标都是-2，只需要求出N点的横坐标就能得到N的完整坐标。3. 遇到圆的弦相关计算，优先使用垂径定理：过圆心A作弦MN的垂线，垂足就是MN的中点，这样就能构造出包含半径的直角三角形，结合勾股定理设半径为未知数列方程，先解出半径，再反向推导得到N点的横坐标，最终得到N的坐标。
【解析】
解：过点A作AB⊥MN于点B，连接AN，设MN与y轴交于点C。
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得BM=BN。
2. 设⊙A的半径为r，由于圆的右端点与原点O重合，圆心A在x轴上，因此点A的坐标为(-r, 0)。
3. 已知M(-4,-2)，且MN//x轴，因此弦MN到x轴的距离为2，即弦心距AB=2；同时点M到y轴的水平距离为4，点A的横坐标为-r，因此MB的长度为4 - r，即BN=BM=4 - r。
4. 在Rt△ABN中，AN是圆的半径等于r，由勾股定理可得：
$AB^2 + BN^2 = AN^2$
代入对应数值：
$2^2 + (4-r)^2 = r^2$
展开化简：
$4 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$20 - 8r = 0$
解得r=2.5。
5. 因此BN=4 - 2.5=1.5，点B的横坐标与点A相同为-2.5，纵坐标为-2，N点在B点右侧，因此N点的横坐标为-2.5 + 1.5 = -1，纵坐标为-2，即N点坐标为(-1,-2)。
【答案】B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆和平面直角坐标系结合的典型基础题型，核心是垂径定理的常规应用，通过作圆心到弦的垂线这条通用辅助线，将弦心距、半弦长、圆的半径三个量整合到同一个直角三角形中，再用勾股定理建立方程求解，是圆的弦长计算类问题的标准思路，需要学生熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
7. 如图,$\odot O$的半径为5,弦$AB=6$,点$C$在弦$AB$上,延长$CO$交$\odot O$于点$D$,则$CD$长的取值范围是（
A.$6≤ CD≤ 8$
B.$8≤ CD≤ 10$
C.$9＜CD＜10$
D.$9≤ CD≤ 10$
D
）A.$6≤ CD≤ 8$
B.$8≤ CD≤ 10$
C.$9＜CD＜10$
D.$9≤ CD≤ 10$
答案
如图, 过点 $O$ 作 $OH ⊥ AB$ 于点 $H$, 则 $BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$. $\because \odot O$ 的半径为 $5$, $\therefore OB=5$. $\therefore OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=4$. 当点 $C$ 和点 $H$ 重合时, $OC$ 长取得最小值, 是 $4$, $\therefore CD$ 长的最小值是 $4+5=9$. 当 $CD$ 是 $\odot O$ 的直径时, $CD$ 长取得最大值, 是 $5 × 2=10$. $\therefore CD$ 长的取值范围是 $9 ≤ CD ≤ 10$.
解析
【分析】
我们可以将CD拆分为OC+OD，其中OD是⊙O的半径，长度固定为5，因此求CD的取值范围可以转化为求弦AB上的点C到圆心O的距离OC的取值范围：
1. 首先根据垂径定理，过圆心O作AB的垂线，这条垂线段就是点O到直线AB的最短距离，也就是OC能取到的最小值，用勾股定理即可算出这个垂线段的长度。
2. 再找CD的最大值：当CD经过圆心成为直径时，CD长度达到最大，也就是圆的直径长10，此时点C和A或B重合，符合点C在弦AB上的条件。
3. 用OC的最小值加上OD的长度得到CD的最小值，结合最大值就能得到CD的完整取值范围。
【解析】
解：过点 $O$ 作 $OH ⊥ AB$ 于点 $H$，
由垂径定理可得：$BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$。
已知$\odot O$ 的半径为5，因此 $OB=OD=5$。
在$Rt△ OBH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
根据“垂线段最短”，当点C与垂足H重合时，OC取得最小值4，此时CD的长度为$OC+OD=4+5=9$。
当CD为$\odot O$的直径时，CD取得最大值，此时点C与点A（或B）重合，符合点C在弦AB上的条件，CD最大值为$2×5=10$。
因此CD长的取值范围是 $9 ≤ CD ≤ 10$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的直径性质
【点评】
本题的核心是转化思想，将求CD的范围转化为求动点C到定点O的距离的范围，利用垂线段最短得到OC的最小值，结合圆中直径是最长弦的性质得到CD的最大值，解题时要注意不要误将CD的最小值算为8，避免对垂线段最短的性质理解出错。
【难度系数】
0.6
我们可以将CD拆分为OC+OD，其中OD是⊙O的半径，长度固定为5，因此求CD的取值范围可以转化为求弦AB上的点C到圆心O的距离OC的取值范围：
1. 首先根据垂径定理，过圆心O作AB的垂线，这条垂线段就是点O到直线AB的最短距离，也就是OC能取到的最小值，用勾股定理即可算出这个垂线段的长度。
2. 再找CD的最大值：当CD经过圆心成为直径时，CD长度达到最大，也就是圆的直径长10，此时点C和A或B重合，符合点C在弦AB上的条件。
3. 用OC的最小值加上OD的长度得到CD的最小值，结合最大值就能得到CD的完整取值范围。
【解析】
解：过点 $O$ 作 $OH ⊥ AB$ 于点 $H$，
由垂径定理可得：$BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$。
已知$\odot O$ 的半径为5，因此 $OB=OD=5$。
在$Rt△ OBH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
根据“垂线段最短”，当点C与垂足H重合时，OC取得最小值4，此时CD的长度为$OC+OD=4+5=9$。
当CD为$\odot O$的直径时，CD取得最大值，此时点C与点A（或B）重合，符合点C在弦AB上的条件，CD最大值为$2×5=10$。
因此CD长的取值范围是 $9 ≤ CD ≤ 10$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的直径性质
【点评】
本题的核心是转化思想，将求CD的范围转化为求动点C到定点O的距离的范围，利用垂线段最短得到OC的最小值，结合圆中直径是最长弦的性质得到CD的最大值，解题时要注意不要误将CD的最小值算为8，避免对垂线段最短的性质理解出错。
【难度系数】
0.6
